算术平方根是什么？为什么只取正值？附中考真题深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：算术平方根 原理

• 核心概念：想象一下，一个数字（必须是正数哦！）进行“平方”选美比赛，它会产生两个完全一样的“平方根”宝宝，一个正，一个负。这时候，我们只想要那个正的、阳光的宝宝。于是，算术平方根就登场了！它就是“只要正的”的那个评委。阿星会这样告诉你：对于一个正数 \( a \)，我们把它那个正的平方根，单独命名为“算术平方根”，用 VIP 符号 \( \sqrt{a} \)（读作“根号a”）来表示。所以，根号一出现，就代表了“只要正的”态度！
• 计算秘籍：
  1. 记住定义： 如果 \( x^2 = a \) (\( a \ge 0 \))，那么 \( x \) 叫做 \( a \) 的平方根。其中，那个非负的 \( x \) 叫做 \( a \) 的算术平方根，记作 \( x = \sqrt{a} \)。
  2. 两步法求值：
     • 先找谁的平方等于它： 例如求 \( \sqrt{9} \)，就是找哪个正数的平方等于 \( 9 \)？
     • 再写出那个正数： 因为 \( 3^2 = 9 \)，所以 \( \sqrt{9} = 3 \)。（注意，-3虽然平方也得9，但不是算术平方根！）
• 阿星口诀：平方根，有俩个，一正一负是兄弟。算术根，只要正，根号一出就锁定。

📐 图形解析

算术平方根 \( \sqrt{a} \) 在几何上，可以理解为一个面积为 \( a \) 的正方形的边长。这完美体现了它“正的”、“具有实际测量意义”的特性。

正方形的面积公式：\( S = 边长^2 \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 认为 \( \sqrt{9} = \pm 3 \)。 → ✅ 正解： 算术平方根具有非负性，\( \sqrt{9} \) 只表示那个正的平方根，所以 \( \sqrt{9} = 3 \)。正负号（±）是求平方根时才需要考虑的。
• ❌ 错误2： 认为 \( \sqrt{a^2} = a \)。 → ✅ 正解： 算术平方根“只要正的”，所以 \( \sqrt{a^2} = |a| \)。例如 \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)，而不是 -5。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( \sqrt{25} = ? \)
2. \( \sqrt{1} = ? \)
3. \( \sqrt{\frac{9}{100}} = ? \)
4. \( \sqrt{0.49} = ? \)
5. \( \sqrt{121} = ? \)
6. \( \sqrt{(\frac{1}{3})^2} = ? \)
7. \( \sqrt{7^2} = ? \)
8. 面积为 \( 49 \, m^2 \) 的正方形，边长是多少米？
9. 判断对错：\( \sqrt{36} = \pm 6 \)。
10. 判断对错：\( -\sqrt{81} = 9 \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \( \sqrt{x-2} + |y+1| = 0 \)，求 \( x^y \) 的值。
2. 已知 \( \sqrt{1.998} \approx 1.4135 \)，\( \sqrt{19.98} \approx 4.470 \)，则 \( \sqrt{1998} \approx \) ?
3. 计算：\( \sqrt{(-5)^2} - (\sqrt{5})^2 + \sqrt{(3-\pi)^2} \)。
4. 一个正数 \( a \) 的平方根分别是 \( 2m-1 \) 和 \( m+5 \)，求这个正数 \( a \) 的算术平方根。
5. 已知 \( \sqrt{20n} \) 是整数，求满足条件的最小正整数 \( n \)。
6. 观察：\( \sqrt{1+\frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}} \)，\( \sqrt{2+\frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}} \) ... 请写出第 \( n \) 个等式，并证明。
7. 若 \( a = \sqrt{2} \)，则代数式 \( (a-1)(a+1) \) 的值为多少？
8. 比较大小：\( \sqrt{10} \) 与 \( \pi \)。
9. 若 \( \sqrt{a-1} \) 在实数范围内有意义，则 \( a \) 的取值范围是？
10. 已知直角三角形两条直角边分别为 \( \sqrt{8} \) 和 \( \sqrt{18} \)，求斜边的长。

第三关：生活应用（5道）

1. （屏幕尺寸）一块长方形手机屏幕，对角线长为 \( 6.5 \) 英寸，长宽比为 \( 19.5:9 \)。若要计算屏幕的大致面积（平方英寸），在推导公式时，哪一步会用到算术平方根？请简要说明。
2. （建筑用料）要给一个面积为 \( 90 \) 平方米的正方形房间铺地砖，地砖也是正方形，边长为 \( 0.6 \) 米。在不考虑损耗的情况下，至少需要多少块地砖？（提示：先求房间边长）
3. （物理中的误差）在测量中，常用“均方根误差”来评估精度。若三次测量某长度的误差分别为 \( 2 \) cm, \( -3 \) cm, \( 1 \) cm，则均方根误差 \( \sigma = \sqrt{\frac{2^2 + (-3)^2 + 1^2}{3}} \)。计算 \( \sigma \) 的值（保留一位小数）。
4. （投资理财）一笔投资年化收益率（复利）为 \( r \)，经过 \( n \) 年后总资产变为本金的 \( (1+r)^n \) 倍。若已知两年后资产变为本金的 \( 1.21 \) 倍，求年化收益率 \( r \)。（提示：\( 1.21 = 1.1^2 \)）
5. （园艺设计）你有一个面积为 \( 24 \) 平方米的圆形花坛区域。你想在里面划出一块最大的正方形区域来种玫瑰。这个正方形玫瑰园的边长至少需要多少米？（提示：正方形内接于圆时最大，此时正方形对角线等于圆的直径。圆的面积公式 \( S = \pi r^2 \)。先求半径，再求对角线，最后求边长）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 5 \) （ \( 5^2=25 \) ）
2. \( 1 \)
3. \( \frac{3}{10} \)
4. \( 0.7 \)
5. \( 11 \)
6. \( \frac{1}{3} \) （ \( \sqrt{(\frac{1}{3})^2} = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \) ）
7. \( 7 \)
8. \( 7 \, m \) （边长 \( = \sqrt{49} = 7 \) ）
9. 错 （算术平方根只有正值）
10. 错 （ \( -\sqrt{81} = -9 \) ）

第二关：中考挑战

1. 解：∵ \( \sqrt{x-2} \ge 0 \)， \( |y+1| \ge 0 \)，且和为0。∴ \( x-2=0 \)， \( y+1=0 \)。解得 \( x=2 \)， \( y=-1 \)。∴ \( x^y = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)。
2. 解：观察：\( 19.98 = 1.998 \times 10 \)，∴ \( \sqrt{19.98} = \sqrt{1.998 \times 10} = \sqrt{1.998} \times \sqrt{10} \approx 1.4135 \times \sqrt{10} = 4.470 \) ∴ \( \sqrt{10} \approx 4.470 / 1.4135 \approx 3.162 \)。又 \( 1998 = 19.98 \times 100 \)，∴ \( \sqrt{1998} = \sqrt{19.98 \times 100} = \sqrt{19.98} \times 10 \approx 4.470 \times 10 = 44.70 \)。
3. 解：原式 \( = \sqrt{25} - 5 + |3-\pi| = 5 - 5 + (\pi - 3) = \pi - 3 \)。（∵ \( \pi > 3 \) ）
4. 解：一个正数的两个平方根互为相反数。∴ \( (2m-1) + (m+5) = 0 \)，解得 \( m = -\frac{4}{3} \)。∴ 平方根为 \( 2 \times (-\frac{4}{3}) - 1 = -\frac{11}{3} \) 和 \( -\frac{4}{3}+5 = \frac{11}{3} \)。∴ 正数 \( a = (\frac{11}{3})^2 = \frac{121}{9} \)。其算术平方根 \( \sqrt{a} = \frac{11}{3} \)。
5. 解：\( \sqrt{20n} = \sqrt{4 \times 5 \times n} = 2\sqrt{5n} \) 为整数，则 \( 5n \) 必须是完全平方数。最小正整数 \( n = 5 \)。
6. 解：第 \( n \) 个等式：\( \sqrt{n + \frac{1}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \)。证明：左边 \( = \sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = \frac{n+1}{\sqrt{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \) = 右边。
7. 解：\( (a-1)(a+1) = a^2 - 1 = (\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1 \)。
8. 解：∵ \( \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} \)，即 \( 3 < \sqrt{10} < 4 \)。又 \( \pi \approx 3.14 \)，且 \( 3.1^2=9.61<10 \)， \( 3.2^2=10.24>10 \)，∴ \( \sqrt{10} \approx 3.16 \)。故 \( \sqrt{10} > \pi \)。
9. 解：由被开方数非负得：\( a - 1 \ge 0 \)，∴ \( a \ge 1 \)。
10. 解：由勾股定理，斜边 \( c = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + (\sqrt{18})^2} = \sqrt{8 + 18} = \sqrt{26} \)。

第三关：生活应用

1. 解：设长为 \( 19.5k \)，宽为 \( 9k \)。由勾股定理，对角线长 \( = \sqrt{(19.5k)^2 + (9k)^2} = k \sqrt{19.5^2 + 9^2} = 6.5 \)。解方程求 \( k \) 时，需要对方程两边平方，并在最后对 \( k^2 \) 开算术平方根得到正的 \( k \) 值，才能计算面积 \( = (19.5k)(9k) \)。
2. 解：房间边长 \( = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \, (m) \)。沿一边可铺 \( \frac{3\sqrt{10}}{0.6} = 5\sqrt{10} \approx 15.8 \)，取整为16块。同样另一边也需要约16块。∴ 至少需要 \( 16 \times 16 = 256 \) 块。
3. 解：\( \sigma = \sqrt{\frac{4+9+1}{3}} = \sqrt{\frac{14}{3}} = \sqrt{\approx 4.6667} \approx 2.16 \approx 2.2 \, (\text{cm}) \)。
4. 解：由题意 \( (1+r)^2 = 1.21 \)。∴ \( 1+r = \sqrt{1.21} = 1.1 \) （取正值，因为收益率通常表示为正增长）。∴ \( r = 0.1 = 10\% \)。
5. 解：花坛半径 \( r \)：由 \( \pi r^2 = 24 \) 得 \( r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \)。正方形对角线长 \( = 2r = 2\sqrt{\frac{24}{\pi}} \)。设正方形边长为 \( a \)，则对角线长也为 \( a\sqrt{2} \)。∴ \( a\sqrt{2} = 2\sqrt{\frac{24}{\pi}} \)。∴ \( a = \frac{2\sqrt{\frac{24}{\pi}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2 \times 24}{\pi}} = \sqrt{\frac{48}{\pi}} \approx \sqrt{15.28} \approx 3.91 \, (m) \)。