图形的运动（二）：轴对称与平移

知识要点

一、轴对称

💡 核心概念：把一个图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。重合的点叫做对称点。

📝 操作方法：

1. 找：找到图形中的关键点（如顶点）。

2. 定：确定每个关键点到对称轴的垂直距离。

3. 画：在对称轴的另一侧，找到距离相等的位置，画出对称点。

4. 连：按顺序连接这些对称点，就画出了轴对称图形。

🎯 记忆口诀：对折重合是关键，形状大小都不变。对称轴像面镜，左右（上下）两边是对称。

🔗 知识关联：我们在二年级就认识了像蝴蝶、天安门这样的轴对称图形，现在是更系统、更准确地学习，并且要会画出轴对称图形的另一半。

二、平移

💡 核心概念：物体或图形沿着直线方向移动，本身的形状、大小和方向都不发生改变，只是位置发生了变化，这种运动叫做平移。

📝 操作方法：

1. 选：选择图形上的一个关键点（通常是一个顶点）。

2. 移：将这个点按照要求平移到新位置。

3. 画：根据这个点的新位置，画出整个平移后的图形。

关键：图形上所有点都向相同方向移动了相同距离。

🎯 记忆口诀：平移图形很简单，所有点走一样远。上下左右直线走，样子方向不会变。

🔗 知识关联：就像我们推开窗户、拉开抽屉，这些都是平移现象。它和之前学习的“位置与方向”知识紧密相连。

易错点警示

❌ 错误1：认为长方形只有2条对称轴。
→ ✅ 正解：长方形有2条对称轴（两条对边中点的连线）。正方形有4条。

❌ 错误2：判断轴对称图形时，只看大概形状，不严格对折。
→ ✅ 正解：必须想象或操作“对折后能否完全重合”。例如，平行四边形一般不是轴对称图形（特殊菱形除外）。

❌ 错误3：描述平移时，只说“移动了”，不说清方向和距离。
→ ✅ 正解：必须说清楚向哪个方向平移了几格。例如，“向右平移7格”。

三例题精讲

🔥 例题1：画出下面轴对称图形的另一半。

对称轴

📌 第一步：找关键点。左边图形有A、B、C、D、E五个顶点。

📌 第二步：定距离。量出每个点到对称轴的垂直距离。A点距离对称轴20格，B点0格，C点20格，D点20格，E点0格。

📌 第三步：画点连线。在对称轴右边同样距离的位置，画出对称点A‘、B’、C‘、D’、E‘，然后按顺序连接起来。

✅ 答案：（图形略，为一个完整的箭头形长方形）

💬 总结：画轴对称图形另一半的核心是“找点-定距-画对称点-连线”，对称轴上的点（如B、E）其对称点就是它本身。

🔥 例题2：如图，小船图向（ ）平移了（ ）格。

10格

📌 第一步：选一个最容易观察的点，比如船头最尖的点（蓝色小船在(50,30)，绿色小船在(150,30)）。

📌 第二步：看这个点的移动。它从(50,30)移动到了(150,30)。横坐标增加了100，纵坐标没变。

📌 第三步：确定方向和距离。因为横坐标增加，所以是向右移动。网格中每个格子边长是10，所以 \( 100 \div 10 = 10 \) 格。

✅ 答案：右，10

💬 总结：数平移格数时，一定要找一个对应的点来数，而不是数两个图形中间的空白。方向看横、纵坐标的变化。

🔥 例题3：一个图形先向右平移5格，再向下平移3格后的位置如下图。你能画出它原来的位置吗？

📌 第一步：题目是已知平移后的结果，求原来的图形。这是平移的逆操作。

📌 第二步：逆向思考。将绿色正方形先向上平移3格（抵消向下的平移）。

📌 第三步：再将上一步得到的图形向左平移5格（抵消向右的平移）。

✅ 答案：（图形略，为一个在左上方的小正方形）

💬 总结：已知结果求原图，要把平移的步骤完全倒过来，方向和距离不变，顺序也通常是倒序。

练习题（10道）

1. 判断题：正方形有无数条对称轴。（ ）

2. 选择题：下面图形中，（ ）不是轴对称图形。
A. 心形 B. 平行四边形 C. 等腰三角形

3. 画出下面三角形关于虚线对称的轴对称图形。

4. 描述一下图中的小树是如何平移变成大树（或反之）的。
[此处应有小树右移数格变大树的简图]

5. 一个“L”形图形向右平移6格后，它上边那条横线的一端从点(2,4)移动到了哪里？

6. 补全轴对称数字“5”的另一半。

7. 教室的门在开关时是（ ）运动，钟表指针的转动是（ ）运动。（填“平移”或“旋转”）

8. 请画出将字母“F”先向下平移4格，再向右平移3格后的图形。（给出初始F位置网格图）

9. 等腰三角形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴。

10. 你能用轴对称或平移的知识，设计一个简单的花边图案吗？试着画一画。

奥数挑战（10道）

1. 一个图形有两条互相垂直的对称轴，这个图形可能是什么？（至少写出两种）

2. 一个数字电子表显示的数字如“12:21”是轴对称的。请再找出两个在电子表上显示是轴对称的时刻。

3. 下图由4个相同正方形组成，至少需要添加几个相同的小正方形，才能使整个图形成为一个轴对称图形？请画出一种方法。[附图：一个“L”形由四个小正方形组成]

4. 将数字“8”沿一条直线剪开，得到两个完全相同的图形。这条直线在哪里？

5. 一块拼图向右平移正好可以和另一块拼图拼接。如果A拼图上一点P的坐标是(3,7)，拼接后对应点Q的坐标是(11,7)，那么这两块拼图在拼接前的水平距离是多少？

6. 一个棋盘上的棋子“车”从位置A(5,2)先向左平移4格，再向上平移3格，最后向右平移2格。它最终在什么位置？

7. （将军饮马问题简化版）如图，小猫咪在A点，小鱼干在B点，它要去河边（直线L）喝点水再去吃鱼。请画出最短的路线。
[附图：直线L，上方两点A、B]

8. 一个图形经过两次轴对称（对称轴平行），相当于一次什么运动？

9. 在6×6的网格中，将一个“十”字形（由5个格子组成）进行平移，有多少种不同的位置摆放它而不超出网格？

10. 一个三位数，其数字左右对称（如101，252），这样的数有多少个？

生活应用（5道）

1. （高铁）高铁车厢之间的连接是平移现象吗？为什么？高铁标志“CRH”（如右图）是轴对称图形吗？
[附简单高铁和CRH标志图]

2. （航天）神州飞船与天宫空间站对接时，飞船需要精细的平移调整。如果控制系统指令飞船向右平移 \( d \) 米，那么飞船上的每一个部件都向右平移了（ ）米。

3. （AI人脸识别）很多人脸识别技术会先将人脸图像进行“对称化”处理，这是利用了人脸近似（ ）的特点。

4. （环保）垃圾分类标志中，哪些标志可以看作是轴对称图形？（可列举可回收物、有害垃圾等标志）

5. （网购）仓库机器人搬运货箱。1号机器人将货箱从A区平移到了B区，路线是一个直角：先向东移8米，再向北移6米。请问货箱被平移的总直线距离是多少米？（提示：求起点到终点的直线段长度）