知识要点

💡 核心概念

“乘法分配律的反向提取”，其实就像一次“合体”魔法！我们之前学过，乘法分配律可以把一个数分配给括号里的两个数分别相乘，像这样：
\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)。

现在，我们要玩一个“反过来”的游戏。当你看到两个乘法算式相加或相减，并且它们好像有一个“共同的好朋友”（相同的数）时，我们就可以把这个“共同的好朋友”从两个算式中“提”出来，放到括号外面，让剩下的两个数在括号里相加或相减。

简单说，就是“分东西”的反过程，变成“收东西”。比如，原来有 \( 3 \) 个苹果和 \( 3 \) 个梨，分开看是两堆。现在我们把“3个”这个共同点找出来，合起来写成 \( 3 \times (苹果 + 梨) \)。

📝 计算法则

反向提取公因数的步骤：

找相同：仔细观察加法或减法两边的乘法算式，找出它们相同的乘数，这个数就是“公因数”。
提出来：把这个公因数写在括号外面。
写括号：把原来每个乘法算式中剩下的那个不同的乘数，用加号或减号连接起来，写在括号里面。
看符号：原来两个乘法算式之间是加号，括号里就用加号连接；原来是减号，括号里就用减号连接。

用字母表示就是：
\( a \times c \pm b \times c = (a \pm b) \times c \)

🎯 记忆口诀

“同因数，提出来，不同数，括起来，原符号，跟进来。”

🔗 知识关联

这个知识是乘法分配律的逆运算。它建立在以下知识基础上：

乘法分配律（正向运用）
乘法的意义（如 \( 3 \times 5 \) 表示3个5相加）
加法、减法的运算顺序和性质

易错点警示

列出学生最常犯的3个错误：

❌ 错误1：提取不完全，只提取了数字而忽略了符号。
示例：\( 8 \times 5 + 8 \times 3 = 8 \times (5 + 3) \) ✅ 正解：正确。
错误：\( 8 \times 5 + 8 \times 3 = 8 \times 5 + 3 \) ❌

❌ 错误2：括号内的符号弄错，尤其是减法时。
示例：\( 9 \times 6 - 9 \times 2 = 9 \times (6 - 2) \) ✅ 正解：正确。
错误：\( 9 \times 6 - 9 \times 2 = 9 \times (6 + 2) \) ❌

❌ 错误3：没有找到真正的“相同乘数”，或者格式写错。
示例：\( 25 \times 4 + 75 \times 4 = (25 + 75) \times 4 \) ✅ 正解：正确。
错误：\( 25 \times 4 + 75 \times 4 = 25 + 75 \times 4 \) ❌

三例题精讲

🔥 例题1

计算：\( 36 \times 17 + 36 \times 83 \)

📌 第一步：找相同
观察发现，两个乘法部分 \( 36 \times 17 \) 和 \( 36 \times 83 \) 中，都有相同的乘数 \( 36 \)。

📌 第二步：提出来，写括号
把公因数 \( 36 \) 提到括号外面。括号里面写剩下两个数 \( 17 \) 和 \( 83 \)，它们之间用原来的加号连接。
原式变为：\( 36 \times (17 + 83) \)。

📌 第三步：计算
先算括号里的加法：\( 17 + 83 = 100 \)。
再算乘法：\( 36 \times 100 = 3600 \)。

✅ 答案：\( 3600 \)

💬 总结：找到公因数后，整个计算变得非常简单，避免了复杂的两位数乘法计算。

🔥 例题2

计算：\( 4.8 \times 3.7 - 4.8 \times 2.7 \)

📌 第一步：找相同
两个乘法部分都有相同的乘数 \( 4.8 \)。

📌 第二步：提出来，写括号
把公因数 \( 4.8 \) 提到括号外面。括号里面写 \( 3.7 \) 和 \( 2.7 \)，它们之间用原来的减号连接。
原式变为：\( 4.8 \times (3.7 - 2.7) \)。

📌 第三步：计算
先算括号里的减法：\( 3.7 - 2.7 = 1.0 \)。
再算乘法：\( 4.8 \times 1 = 4.8 \)。

✅ 答案：\( 4.8 \)

💬 总结：公因数也可以是小数，方法完全一样。提取后计算量大大减少。

🔥 例题3

计算：\( 99 \times 27 + 27 \)

📌 第一步：找相同（关键步骤）
第二个加数 \( 27 \) 可以看作是 \( 1 \times 27 \)。这样，两个部分 \( 99 \times 27 \) 和 \( 1 \times 27 \) 就有了相同的乘数 \( 27 \)。

📌 第二步：提出来，写括号
把公因数 \( 27 \) 提到括号外面。括号里面写 \( 99 \) 和 \( 1 \)，用加号连接。
原式变为：\( 27 \times (99 + 1) \)。

📌 第三步：计算
先算括号：\( 99 + 1 = 100 \)。
再算乘法：\( 27 \times 100 = 2700 \)。

✅ 答案：\( 2700 \)

💬 总结：当一个单独的加数（或减数）没有明显的乘数时，可以把它看成是“ \( 1 \) ”乘它本身。这是反向提取中一个非常重要的技巧。

练习题（10道）

由易到难，题目新颖，贴近生活。

\( 15 \times 6 + 15 \times 4 \)
\( 42 \times 18 - 42 \times 8 \)
\( 7.5 \times 2.3 + 7.5 \times 7.7 \)
\( 101 \times 56 - 56 \)
小明的妈妈买了5斤苹果和3斤苹果，每斤价格都是8元。请用两种方法计算总价，并列出等式。
\( 24 \times 33 + 76 \times 33 \)
\( 12.5 \times 8.8 - 12.5 \times 0.8 \)
\( \frac{2}{5} \times 7 + \frac{2}{5} \times 3 \)
一个长方形花园，长增加了3米，宽不变。已知原长为 \( m \) 米，宽为 \( n \) 米。用含有字母的式子表示增加的面积，并尝试简化。
\( 999 \times 222 + 333 \times 334 \) （提示：先转化，使算式出现公因数）

奥数挑战（10道）

杯赛真题难度（如迎春杯、华杯赛），需要思维拓展。

计算：\( 1999 + 999 \times 999 \)
计算：\( 3333 \times 3333 + 9999 \times 8889 \)
计算：\( 2014 \times 20152015 - 2015 \times 20142014 \)
已知 \( a = 123456789 \)， \( b = 987654321 \)，求 \( a \times 11 + b \times 9 \) 的简便算法思路。
计算：\( (1+3+5+...+99) - (2+4+6+...+100) \) （提示：分组配对，利用乘法分配律逆运算）
计算：\( 111111 \times 999999 + 999999 \times 666667 \)
已知 \( \triangle + \square = 20 \)， \( \triangle \times 7 + \square \times 7 = ? \)
计算：\( 9999 \times 2222 + 3333 \times 3334 \)
一个数与自己相加、相减、相乘、相除后，四个结果的总和是100。求这个数。（列方程时可能用到逆运算）
计算：\( 2015 \times 201620162016 - 2016 \times 201520152015 \)

生活应用（5道）

融入当下热点场景（高铁、航天、AI、环保、网购等）。

【高铁提速】 “复兴号”高铁原来行驶一段路程需要 \( t \) 小时，提速后时间减少了0.2小时。已知高铁的速度是 \( v \) 千米/时。用含有字母的式子表示提速后比原来多行驶了多少千米，并化简。
【航天发射】 发射一颗卫星需要用到A型零件 \( x \) 个和B型零件 \( x \) 个。A型零件单价是85元，B型零件单价是15元。某次任务需要发射3颗这样的卫星。请用简便方法计算购买零件总共需要多少钱，并列出算式。
【AI学习】 一个人工智能模型处理一张标准图片需要 \( m \) 毫秒，处理一段语音需要 \( n \) 毫秒。现在要处理100张图片和100段语音。请用两种方法表示总耗时，并说明它们为什么相等。
【绿色环保】 一个节能灯泡比普通灯泡每小时省电 \( w \) 度。学校教室原来全部使用普通灯泡，共 \( a \) 个。现在全部更换为节能灯泡，每天亮灯 \( h \) 小时。请用含有字母的式子表示一天节省的电量，并化简。
【网购促销】 某网店“双十一”促销，商品一律按“满300减50”的优惠券结算。小红买了三件商品，价格分别是128元、95元、77元。请用简便算法计算她最终应付多少钱？（提示：先算总价，再看能减免多少）

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 15 \times (6+4)=15 \times 10=150 \)

\( 42 \times (18-8)=42 \times 10=420 \)

\( 7.5 \times (2.3+7.7)=7.5 \times 10=75 \)

\( 56 \times (101-1)=56 \times 100=5600 \)

方法一：\( 8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64 \)（元）。方法二：\( 8 \times (5+3) = 8 \times 8 = 64 \)（元）。等式：\( 8 \times 5 + 8 \times 3 = 8 \times (5+3) \)。

\( (24+76) \times 33 = 100 \times 33 = 3300 \)

\( 12.5 \times (8.8-0.8) = 12.5 \times 8 = 100 \)

\( \frac{2}{5} \times (7+3) = \frac{2}{5} \times 10 = 4 \)

增加的面积：\( 3 \times n \) （平方米）。可以看作是 \( n \times 3 \)，已经是最简形式。如果原题是计算增加后总面积：\( (m+3) \times n = m \times n + 3 \times n \)，则增加部分就是 \( 3 \times n \)。

解析：\( 999 \times 222 = 333 \times 3 \times 222 = 333 \times 666 \)。原式变为 \( 333 \times 666 + 333 \times 334 = 333 \times (666+334) = 333 \times 1000 = 333000 \)。

【奥数挑战答案】

解析：\( 1999 = 1000 + 999 \)，原式 = \( 1000 + 999 + 999 \times 999 = 1000 + 999 \times (1+999) = 1000 + 999 \times 1000 = 1000 \times (1+999) = 1000 \times 1000 = 1000000 \)。

解析：\( 3333 \times 3333 = 1111 \times 3 \times 3333 = 1111 \times 9999 \)。原式 = \( 1111 \times 9999 + 9999 \times 8889 = 9999 \times (1111+8889) = 9999 \times 10000 = 99990000 \)。

解析：令 \( a=2014, b=2015 \)。原式 = \( a \times (10000b + b) - b \times (10000a + a) = a \times 10001b - b \times 10001a = 10001ab - 10001ab = 0 \)。

解析：\( a \times 11 + b \times 9 = a \times (10+1) + b \times (10-1) = 10a + a + 10b - b = 10 \times (a+b) + (a-b) \)。由于 \( a+b \) 和 \( a-b \) 都是整齐的数字，可能简化计算。

解析：原式 = \( (1-2) + (3-4) + (5-6) + ... + (99-100) = (-1) + (-1) + ... + (-1) \) (共50个-1) = \( -50 \)。或：\( (1+3+...+99) = 50^2=2500, (2+4+...+100)=51 \times 50=2550 \)，差为-50。

解析：公因数为 \( 999999 \)，原式 = \( 999999 \times (111111+666667) = 999999 \times 777778 \)。可以进一步用 \( 1000000-1 \) 简化。

\( 7 \times (\triangle + \square) = 7 \times 20 = 140 \)。

解析：\( 9999 \times 2222 = 3333 \times 3 \times 2222 = 3333 \times 6666 \)。原式 = \( 3333 \times 6666 + 3333 \times 3334 = 3333 \times (6666+3334) = 3333 \times 10000 = 33330000 \)。

解析：设这个数为 \( x \)。相加：\( x+x=2x \)，相减：\( x-x=0 \)，相乘：\( x^2 \)，相除：\( x \div x = 1 \) (\( x \neq 0 \))。和为：\( 2x + 0 + x^2 + 1 = 100 \)，即 \( x^2+2x-99=0 \)，解得 \( x=9 \) 或 \( x=-11 \)。

解析：同第3题思路。令 \( a=2015, b=2016 \)。\( 201620162016 = 2016 \times 100010001 \)，但更简单的方法是直接利用规律。原式 = \( a \times (b \times 100010001) - b \times (a \times 100010001) = ab \times 100010001 - ab \times 100010001 = 0 \)。

【生活应用答案】

提速后路程：\( v \times (t-0.2) \)；原路程：\( v \times t \)。多行驶路程：\( v \times (t-0.2) - v \times t = v \times (t-0.2 - t) = v \times (-0.2) = -0.2v \)（千米）。结果为负表示实际比原来少用了时间，但在相同速度下，路程与时间成正比，所以“多行驶”理解为“在同样的时间内，以新速度能比原速度多跑”，则式子应为：新速度下原时长跑的路程减去原路程：\( v \times t - v \times (t-0.2) = v \times 0.2 = 0.2v \)（千米）。

一颗卫星的零件费用：\( 85x + 15x = (85+15)x = 100x \)（元）。三颗卫星总费用：\( 3 \times 100x = 300x \)（元）。简便算式：\( 3 \times (85+15) \times x \)。

方法一（分开算）：\( 100 \times m + 100 \times n \)（毫秒）。方法二（合并算）：\( 100 \times (m+n) \)（毫秒）。相等的原因就是乘法分配律的逆运算。

一个灯泡一天省电：\( w \times h \)（度）。总共节省：\( a \times (w \times h) = a \times w \times h \)（度）。也可以写成 \( (a \times w) \times h \)。

商品总价：\( 128+95+77 \)。简便计算：\( (128+72) + (95+5) + (77+23) - (72+5+23) = 200+100+100 - 100 = 300 \)（元）。满300减50，实际支付：\( 300 - 50 = 250 \)（元）。或用提取公因数思想：先将接近整百的数组合。

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