插板法排列组合详解：高中常见题型解析与专项练习PDF下载

💡 阿星精讲：插板法：分东西 原理

• 核心概念：想象一下，阿星这里有 \(10\) 颗一模一样的糖果，要分给 \(3\) 位小朋友（比如小星、小火、小 AI），并且规定每人至少分到 \(1\) 颗。这该怎么分呢？阿星有个妙招：他先把 \(10\) 颗糖在桌上排成一排，像一列小士兵。现在，问题就变成了：如何在糖与糖之间的“空隙”中，插入“板子”来把它们分成 \(3\) 份。因为每人至少 \(1\) 颗，所以板子不能插在最左端或最右端，只能在中间的“空隙”里插。\(10\) 颗糖中间有 \(9\) 个空隙。要分成 \(3\) 份，只需要插 \(2\) 块板子。所以，方法数就等于：从 \(9\) 个空隙中，选出 \(2\) 个位置来插板。看，一个分东西的难题，瞬间变成了一个简单的“选位置”问题！
• 计算秘籍：
  1. 先满足“至少一个”：给每位小朋友先预分 \(1\) 颗糖，保证底线。\(10\) 颗糖分给 \(3\) 人，先各给 \(1\) 颗，用掉 \(3\) 颗，剩下 \(10 - 3 = 7\) 颗。
  2. 问题转化：剩下的 \(7\) 颗糖，可以随便分（有人可以分 \(0\) 颗）。这等价于求方程 \(x_1 + x_2 + x_3 = 7\) 的非负整数解的个数。
  3. 空隙与插板：把 \(7\) 颗糖排好，它们之间有 \(6\) 个空隙。加上允许分 \(0\) 颗，意味着板子可以插在一起（代表有人没分到剩下的糖），也可以插在两端。为了用我们熟悉的“选空隙”模型，一个经典的技巧是：想象我们是在分配“板子”和“糖”的排列顺序。更通用的公式是：将 \(n\) 个相同物品分给 \(m\) 个人，允许有人得 \(0\) 个，分法总数为 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)。在这里，\(n=7\), \(m=3\)，所以是 \(C_{7+3-1}^{3-1} = C_9^2\)。
  4. 回到原问题：我们最初的问题是每人至少 \(1\) 颗。通过“先各给 \(1\) 颗”，我们完美地将它转化成了上述的“允许得 \(0\) 颗”的标准插板法模型。所以最终答案就是 \(C_{9}^{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36\)。
• 阿星口诀：“相同物品分一分，先保底线再插板。空隙数量要数清，组合公式定乾坤。”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：直接想 \(10\) 颗糖分 \(3\) 份，每份至少 \(1\)，于是列算式 \(C_{10}^3\) 或 \(C_9^3\)。
  ✅ 正解：插板法的核心是“空隙”，不是“糖”。\(10\) 颗糖有 \(9\) 个空隙，要分成 \(3\) 份需要 \(2\) 块板，所以是在 \(9\) 个空隙中选 \(2\) 个插板，即 \(C_9^2\)。\(C_{10}^3\) 是选糖，逻辑完全错误。
• ❌ 错误2：解决“至少 \(2\) 个”或“至少 \(k\) 个”的问题时，忘记先给每人分 (\(k-1\)) 个来转化。
  ✅ 正解：“至少 \(k\) 个”是“至少 \(1\) 个”的升级版。例如，\(10\) 糖分 \(3\) 人，每人至少 \(2\) 颗。先每人分 \(1\) 颗（达到“至少”条件的底线），剩下 \(7\) 颗糖随意分（即可以分 \(0\) 颗），问题转化为：\(7\) 颗糖分给 \(3\) 人，允许有人得 \(0\) 颗，方法数为 \(C_{7+3-1}^{3-1} = C_9^2\)。核心逻辑是：先用“借”或“给”的方式满足最低要求，将问题标准化。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 阿星有 \(7\) 块巧克力，分给 \(3\) 个妹妹，每人至少 \(1\) 块，有几种分法？
2. 把 \(9\) 支相同的铅笔分给 \(4\) 位同学，每人至少分到 \(1\) 支，有多少种分配方案？
3. 学校采购了 \(10\) 个相同的足球，要平均分给 \(5\) 个班级（每班至少1个），有多少种分法？（提示：这里“平均”意味着先满足基本条件，再分配剩余）
4. 方程 \(a + b + c = 8\) 的正整数解有多少组？
5. 插板法中的“板”插在哪里？是物品上还是物品间的空隙里？
6. 计算：\(C_6^2\)。
7. 将 \(6\) 个相同苹果放入 \(3\) 个不同盘子，允许有空盘子，有多少种放法？
8. 判断：把 \(5\) 个礼物分给 \(2\) 个人，每人至少 \(1\) 个，可以用 \(C_5^2\) 计算。
9. 从“至少 \(1\) 个”转化为“允许 \(0\) 个”时，通常要先怎么做？
10. \(10\) 颗糖分给 \(3\) 人，甲至少 \(1\) 颗，乙至少 \(2\) 颗，丙至少 \(3\) 颗，怎么转化？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 将 \(20\) 个完全相同的小球全部放入 \(3\) 个不同的盒子，盒子可以空，有多少种方法？
2. 求方程 \(x_1 + x_2 + x_3 = 10\) 的非负整数解（即 \(x_i \ge 0\)）的组数。
3. 满足 \(x_1 + x_2 + x_3 \le 10\) 的正整数解 \((x_1, x_2, x_3)\) 有多少组？
4. 有 \(10\) 个三好学生名额，分配给 \(4\) 个班级，每班至少 \(1\) 个名额，有多少种分配方案？
5. 将 \(15\) 个相同的球放入编号为 \(1,2,3,4\) 的四个盒子中，要求 \(1\) 号盒不空，\(2\) 号盒至少 \(3\) 个，\(3\) 号盒和 \(4\) 号盒至少各 \(2\) 个，有多少种放法？
6. 已知 \(x, y, z\) 为正整数，且 \(x + y + z = 15\)，求满足 \(x \le 5, y \le 6, z \le 7\) 的解的组数。（提示：考虑容斥原理）
7. 把 \(n\) 个相同的元素分成 \(m\) 堆（每堆至少 \(1\) 个），和分成 \(m\) 组（分给 \(m\) 个不同的人）有什么区别？
8. 现有 \(9\) 本相同的书，分给甲、乙、丙三人，要求每人至少分到 \(2\) 本书，有多少种分法？
9. 一个三位数，各位数字之和为 \(10\)，且百位数字至少是 \(2\)，这样的三位数有多少个？（数字可重复）
10. 证明：\(C_{n-1}^{m-1} = C_{n-1}^{n-m}\)，并从插板法的角度解释其组合意义。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI算力分配】星火AI实验室有 \(100\) 个单位的标准算力，需要分配给 \(5\) 个不同的AI训练任务。为了确保每个任务都能启动，至少要分配 \(10\) 个单位算力。考虑到效率，算力必须以整数单位分配。请问有多少种分配方案？
2. 【航天载荷】一艘货运飞船要将 \(12\) 个规格相同的科学实验模块运往空间站，并安装到 \(3\) 个不同的实验舱中。每个实验舱至少需要安装 \(1\) 个模块才能启动基础功能。问有多少种安装配置方案？
3. 【网购优惠券】某平台发放 \(8\) 张无差别的“满减券”给 \(4\) 位VIP用户，规定每位用户至少获得 \(1\) 张券。平台有多少种发放策略？
4. 【城市绿化】市规划局计划将采购的 \(18\) 棵相同品种的珍贵树木，栽种到 \(4\) 个城市公园里，为了形成景观，每个公园至少栽种 \(3\) 棵。有多少种栽种规划？
5. 【团队奖金】一个 \(5\) 人项目组获得了一笔 \(30\) 万元的相同份额奖金（每份 \(1\) 万元），老板决定奖励他们。分配规则是：项目经理至少得 \(5\) 份，核心成员A和B至少各得 \(4\) 份，其余两名成员至少各得 \(2\) 份。问有多少种公平的分配方案？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(C_{7-1}^{3-1} = C_6^2 = 15\)
2. \(C_{9-1}^{4-1} = C_8^3 = 56\)
3. “平均分”并非数学上的严格平均，根据提示理解为“每班至少1个”。先每班分1个，剩 \(5\) 个。问题转化为：\(5\) 个球分 \(5\) 个班，允许有空（因为有的班可能只得初始的1个），方法数为 \(C_{5+5-1}^{5-1}=C_9^4=126\)。
4. \(C_{8-1}^{3-1}=C_7^2=21\)
5. 物品间的空隙里。
6. \(15\)
7. \(C_{6+3-1}^{3-1}=C_8^2=28\)
8. 错误。应为 \(C_{5-1}^{2-1}=C_4^1=4\)。
9. 先给每个对象分配“至少数减1”个物品。
10. 先给甲 \(0\) 颗（因为至少1颗，需先给1-1=0颗？注意！），给乙 \(1\) 颗，给丙 \(2\) 颗。共预支 \(0+1+2=3\)颗，剩 \(7\)颗。问题转化为：\(7\) 颗糖分 \(3\) 人，允许有人得 \(0\) 颗（甲可能只得预分的0颗）。方法数：\(C_{7+3-1}^{3-1}=C_9^2=36\)。（注意：为满足“至少k”，需先给k-1）

第二关：奥数挑战

1. \(C_{20+3-1}^{3-1}=C_{22}^2=231\)
2. 非负整数解即允许为 \(0\)，\(C_{10+3-1}^{3-1}=C_{12}^2=66\)
3. 引入变量 \(x_4 = 10 - (x_1+x_2+x_3) \ge 0\)，则原不等式等价于方程 \(x_1+x_2+x_3+x_4=10\) 的正整数解（因为 \(x_1,x_2,x_3 \ge 1, x_4 \ge 0\)）。转化：令 \(y_i = x_i (i=1,2,3), y_4 = x_4+1\)，则 \(y_i \ge 1\)，方程变为 \(y_1+y_2+y_3+y_4=11\)，正整数解个数为 \(C_{11-1}^{4-1}=C_{10}^3=120\)。
4. \(C_{10-1}^{4-1}=C_9^3=84\)
5. 先满足条件：1号盒给1个，2号盒给2个（因为至少3个，先给3-1=2个），3、4号盒各给1个。共给 \(1+2+1+1=5\)个。剩 \(10\) 个球，放入4个盒，允许空盒（因为有的盒子可能只得预分的）。方法数：\(C_{10+4-1}^{4-1}=C_{13}^3=286\)。
6. 无限制正整数解为 \(C_{15-1}^{3-1}=C_{14}^2=91\)。设不满足 \(x\le5\)的解集为A，即 \(x\ge6\)。令 \(x'=x-5\)，则 \(x' \ge 1\)，方程变为 \(x'+y+z=10\)，解数为 \(C_{9}^2=36\)。同理，不满足 \(y\le6\) (\(y\ge7\)) 的解数：令 \(y'=y-6\), 方程 \(x+y'+z=9\)，解数 \(C_8^2=28\)。不满足 \(z\le7\) (\(z\ge8\))的解数：令 \(z'=z-7\), 方程 \(x+y+z'=8\)，解数 \(C_7^2=21\)。同时满足两个或三个条件的解数较少，经计算两两交集分别为 \(C_4^2=6\), \(C_3^2=3\), \(C_2^2=1\)，三交集为0。由容斥原理，所求为 \(91 - (36+28+21) + (6+3+1) - 0 = 16\)。
7. 分堆（组）不区分顺序，是“组合”问题；分给不同的人，是“排列”问题，因为人是不同的。插板法解决的是分给“不同对象”的问题。
8. 先每人分 \(1\) 本（因为至少2本，先给2-1=1本），用去 \(3\) 本，剩 \(6\) 本。问题转化为：\(6\) 本书分 \(3\) 人，允许有人得 \(0\) 本。方法数：\(C_{6+3-1}^{3-1}=C_8^2=28\)。
9. 设百、十、个位数字分别为 \(x,y,z\)，有 \(x \ge 2, y \ge 0, z \ge 0\)，且 \(x+y+z=10\)。令 \(x' = x-2 \ge 0\)，则 \(x'+y+z=8\)，求非负整数解。方法数：\(C_{8+3-1}^{3-1}=C_{10}^2=45\)。
10. 证明：由组合数性质 \(C_n^m = C_n^{n-m}\)，代入即可。组合意义：从 \(n-1\) 个空隙中选 \(m-1\) 个插板，等价于从 \(n-1\) 个空隙中选 \((n-1)-(m-1)=n-m\) 个不插板。两种选法一一对应。

第三关：生活应用

1. 先给每个任务分配 \(9\) 个单位算力（因为至少10，先给10-1=9），用掉 \(5 \times 9 = 45\)，剩余 \(55\) 个单位算力。问题转化为：\(55\) 个单位算力自由分配给 \(5\) 个任务，允许为 \(0\)。方法数：\(C_{55+5-1}^{5-1}=C_{59}^4\)。（这是一个很大的数）
2. \(C_{12-1}^{3-1}=C_{11}^2=55\)
3. \(C_{8-1}^{4-1}=C_7^3=35\)
4. 先给每个公园栽种 \(2\) 棵（因为至少3棵，先给3-1=2棵），用掉 \(4 \times 2 = 8\) 棵，剩余 \(10\) 棵。问题转化为：\(10\) 棵树自由分配到 \(4\) 个公园，允许某个公园只有预栽的2棵。方法数：\(C_{10+4-1}^{4-1}=C_{13}^3=286\)。
5. 先按底线分配：项目经理给 \(4\) 份（5-1），A给 \(3\) 份（4-1），B给 \(3\) 份，其余两人各给 \(1\) 份（2-1）。共预支 \(4+3+3+1+1=12\) 份。剩余 \(18\) 份奖金自由分配给 \(5\) 人，允许有人只得底线。方法数：\(C_{18+5-1}^{5-1}=C_{22}^4=7315\)。