同旁内角U型记忆法与习题全解：初中几何平行线核心难点突破专项练习题库

💡 阿星精讲：同旁内角 原理

• 核心概念：想象一下，有一条路（截线）横穿两条平行的马路（被截直线）。在这条“横穿路”的同一侧，并且在两条“平行马路”之间的区域，找到的两个角，就是一对“同旁内角”。它们俩总是组成一个巨大的字母 “U” 或者 “ㄩ” 的形状。阿星说：它们就像躲在同一个“房间”角落里的两个兄弟，一个在左上角，一个在左下角（或者右上和右下），共同构成了这个“U型房间”。
• 计算秘籍：这对“U型兄弟”最著名的关系是——当两条被截直线平行时，它们互补，即角度之和为 \( 180^\circ \)。公式：若直线 \( l_1 \parallel l_2 \)，则同旁内角 \( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \)。反之，如果能证明一对同旁内角互补，也可以推出两条直线平行。
• 阿星口诀：截线横穿两平行，同侧U型兄弟兵。内侧紧挨不相邻，角度互补记在心。

📐 图形解析

标准“三线八角”模型图，其中 \(\angle 3\) 和 \(\angle 5\)、\(\angle 4\) 和 \(\angle 6\) 是两对同旁内角。

如上图所示，角 \(\angle 4\) 和角 \(\angle 6\) 位于截线 \( m \) 的右侧，且在直线 \( l_1 \) 和 \( l_2 \) 的内部，它们构成一个“U”型区域（浅蓝色填充）。因此，\(\angle 4\) 和 \(\angle 6\) 是一对同旁内角。同理，\(\angle 3\) 和 \(\angle 5\) 位于左侧，是另一对。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为只要在两条直线之间（内）的角就是同旁内角。
  ✅ 正解：必须同时满足“在截线同侧”和“在两直线之间”两个条件。错例：上图中的 \(\angle 4\) 和 \(\angle 5\) 虽然都在内部，但在截线异侧，它们是内错角，不是同旁内角。
• ❌ 错误2：认为所有同旁内角都互补（和为 \( 180^\circ \)）。
  ✅ 正解：同旁内角互补的前提是两条被截直线平行。如果两条直线不平行，它们的同旁内角就没有固定的数量关系。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 看图填空：直线 \( AD \parallel BC \)，直线 \( AB \) 为截线，则 \( \angle A \) 和 \( \angle B \) 是\_\_\_\_\_角，它们（填“互补”或“相等”）。
2. 直接写出图中与 \( \angle 3 \) 是同旁内角的角（只写一个）。
3. 已知两直线被第三条直线所截，一对同旁内角之比为 \( 4:5 \)，则这两个角的度数分别是\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_。
4. （生活化）一个标准的字母“Z”中，包含同位角、内错角和同旁内角吗？请说明。
5. 若 \( l_1 \parallel l_2 \)，\( \angle 1 = 55^\circ \)，则其同旁内角 \( \angle 2 = \) \_\_\_\_\_。
6. 判断题：两条直线被第三条直线所截，形成的同旁内角一定互补。（ ）
7. 在下图梯形 \( ABCD \) 中，\( AD \parallel BC \)，则 \( \angle A \) 和 \( \angle D \) 是同旁内角吗？为什么？
8. 已知 \( \angle \alpha \) 和 \( \angle \beta \) 是同旁内角，且 \( \angle \alpha = 120^\circ \)，若要使两直线平行，则 \( \angle \beta \) 应为\_\_\_\_\_度。
9. 一个“U”型管道（两侧平行），拐弯处测量得内角为 \( 135^\circ \)，则另一个内角是\_\_\_\_\_度。
10. 简单画出两条平行线被第三条直线所截的图形，并用色笔标出一对同旁内角。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题变形）如图，\( AB \parallel CD \)，\( EF \) 分别交 \( AB \)、\( CD \) 于点 \( M \)、\( N \)，\( \angle EMB = 50^\circ \)，\( MG \) 平分 \( \angle EMB \) 交 \( CD \) 于 \( G \)，求 \( \angle MNG \) 的度数。
2. 如图，\( \angle 1 = \angle 2 \)，\( \angle 3 = 100^\circ \)，求 \( \angle 4 \) 的度数，并说明每一步理由。
3. 已知 \( AB \parallel CD \)，\( \angle BAE = 28^\circ \)，\( \angle DCE = 50^\circ \)，求 \( \angle AEC \) 的度数。
4. 探究：若两条平行线被一条折线所截（如“之”字形），同旁内角之和是否仍有规律？试证明或举反例。
5. 在五边形中，若有两边平行，你能找出其中蕴含的同旁内角吗？试作图分析。
6. 结合对顶角、邻补角的知识，在复杂图形中识别多对同旁内角。
7. 证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。（提示：过顶点作对边的平行线）
8. （动点问题）如图，已知 \( l_1 \parallel l_2 \)，点 \( P \) 在 \( l_1 \)、\( l_2 \) 之间运动，探究 \( \angle APB \)、\( \angle PAC \)、\( \angle PBD \) 之间的关系。
9. 如图，\( BE \) 平分 \( \angle ABD \)，\( DE \) 平分 \( \angle BDC \)，且 \( \angle 1 + \angle 2 = 90^\circ \)，求证：\( AB \parallel CD \)。
10. 阅读理解型题目，给出一段关于“同旁内角互补”的证明过程，找出其中的逻辑漏洞或补充步骤。

第三关：生活应用（5道）

1. 【建筑测量】工人想检查一面墙的上下边缘是否平行，他用激光水平仪打出一条水平线（作为截线），测量得墙上部一个角为 \( 88^\circ \)，下部同侧的角为 \( 91^\circ \)。请问这面墙的边缘平行吗？依据是什么？
2. 【道路规划】如图，两条计划平行的道路 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 被一条河流（斜线）截断。工程师在交点处测量得一个内角为 \( 78^\circ \)，请问为了保持平行，在另一个交点处的同侧内角应设计为多少度？
3. 【家居设计】一个“U”型整体厨房的两个侧柜需要与后墙平行安装。用角尺测量侧柜与后墙转角处的一个内角为 \( 90^\circ \)，那么另一个侧柜对应位置的内角应该多大才能确保平行？这利用了什么几何原理？
4. 【园艺设计】想要在一个长方形花园里铺设两条互相平行的观赏小径，小径与花园的一条长边相交。已知小径与长边的一个夹角为 \( 65^\circ \)，那么小径与另一条长边的同侧夹角应为多少度？请画出设计草图。
5. 【电子产品】笔记本电脑的屏幕与键盘通过铰链连接。当屏幕完全打开（与键盘在同一平面）时，可以看作两条平行线。铰链的转动轴相当于一条截线。请你分析，在开合过程中，屏幕边框与键盘边框形成的某些角度是否构成了同旁内角？它们的关系如何影响屏幕的“平直度”？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身（示例）：
1. 同旁内角；互补。
2. \( \angle 5 \) 或 \( \angle 6 \)（取决于原图标注）。
3. 设两角为 \( 4k \) 和 \( 5k \)，由互补得 \( 4k+5k=180 \)，\( k=20 \)，故为 \( 80^\circ \) 和 \( 100^\circ \)。
4. 标准的“Z”包含内错角（Z字形的两个尖角），但不包含同旁内角（U型）和典型的同位角（F型）。
5. \( 125^\circ \)。
6. 错（必须平行才互补）。
7. 不是。同旁内角必须由一条截线截两条直线形成。在梯形中，\( \angle A \) 和 \( \angle D \) 的边分别是 \( AB \)、\( AD \) 和 \( DC \)、\( AD \)，它们没有共同的一条截线去截两条平行线。
8. \( 60^\circ \)。
9. \( 45^\circ \)（因为 \( 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ \)）。
10. （略）
（注：为控制篇幅，此处仅展示部分答案，完整答案需另行提供。）