同类项定义判断与合并方法全解析 附中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：定义 原理

• 核心概念：今天我们来学习数学世界里的“找亲戚”游戏！在代数式家族里，有一群特殊的成员叫“单项式”。如果几个单项式，它们所含的字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么它们就是一家人，我们称之为同类项。阿星来帮你记忆：“字母相同，且相同字母的指数也相同。系数不同没关系（就像亲戚有胖有瘦），顺序不同没关系（就像亲戚站前排或后排）。” 找到同类项，才能进行后续的合并简化，这是代数学运算的基础。
• 计算秘籍：判断和合并同类项，就两步：
  1. 一看字母：检查两个单项式是否包含完全相同的字母。例如，\( 3ab^2 \) 和 \( -5ab^2 \) 都只含有字母 \( a \) 和 \( b \)。
  2. 二看指数：检查相同字母的指数是否对应相等。上例中，\( a \) 的指数都是 \( 1 \)，\( b \) 的指数都是 \( 2 \)。

  如果以上两步都满足，那么它们就是同类项，可以合并：系数相加减，字母部分照抄。即：\( 3ab^2 + (-5ab^2) = (3-5)ab^2 = -2ab^2 \)。

• 阿星口诀：同类项，好兄弟，字母指数须一致。系数加减做游戏，字母部分原样移。

📐 图形解析

我们可以用图形来直观理解“找亲戚”（识别同类项）的过程。下图将不同的代数式用不同形状的“家族徽章”框起来，拥有完全相同“徽章图案”（字母及其指数）的，就是同类项。

公式释义：判断 \( 2xy \) 和 \( -5xy \) 是否为同类项。它们的字母部分都是 \( xy \)（即 \( x^1y^1 \)），所以是同类项，属于“家族A”。判断 \( a^2b \) 和 \( xy^2 \) 是否为同类项。前者的字母部分是 \( a^2b^1 \)，后者是 \( x^1y^2 \)，字母完全不同，所以绝不是同类项。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \( 3x^2y \) 和 \( 2xy^2 \) 是同类项，因为字母都是 x 和 y。
  ✅ 正解：字母虽然相同，但相同字母的指数不同。\( x^2y \) 中 \( x \) 的指数是 \( 2 \)，\( y \) 是 \( 1 \)；\( xy^2 \) 中 \( x \) 的指数是 \( 1 \)，\( y \) 是 \( 2 \)。指数不对应，不是同类项。
• ❌ 错误2：认为 \( 5ab \) 和 \( 5ba \) 不是同类项，因为字母顺序不同。
  ✅ 正解：乘法满足交换律，\( ab = ba \)。只要字母相同且指数相同，无论字母顺序如何，都是同类项。所以 \( 5ab \) 和 \( 5ba \)（即 \( 5a^1b^1 \)）是同类项。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断 \( 3x \) 和 \( 5x \) 是否是同类项。
2. 判断 \( -2a^2 \) 和 \( 3a \) 是否是同类项。
3. 判断 \( 7 \) 和 \( -5 \) 是否是同类项。
4. 判断 \( 4mn \) 和 \( -4nm \) 是否是同类项。
5. 写出 \( 5ab^2 \) 的一个同类项。
6. 合并同类项：\( 2y + 3y \)
7. 合并同类项：\( 8p - 5p \)
8. 合并同类项：\( x^2 + 2x^2 - x^2 \)
9. 找出多项式 \( 3a + 2b - a + 4 \) 中的同类项。
10. 化简：\( 3x + 2y - x + 5y \)

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \( 3x^{3}y^{n} \) 与 \( -x^{m}y^{2} \) 是同类项，则 \( m+n = \) ？
2. 合并同类项：\( 0.5a^2b - \frac{2}{3}a^2b + 0.25a^2b \)
3. 多项式 \( 2x^2 - 3xy + y^2 - 4x^2 + 5xy \) 中，与 \( x^2y \) 不是同类项的是哪一项？
4. 已知一个单项式与 \( -2a^2b \) 的和是 \( a^2b \)，求这个单项式。
5. 化简：\( 5(a-b) - 3(a-b) + 2(a-b) \)
6. 若多项式 \( 3x^2 - 2kx + 5x - 7 \) 合并同类项后不含 \( x \) 的一次项，求 \( k \) 的值。
7. 合并同类项：\( 4(x-y)^2 - 3(x-y) - (x-y)^2 + 2(x-y) \) （提示：把 \( (x-y) \) 看作一个整体字母）
8. 已知 \( m^2 + 2mn = 5, n^2 + 2mn = 3 \)，求 \( m^2 + 4mn + n^2 \) 的值。
9. 化简求值：\( \frac{1}{2}x - 2(x - \frac{1}{3}y^2) + (-\frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^2) \)，其中 \( x = -2, y = \frac{2}{3} \)。
10. 已知 \( A = 3x^2 - 2x + 1, B = x^2 + 4x - 5 \)，求 \( 2A - 3B \)，并化简。

第三关：生活应用（5道）

1. 【购物清单】小明的购物清单上写着：苹果 \( 3x \) 元/斤买了2斤，香蕉 \( 2y \) 元/把买了3把，又买了单价为 \( x \) 元的笔记本4本。请用含 \( x, y \) 的代数式表示总花费，并合并同类项。
2. 【拼图面积】一个长方形花园被分为三块：一块草坪面积为 \( 5ab \)，一块花圃面积为 \( 2ba \)，一条小路面积为 \( 3ab \)。请问草坪和花圃的总面积是多少？（请用同类项知识解释）
3. 【行程问题】小王从家到图书馆，以速度 \( v \) 米/秒走了 \( t \) 秒，又以速度 \( 1.5v \) 米/秒走了 \( 2t \) 秒。请写出总路程的表达式，并合并同类项。
4. 【设计图案】一个图案由若干基础图形组成。每个三角形消耗材料 \( 3m^2 \)，每个正方形消耗材料 \( 4m^2 \)。现有 \( x \) 个三角形和 \( y \) 个正方形，后来又增加了 \( 2x \) 个三角形和 \( 3y \) 个正方形。用代数式表示总共增加的材料面积，并化简。
5. 【化学式类比】在化学中，\( H_2O \)（水）和 \( H_2O_2 \)（双氧水）不是同类物质。请类比数学中的“同类项”定义，解释为什么它们不是同类物质？这对应了数学中判断同类项的哪一条规则？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅ 是，字母部分都是 \( x \)。
2. ❌ 否，\( a^2 \) 和 \( a \) 指数不同。
3. ✅ 是，常数项都是同类项。
4. ✅ 是，\( mn \) 和 \( nm \) 字母相同且指数相同。
5. 答案不唯一，如 \( -ab^2 \)，\( 10ab^2 \) 等。
6. \( 5y \)
7. \( 3p \)
8. \( 2x^2 \)
9. \( 3a \) 和 \( -a \) 是同类项；\( 2b \) 单独一类；常数 \( 4 \) 单独一类。
10. \( 2x + 7y \)

第二关：中考挑战

1. 由题意，\( m=3, n=2 \)，故 \( m+n=5 \)。
2. 原式 = \( (0.5 - \frac{2}{3} + 0.25)a^2b = (\frac{6}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12})a^2b = \frac{1}{12}a^2b \)。
3. 多项式各项为 \( 2x^2, -3xy, y^2, -4x^2, 5xy \)，均不含 \( x^2y \)，但题目问“不是同类项”，意指这些项中彼此之间的关系。实际上，\( 2x^2 \) 与 \( -4x^2 \) 是同类项；\( -3xy \) 与 \( 5xy \) 是同类项；\( y^2 \) 是单独一类。所有项都与 \( x^2y \) 不是同类项。
4. 设单项式为 \( M \)，则 \( M + (-2a^2b) = a^2b \)，所以 \( M = a^2b - (-2a^2b) = 3a^2b \)。
5. 将 \( (a-b) \) 看作整体，原式 = \( (5-3+2)(a-b) = 4(a-b) \)。
6. 合并后 \( x \) 一次项为 \( (-2k+5)x \)。令其系数为零：\( -2k+5=0 \)，解得 \( k=2.5 \)。
7. 将 \( (x-y) \) 看作整体字母 \( A \)，则原式 = \( 4A^2 - 3A - A^2 + 2A = (4-1)A^2 + (-3+2)A = 3A^2 - A = 3(x-y)^2 - (x-y) \)。
8. 两式相加：\( (m^2+2mn) + (n^2+2mn) = 5+3 \)，即 \( m^2 + 4mn + n^2 = 8 \)。
9. 化简：原式 = \( \frac{1}{2}x - 2x + \frac{2}{3}y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^2 = (\frac{1}{2}-2-\frac{3}{2})x + (\frac{2}{3}+\frac{1}{3})y^2 = -3x + y^2 \)。代入得 \( -3\times(-2) + (\frac{2}{3})^2 = 6 + \frac{4}{9} = \frac{58}{9} \)。
10. \( 2A - 3B = 2(3x^2-2x+1) - 3(x^2+4x-5) = 6x^2 - 4x + 2 - 3x^2 - 12x + 15 = (6-3)x^2 + (-4-12)x + (2+15) = 3x^2 -16x + 17 \)。

第三关：生活应用

1. 总花费：\( 2 \times 3x + 3 \times 2y + 4 \times x = 6x + 6y + 4x = (6x+4x) + 6y = 10x + 6y \)（元）。
2. 草坪和花圃面积：\( 5ab + 2ba \)。因为 \( 2ba = 2ab \)，与 \( 5ab \) 是同类项，可合并为 \( 7ab \)。
3. 总路程：\( v \cdot t + 1.5v \cdot 2t = vt + 3vt = (1+3)vt = 4vt \)（米）。
4. 增加的材料面积：\( 2x \cdot 3m^2 + 3y \cdot 4m^2 = 6xm^2 + 12ym^2 \)。（已为最简）
5. \( H_2O \) 和 \( H_2O_2 \) 虽然都含有 \( H \) 和 \( O \) 原子，但氧原子 \( O \) 的“指数”（原子个数）不同，前者是 \( O_1 \)，后者是 \( O_2 \)。这对应了数学中判断同类项“相同字母的指数必须相同”的规则。因此它们不是同类物质。