算术平方根是什么意思？非负性深度解析与易错题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：算术平方根 原理

• 核心概念：同学们好，我是阿星！想象一下，平方根就像一个古老的“数字家族”。对于一个非负数 \( a \) 来说，它的平方根有两个成员：一个正的，一个负的，因为它们俩平方之后都能“回归”到 \( a \)。比如 \( 9 \) 的平方根是 \( 3 \) 和 \( -3 \)。但谁是这家族的“嫡长子”、“正牌代表”呢？就是那个非负的成员！我们给它一个尊贵的名字——算术平方根。所以，正根正源：只有非负数才有算术平方根，算术平方根特指那个非负的“正根”。用符号表示就是 \( \sqrt{a} \quad (a \geq 0) \)，它本身也 \( \geq 0 \)。对于负数，比如 \( -9 \)，它在我们目前的世界（实数范围）里，连“家族”都没有，更谈不上“正根”了。
• 计算秘籍：
  1. 判断资格：先看被开方数是否为非负数 \( (a \geq 0) \)。负数没有算术平方根。
  2. 寻找原数：想哪个非负数 \( b \)，满足 \( b^2 = a \)。
  3. 写结果：这个 \( b \) 就是 \( a \) 的算术平方根，记为 \( \sqrt{a} = b \)。
  4. 化简原则： \( \sqrt{a^2} = |a| \)。比如 \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)。
• 阿星口诀：根号底下非负客，开方结果非负德。正根正源是老大，负数来了没处搁。

📐 图形解析

算术平方根在几何上，最直观的理解就是正方形的边长。已知一个正方形的面积，它的边长就是面积的算术平方根。因为边长总是一个非负数。

面积公式：\( S = a^2 \)， 则边长 \( a = \sqrt{S} \quad (S \geq 0) \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \( \sqrt{9} = \pm 3 \)。 → ✅ 正解：\( \sqrt{9} \) 特指算术平方根，所以 \( \sqrt{9} = 3 \)。平方根才用 \( \pm \) 表示，即 \( 9 \) 的平方根是 \( \pm 3 \)。
• ❌ 错误2：认为 \( \sqrt{a^2} = a \)。 → ✅ 正解：\( \sqrt{a^2} = |a| \)。当 \( a \) 为负数时，如 \( a = -5 \)， \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)，而不是 -5。
• ❌ 错误3：认为 \( \sqrt{-4} \) 可以等于 \( -2 \)，因为 \( (-2)^2 = 4 \)。 → ✅ 正解：负数没有算术平方根。\( \sqrt{-4} \) 在实数范围内无意义。被开方数必须非负。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( \sqrt{81} = ? \)
2. \( \sqrt{0.09} = ? \)
3. \( \sqrt{1\frac{9}{16}} = ? \)（带分数）
4. \( -\sqrt{121} = ? \)
5. \( \sqrt{(-12)^2} = ? \)
6. \( (\sqrt{25})^2 = ? \)
7. 若 \( \sqrt{x} = 6 \)，则 \( x = ? \)
8. 若 \( x^2 = 49 \)，则 \( x = ? \)；若 \( \sqrt{x} = 7 \)，则 \( x = ? \)
9. 面积为 \( 64 \, \text{m}^2 \) 的正方形客厅，它的边长是多少米？
10. 判断：\( \sqrt{4} \) 的平方根是 \( \pm 2 \)。（对/错）

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \( \sqrt{a-3} + (b+5)^2 = 0 \)，求 \( a-b \) 的值。
2. 已知 \( y = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x} + 3 \)，求 \( x^y \) 的值。
3. 计算：\( \sqrt{16} - \sqrt[3]{-27} + |1-\sqrt{2}| \)。
4. 若 \( m = \sqrt{20} \) 的整数部分，\( n \) 是它的小数部分，求 \( m - \frac{1}{n} \) 的值。
5. 已知 \( a = \sqrt{5} + 2 \)， \( b = \sqrt{5} - 2 \)， 比较 \( a \) 与 \( \frac{1}{b} \) 的大小。
6. 一个正数 \( x \) 的两个平方根分别是 \( a+1 \) 和 \( a-5 \)，求 \( x \) 的值。
7. 若 \( \sqrt{(3.14-\pi)^2} = ? \)
8. 观察：\( \sqrt{1^3+2^3} = 3 \)， \( \sqrt{1^3+2^3+3^3} = 6 \)， \( \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3} = 10 \)， 猜想 \( \sqrt{1^3+2^3+...+n^3} = ? \)
9. 已知 \( \sqrt{6} \approx 2.449 \)， 求 \( \sqrt{54} \) 的近似值。
10. 若实数 \( a \) 满足 \( |2019 - a| + \sqrt{a-2020} = a \)， 求 \( a - 2019^2 \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑）某学校要建造一个面积为 \( 784 \) 平方米的正方形花坛，为了防止学生踩踏，需要在花坛四周铺设一条等宽的小路。若小路总面积也为 \( 784 \) 平方米，求小路的宽度。（提示：设小路宽为 \( x \) 米，则大正方形边长为 \( \sqrt{784} + 2x \)）
2. （物理/工程）悬挂物体的弹簧，其长度 \( L \)（厘米）与所挂物体质量 \( m \)（千克）的关系为 \( L = 10 + \sqrt{m} \)。当弹簧长度为 \( 13 \) 厘米时，所挂物体质量是多少？
3. （编程/逻辑）在计算机图形学中，计算两点 \( A(x_1, y_1) \)， \( B(x_2, y_2) \) 距离的公式是 \( AB = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)。已知 \( A(1, 2) \)， \( B(4, 6) \)， 求 \( AB \) 的长度。
4. （经济）某商品成本价 \( 100 \) 元，若售价定为 \( x \) 元，则预计能卖出 \( 200 - \sqrt{x} \) 件。要使总利润（利润=销售额-成本）最大，是否可以直接将 \( x \) 设为 \( 100 \)？为什么？（定性思考算术平方根的增长特性）
5. （测量）小明身高 \( 1.6 \) 米，他想知道自己能否不踮脚就看到 \( 5 \) 米外一棵 \( 3 \) 米高的小树顶端。已知他的眼睛离头顶约 \( 0.1 \) 米，他与树、他视线的地面投影点构成直角三角形。请通过计算说明。（提示：视线是直角三角形的斜边）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 9 \)
2. \( 0.3 \)
3. \( \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \)
4. \( -11 \)
5. \( 12 \)
6. \( 25 \) （注意： \( (\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0) \)）
7. \( 36 \) （根据定义， \( (\sqrt{x})^2 = x \)）
8. 平方根： \( x = \pm 7 \)；算术平方根： \( x = 49 \)。
9. \( \sqrt{64} = 8 \, (\text{m}) \)
10. 错。 \( \sqrt{4} = 2 \)， 题目问的是 \( 2 \) 的平方根，是 \( \pm \sqrt{2} \)。

第二关：中考挑战

1. 由非负数和为 \( 0 \)，得 \( a-3=0 \)， \( b+5=0 \)。解得 \( a=3, b=-5 \)。\( a-b=3-(-5)=8 \)。
2. 要使 \( \sqrt{x-2} \) 和 \( \sqrt{2-x} \) 同时有意义，须 \( x-2 \geq 0 \) 且 \( 2-x \geq 0 \)， 解得 \( x=2 \)。代入得 \( y=0+0+3=3 \)。\( x^y = 2^3 = 8 \)。
3. 原式 \( = 4 - (-3) + (\sqrt{2}-1) = 4+3+\sqrt{2}-1 = 6+\sqrt{2} \)。
4. \( \sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} \)， 即 \( 4 < \sqrt{20} < 5 \)， 所以 \( m=4, n=\sqrt{20}-4=2\sqrt{5}-4 \)。\( m-\frac{1}{n}=4-\frac{1}{2\sqrt{5}-4}=4-\frac{2\sqrt{5}+4}{(2\sqrt{5})^2-4^2}=4-\frac{2\sqrt{5}+4}{4}=4-\frac{\sqrt{5}}{2}-1=3-\frac{\sqrt{5}}{2} \)。
5. \( \frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2 = a \)， 所以 \( a = \frac{1}{b} \)。
6. 一个正数的两个平方根互为相反数，所以 \( (a+1)+(a-5)=0 \)， 解得 \( a=2 \)。一个平方根为 \( 2+1=3 \)， 所以 \( x = 3^2 = 9 \)。
7. \( \pi \approx 3.1416 > 3.14 \)， 所以 \( 3.14-\pi < 0 \)。原式 \( = |3.14-\pi| = \pi - 3.14 \)。
8. 观察结果 \( 3, 6, 10 \)， 发现 \( 3=\frac{2\times3}{2} \)， \( 6=\frac{3\times4}{2} \)， \( 10=\frac{4\times5}{2} \)。猜想：\( \sqrt{1^3+2^3+...+n^3} = \frac{n(n+1)}{2} \)。
9. \( \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6} \approx 3 \times 2.449 = 7.347 \)。
10. 由 \( \sqrt{a-2020} \) 有意义，得 \( a \geq 2020 \)， 所以 \( |2019-a| = a-2019 \)。原方程化为 \( a-2019 + \sqrt{a-2020} = a \)， 即 \( \sqrt{a-2020} = 2019 \)。两边平方得 \( a-2020 = 2019^2 \)， 所以 \( a-2019^2 = 2020 \)。