数学广角——搭配（二）学习资料

写给三年级同学的话

同学们，欢迎来到有趣的“搭配”世界！在生活中，我们常常需要做选择：今天穿哪件上衣和裤子？中午吃什么菜？这些都是搭配问题。学好搭配，能让我们的思考更有条理，做事更周全哦！

知识要点

💡 核心概念

“搭配（二）”主要研究的是：当完成一件事需要分两步（或更多步）进行，而每一步都有几种不同的选择时，求一共有多少种不同的完成方法。解决这类问题的关键是有序思考，不重复、不遗漏。我们可以用连线、列表或列算式的方法来帮助思考。

📝 计算法则（乘法原理）

1. 步骤拆分：把一件完整的事情，清楚地分成几个连续的步骤。
2. 确定选择：看看完成第一步有几种方法，完成第二步有几种方法。
3. 相乘计算：完成这件事的总方法数，就等于每一步方法数的乘积。即：如果第一步有 m 种方法，第二步有 n 种方法，那么总方法数就是 \( m \times n \) 种。

🎯 记忆口诀

搭配问题两步走，先分步骤数一数。每一步里有选择，步步相乘出路多。有序思考画图表，不重不漏是法宝。

🔗 知识关联

• 二年级上册“数学广角——搭配（一）”：学习了最简单的数字排列和两人握手问题，为现在的学习打下了基础。
• 表内乘法：计算总方法数时，需要用到乘法运算。

易错点警示

❌ 错误1：思考顺序混乱，导致重复或遗漏。
例如：用2、5、7组两位数，直接想“有6个”。
✅ 正解：有序思考。先固定十位是2，个位可以是5或7，得25、27；再固定十位是5，得52、57；最后固定十位是7，得72、75。共 \( 3 \times 2 = 6 \) 个。

❌ 错误2：误用加法计算。
例如：3件上衣和2条裤子，认为有 \( 3 + 2 = 5 \) 种搭配。
✅ 正解：每件上衣都可以配2条裤子，所以是搭配关系，应用乘法：\( 3 \times 2 = 6 \) 种。

❌ 错误3：忽略特殊条件（如“0”不能放在首位）。
例如：用0、2、4组两位数，认为是 \( 3 \times 2 = 6 \) 个。
✅ 正解：0不能作为十位。因此，十位有2和4两种选择，选定十位后，个位从剩下的两个数字中选。总数为 \( 2 \times 2 = 4 \) 个（即20，24，40，42）。

三例题精讲

🔥 例题1：服装搭配
小丽有2件不同的上衣（一件T恤，一件衬衫）和3条不同的裙子（红、蓝、黄）。她想选择一件上衣和一条裙子穿，一共有多少种不同的穿法？

T恤

衬衫

红

蓝

黄

📌 第一步： 把事情分两步。第一步选上衣，有2种选择；第二步选裙子，有3种选择。

📌 第二步： 用乘法原理计算。总穿法 = 上衣的选择数 × 裙子的选择数。

📌 第三步： 列式计算：\( 2 \times 3 = 6 \)（种）。

✅ 答案： 一共有6种不同的穿法。

💬 总结： 典型的“分步乘法”问题，画连线图可以非常直观地看到所有搭配。

🔥 例题2：组数问题
用数字卡片1、8、0能组成多少个不同的两位数？

📌 第一步： 认识到“0”不能放在十位上，这是一个特殊限制。

📌 第二步： 分步骤思考。先确定十位，可以从1和8中选，有2种选择。

📌 第三步： 确定十位后，个位可以从剩下的两个数字中选，有2种选择。

📌 第四步： 计算：\( 2 \times 2 = 4 \)（个）。

✅ 答案： 能组成4个不同的两位数（10, 18, 80, 81）。

💬 总结： 组数时，一定要特别注意“0”不能在最高位（如两位数的十位）。

🔥 例题3：比赛场次
三年级4个班进行足球单循环赛（每两个班之间都要比赛一场），一共要比赛多少场？

📌 第一步： 理解“单循环”意味着甲班和乙班比赛，与乙班和甲班比赛是同一场，不能重复计算。

📌 第二步： 有序思考。让1班先和其他班比，需要和2、3、4班比，共3场。

📌 第三步： 接着让2班和其他班比，因为已经和1班比过了，只需要和3、4班比，共2场。

📌 第四步： 然后让3班和其他班比，已经和1、2班比过了，只需要和4班比，共1场。4班都已比过。

📌 第五步： 总场数：\( 3 + 2 + 1 = 6 \)（场）。

✅ 答案： 一共要比赛6场。

💬 总结： 这是“组合”问题的雏形，不能直接用班级数相乘。用“连线法”或“加法递加”思路更清晰。

练习题（10道）

1. 早餐店有3种粥（白粥、小米粥、八宝粥）和4种主食（包子、油条、馒头、花卷）。小明想买一份粥和一份主食，有多少种不同的选择？
2. 从学校到少年宫有2条路，从少年宫到图书馆有3条路。小明从学校经过少年宫到图书馆，一共有多少条不同的路线？
3. 用数字卡片2、4、9可以组成多少个不同的两位数？请写出来。
4. 小红有4支不同颜色的彩笔和3张白纸，她想给每张纸选一种颜色画边框（每张纸颜色可以相同也可以不同），一共有多少种不同的选法？
5. 小明的密码锁密码是一个两位数，十位是1、3、5中的一个，个位是2、4、6、8中的一个。这个密码可能是多少种？
6. 用0、5、7这三张数字卡片，能组成多少个不同的三位数？
7. 有红、黄、蓝三种信号灯，每次亮起一种或两种（不分顺序）表示不同的信号。一共可以表示多少种不同的信号？
8. 书架上有3本不同的故事书和2本不同的科技书。（1）从中任取1本，有几种不同的取法？（2）从中取1本故事书和1本科技书，有几种不同的取法？
9. 甲、乙、丙、丁4个人，每两个人通一次电话，一共要通多少次电话？
10. 小华有3件不同的短袖和2条不同的短裤。如果每天换一套（一件短袖配一条短裤），这些衣服够他连续穿多少天不重复？

奥数挑战（10道）

1. 用1、2、3、4这四个数字，能组成多少个没有重复数字的四位数？
2. 一个小组有5名同学，毕业时每两人互赠一张照片，一共要准备多少张照片？
3. 从1到9这九个数字中，任取两个不同的数字相加，和大于10的取法有多少种？
4. 地图上有A, B, C, D四个城市，现要铺设光缆，使任意两个城市之间都有直达线路（不要求所有城市都直接相连）。最多需要铺设多少条不同的线路？最少呢？
5. 一把密码锁的密码是一个三位数，由1、2、3、4中的数字组成（数字可重复）。如果忘记密码，最多试多少次一定能打开？
6. 有5面不同颜色的小旗，任意取出三面按不同顺序排成一排表示一种信号。一共可以表示多少种不同的信号？
7. 数一数，下图中共有多少个不同的长方形？（此处可想象一个3x2的网格图）
8. 甲、乙、丙、丁、戊五个人进行象棋比赛，采用单循环赛制。比赛到中途时，发现甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问此时戊赛了几盘？
9. 用红、黄、蓝三种颜色给下图中的两个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，有多少种不同的涂色方法？（此处可想象两个并排的圆形A和B）
10. 从南京到上海的高铁，中间停靠苏州、无锡、常州三个站。铁路局需要为这段路线准备多少种不同的单程车票？

生活应用（5道）

1. （高铁选座）一列“复兴号”高铁车厢的座位号由一个数字（表示排数，如1-10）和一个字母（表示位置，如A、B、C、D、F）组成。其中A、F是靠窗座位。小明的票是第5排靠窗座位，他的座位号可能是哪几个？
2. （航天发射）一次航天任务需要从3名预备指令长和4名预备驾驶员中，各选出1人组成一个乘组。一共有多少种不同的乘组搭配方案？
3. （AI人脸识别）一个简单的AI门锁系统，允许设置由两个不同手势（如“剪刀”、“石头”、“布”）组成的连续手势密码。如果不考虑顺序（即“剪刀-石头”和“石头-剪刀”算同一种密码），一共可以设置多少种不同的密码？
4. （环保分类）社区准备了可回收物（蓝）、厨余垃圾（绿）、有害垃圾（红）、其他垃圾（黑）四种颜色的垃圾桶。如果要在一条小路旁等间距摆放其中两种不同颜色的垃圾桶，有多少种不同的摆放方案？
5. （网购套餐）一个“六一”零食大礼包，允许顾客从5种坚果里选2种，从4种果干里选1种，从3种饼干里选1种自由组合。这样一个自定义礼包有多少种不同的搭配可能？