[期末复习：九年级数学上册切线长定理考点总结与真题解析 | 星火网]专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：切线长定理核心考点速记
【开篇语：切线长定理是《圆》这一章的核心定理之一，期末必考！通常以填空题、选择题直接考查基本结论，更常作为几何综合证明题或计算题的关键步骤出现，是连接圆外点、切线与圆心的桥梁。】
- 必背概念：记住“风筝模型”！从圆外一点（风筝的“手”）向圆引两条切线，得到两个切点（风筝的两个“尾巴”）。那么，这两条切线长相等。连接这个点和圆心，这条线既是两条切线夹角的角平分线，也垂直平分两切点间的弦。由此能构造出一大堆全等直角三角形，解题时随便用。
- 阿星顺口溜：外点引两线，切长必相等。连心线，双身份，平分角来平分弦。直角全等排排坐，解题钥匙手中握。
- 万能公式：如图，PA、PB切⊙O于A、B，PO交AB于C。
- ① \( PA = PB \)
- ② \( \angle APO = \angle BPO = \frac{1}{2} \angle APB \)
- ③ \( PO \perp AB \) 且 \( AC = BC \)
- ④ \( \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ \)
- ⑤ 在Rt△OAP中：\( OA^2 + PA^2 = OP^2 \)（勾股定理）
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
陷阱1：垂直关系表述不完整
- ❌ 常见错解：在证明中直接写“∵PA、PB是切线，∴PO⊥AB”。（漏掉了关键条件）
- ✅ 满分规范：必须说明“垂直平分”或指明垂足。正确写法：“∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO垂直平分弦AB。”或“∴PO⊥AB于点C，且AC=BC。”扣分原因：定理结论是“垂直且平分”，只写“垂直”不严谨。
陷阱2：证明全等三角形时，条件罗列不全
- ❌ 常见错解：证明△OAP≌△OBP时，只写“OA=OB，OP=OP，PA=PB”。（SSS？SAS？条件混乱）
- ✅ 满分规范：严格按照判定定理书写。推荐用HL或SAS。
- HL法：“在Rt△OAP和Rt△OBP中，∵OA=OB（半径），OP=OP（公共边），∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）。”
- SAS法：“∵PA=PB（切线长相等），∠OAP=∠OBP=90°（切线性质），OA=OB（半径），∴△OAP≌△OBP（SAS）。”扣分原因：逻辑跳跃，条件与判定定理不匹配。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型1：基础概念题（选择/填空）
题目：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P=50°，则∠AOB的度数为（ ）。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（识别考点）：看到“两条切线”，立刻想到“风筝模型”和切线长定理的推论——圆心与圆外点的连线平分切线夹角。
- 第二步（快速求解）：根据定理，∠APO=∠BPO=25°。在四边形OAPB中，∠A=∠B=90°，已知∠P=50°，所以∠O=360°-90°-90°-50°=130°。
✅ 答案：130°
模型2：周长/边长转化题（填空/解答）
题目：如图，△ABC的内切圆⊙I与三边分别切于点D、E、F。若△ABC的周长为20cm，且AF=4cm，BD=3cm，求CE的长度。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（识别考点）：“内切圆”+“切点”是切线长定理的经典应用场景。将三角形周长转化为三组相等的切线长之和。
- 第二步（快速求解）：设CE = x cm。由切线长定理：AE=AF=4， CD=BD=3， BF=BE=(周长-已知边和)/2？不！更直接：AB=AF+BF=4+BE， BC=BD+CD=3+x， AC=AE+CE=4+x。∵AB+BC+AC=20，∴(4+BE)+(3+x)+(4+x)=20。又BE=BF，且由AB表达式知BE=AB-4。但更简单：利用对称性，AD=AF=4， BE=BD=3， CF=CE=x。则半周长p=(AB+BC+CA)/2=10。又p=AD+BE+CF=4+3+x，∴10=7+x，得x=3。
✅ 答案：CE = 3cm
模型3：多知识点综合题（压轴解答）
题目：如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E。
（1）求证：E是BC的中点；
（2）连接CD，若DE=2，BD=1，求⊙O的直径AC的长。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（（1）问识别考点）：“切线DE”+“可能存在的另一条切线”？观察发现，∠ACB=90°，故EC也可能是切线。连接OD、OE。证明思路：利用切线长定理逆推（或全等）证明EC=ED，再结合直径所对圆周角为直角，得到CD⊥AB，利用等腰三角形“三线合一”证明BE=EC。
- 第二步（（2）问求解）：在（1）问基础上，得到BC=2DE=4。在Rt△BDC中，由勾股定理可求CD。再通过△ADC∽△ACB或△BDC∽△BCA等相似关系，建立方程求解AC。
✅ 答案：（1）证明略（关键：连接OD、OC，证△ODE≌△OCE得EC=ED，结合∠BDC=90°得BE=EC）。
（2）AC = \( 2\sqrt{5} \)（提示：BC=4，CD=√(BC²-BD²)=√15，由△ACD∽△ABC得AC²=AD·AB，设AD=x，则x(x+1)=(√15)²，解出x，AC=√(x·(x+1))）。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 从圆外一点P向⊙O引切线PA、PB，切点A、B，若PA=6cm，则PB=____cm。
- 如上题，若∠APB=60°，则∠AOB=____°。
- 如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°。若AC=3，BC=4，则⊙O的半径r=____。
- 下列说法正确的是（ ）A.过圆外一点有且只有一条切线 B.切线长就是切线的长度 C.切线长定理中的“切线长”指的是从圆外一点到切点的线段长 D.垂直于切线的直线必过圆心
- 已知PA、PB切⊙O于A、B，C是优弧AB上一点，若∠P=44°，则∠ACB=____°。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 如图，PA、PB切⊙O于A、B，OP交⊙O于C，交AB于D。若AP=12，OA=5，则CD的长为____。
- △ABC的周长为24，其内切圆⊙I与三边切于D、E、F，且AB=9，BC=7，则AF=____，BD=____，CE=____。
- 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，与三边切于D、E、F。则阴影部分（△ABC减去⊙O面积）的面积为____。
- 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB延长线上，CD切⊙O于D，连接AD。若AB=CD=4，则BC=____。
- 如图，⊙O与正三角形ABC的两边AB、BC相切于D、E，且与△ABC的外接圆相切于点F。若AB=6，则⊙O的半径为____。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H。求证：AB+CD=AD+BC。
- 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径。求证：PO∥BC。
- 如图，以点O为圆心的两个同心圆，大圆的弦AB、AC分别切小圆于D、E。求证：DE是△ABC的中位线。
- 如图，在平面直角坐标系中，点A(0，6)，点B(8，0)，⊙M经过原点O及A、B两点。过点B作⊙M的切线，交y轴负半轴于点C。求直线BC的解析式。
- （动点问题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点P从点A出发沿AB运动到点B停止。以P为圆心，PA长为半径作圆。当⊙P与对角线BD所在直线相切时，求PA的长。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：“风筝模型”复盘。解完题后，快速在图中标出“圆外点P”、“两切点A、B”、“圆心O”。检查是否用上了PA=PB，OP是否平分∠APB和垂直平分AB。如果题目条件没用全，很可能漏解或出错。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：现场推导。画个标准的图，连接OA、OB。根据切线性质（OA⊥PA，OB⊥PB）和“HL”证明Rt△OAP≌Rt△OBP。全等三角形对应边相等、对应角相等，切线长定理的所有结论就都出来了。这比死记硬背更可靠！
Q：遇到内切圆问题总是设未知数乱，怎么办？
A：“对称设元法”。设从同一个顶点出发的两条切线长为x（如AF=AD=x），按顺时针或逆时针方向，将其他切线长依次用x和已知边长表示。最后利用“对边和相等”（AB+CD=AD+BC）或“总周长”列方程，条理清晰。
参考答案
第一关：1. 6 2. 120 3. 1 4. C 5. 68
第二关：1. \( \frac{10}{13} \) (提示：先求OP=13，OD=OA²/OP=25/13，CD=OC-OD) 2. AF=4， BD=5， CE=3 3. \( 24 - 4\pi \) (提示：内切圆半径r=2) 4. \( 4\sqrt{2}-4 \) (提示：连接OD，设BC=x，用勾股定理) 5. 1 (提示：连接O与两切点，及大圆圆心与A、B，利用30°角)
第三关：
- 提示：由切线长定理，AE=AH， BE=BF， CF=CG， DH=DG， 将四边相加即证。
- 提示：证PO垂直平分AB，故PO⊥AB；又AC为直径，故BC⊥AB，所以PO∥BC。
- 提示：连接OD、OE、OA。由切线长定理，AD=AE，又OD=OE，OA=OA，得△AOD≌△AOE，故∠DAO=∠EAO，即AO平分∠BAC。由垂径定理，AO垂直平分DE，故DE∥BC，且D、E为AB、AC中点。
- \( y = \frac{3}{4}x - 6 \) (提示：求出⊙M圆心(4,3)，半径5。连接MB，则MB⊥BC。由相似或斜率关系求BC斜率，再代入B点坐标求解析式。)
- \( \frac{12}{5} \) 或 \( \frac{4}{3} \) (提示：分两种情况：⊙P与BD相切于BD线段上一点，或与BD的延长线相切。过P作PE⊥BD于E，则PE=PA。利用△PBE∽△DBA或△PEB∽△DCB列比例式求解。)
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