考前冲刺：八年级数学平方根与算术平方根公式大全及压轴题训练 | 星火网专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：平方根与算术平方根 核心考点速记
【开篇语：这是八年级上册期末试卷的绝对高频考点，选择、填空必出，计算大题也常结合其他知识考查。概念混淆是主要失分点，务必分清“根”与“算术根”！】
- 必背概念：结合阿星的提醒：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；其中非负的那个叫算术平方根。“√”这个符号（根号）天生自带算术属性，它只表示算术平方根（非负）。所以，√16 = 4，绝不是±4！
- 阿星顺口溜：“问‘根’有两家（±），问‘算术’只取正。根号‘√’默认正，负号‘-’要写明！”
- 万能公式：
- 若 \( x^2 = a \) (a ≥ 0)，则 \( x = \pm\sqrt{a} \)。（求平方根的公式）
- 若求算术平方根，则 \( x = \sqrt{a} \) (a ≥ 0, \(\sqrt{a}\) ≥ 0)。
- 双重非负性：\( \sqrt{a} \ge 0\)，且 \( a \ge 0\)。
【配合图形讲解考点逻辑：如上图数轴所示，一个正数（如9）在数轴上有两个点（-3和+3）到原点的距离都满足平方关系。但算术平方根特指右边那个非负数（+3）。图形直观地解释了“两个根”和“一个算术根”的区别，解题时务必看清问的是哪一个。】
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1（符号混淆）：题目问“16的平方根”，学生答成“4”或“√16”。
- ✅ 满分规范：平方根必须包含正负两个值。正确答案是“±4”。写成“4”或“√16”会扣掉大部分分数。
- ❌ 常见错解2（意义理解错）：计算 \(\sqrt{(-3)^2}\)，学生写成“-3”。
- ✅ 满分规范：根号“√”只表示算术平方根，结果必须非负。应先算出被开方数 \((-3)^2 = 9\)，再求算术平方根，故正确答案是3。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：下列说法正确的是 ( )
A. \(\sqrt{25} = \pm5\)
B. \(-9\)的算术平方根是\(-3\)
C. \(\sqrt{(-2)^2} = -2\)
D. \(1\)是\(1\)的算术平方根
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 逐项检查“根号意义”和“算术平方根的非负性”。
- 第二步：快速求解。
- A错：√表示算术平方根，结果应为5。
- B错：算术平方根非负，负数没有算术平方根。
- C错：√内先算4，结果为2。
- D对：1的算术平方根是1。
✅ 答案：D
模型 2：综合运算题（计算/解答）
题目：计算：\( -\sqrt{81} + \sqrt{(-7)^2} - |1-\sqrt{2}| \)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 逐个处理根号、绝对值和符号。
- 第二步：快速求解。
- \(\sqrt{81} = 9\)，所以\(-\sqrt{81} = -9\)。
- \(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7\)。
- 由于\(\sqrt{2} > 1\)，所以\(|1-\sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1\)。
- 原式 = \(-9 + 7 - (\sqrt{2} - 1) = -2 - \sqrt{2} + 1 = -1 - \sqrt{2}\)。
✅ 答案：\(-1 - \sqrt{2}\)
模型 3：实际应用/理解题（解答）
题目：已知一个正数\(x\)的两个平方根分别是\(2a-1\)和\(a+5\)，求这个正数\(x\)及其算术平方根。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 “一个正数的两个平方根互为相反数”是核心等量关系。
- 第二步：快速求解。
- 列方程：\((2a-1) + (a+5) = 0\)。
- 解得：\(3a + 4 = 0\)， \(a = -\frac{4}{3}\)。
- 则一个平方根为 \(2 \times (-\frac{4}{3}) - 1 = -\frac{11}{3}\)，另一个为 \(\frac{11}{3}\)。
- 正数 \(x = (\frac{11}{3})^2 = \frac{121}{9}\)。
- 其算术平方根就是正的平方根：\(\frac{11}{3}\)。
✅ 答案：正数\(x\)为\(\frac{121}{9}\)，其算术平方根为\(\frac{11}{3}\)。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，10道）
- 9的算术平方根是______。
- \(\sqrt{16}\) = ______。
- \(\sqrt{(-5)^2}\) = ______。
- 0.49的平方根是______。
- \(\sqrt{81}\)的平方根是______。
- 一个数的算术平方根是它本身，这个数是______。
- 若\(\sqrt{x} = 3\)，则\(x\) = ______。
- 若\(x^2 = 36\)，则\(x\) = ______。
- 判断：-4是16的平方根。 ( )
- 判断：\(\sqrt{4}\)表示4的算术平方根。 ( )
第二关：高频考题（拉开差距的关键，10道）
- \(\sqrt{9} + \sqrt{16} - \sqrt{25}\)的值为______。
- 若\(\sqrt{a-2} + |b+3| = 0\)，则\(a^b\) = ______。
- 已知\(y = \sqrt{x-3} + \sqrt{3-x} + 5\)，则\(xy\) = ______。
- 若一个正方形的面积是20，则其边长介于哪两个连续整数之间？______。
- 比较大小：\(-\sqrt{10}\) ______ -3 (填 >, <, =)。
- 若\(2m-4\)和\(3m-1\)是同一个数的平方根，求这个数。
- 计算：\(\sqrt{1\frac{9}{16}} - \sqrt[3]{-8}\)。
- 已知\(\sqrt{2} \approx 1.414\)，求\(\sqrt{200}\)的近似值。
- 若\(\sqrt{(x-1)^2} = 1 - x\)，则\(x\)的取值范围是______。
- 一个正数\(x\)的算术平方根为\(a\)，则比\(x\)大2的数的算术平方根是多少？（用含\(a\)的式子表示）
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 观察：\(\sqrt{1^3+2^3} = 3\)， \(\sqrt{1^3+2^3+3^3} = 6\)， \(\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3} = 10\)， 则 \(\sqrt{1^3+2^3+...+n^3}\) = ______。（用含\(n\)的式子表示）
- 已知实数\(a, b\)满足 \(\sqrt{a-1} + \sqrt{1-a} = b+4\)， 求\(a^{b}\)的值。
- 小明设计了一个程序：输入一个数→求其算术平方根→若是整数则输出，否则将该结果再输入。若最初输入256，则第2023次输出的数是______。
- 已知\(\sqrt{6} \approx 2.449\)， 不使用计算器，估算\(\sqrt{54} - \sqrt{24}\)的值（精确到0.01）。
- 若整数\(m\)满足 \(\sqrt{10} < m < \sqrt{40}\)，且\(\sqrt{m}\)也是整数，求所有符合条件的\(m\)的和。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 看问题问的是什么：是“平方根”还是“算术平方根”？前者必有±（0除外），后者非负。2. 验证双重非负性：检查被开方数是否≥0，结果（算术平方根）是否≥0。3. 代入验算：将求得的结果平方，看是否等于原数。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：用最朴素的举例法。比如，分不清平方根和算术平方根，立刻在心里想“9”。9的平方根是±3，9的算术平方根是3。用这个例子去类比题目，立刻就能理清关系。
参考答案
第一关： 1. 3 2. 4 3. 5 4. ±0.7 5. ±3 6. 0或1 7. 9 8. ±6 9. √ 10. √
第二关： 1. 2 2. \(\frac{1}{8}\) 3. 15 4. 4和5之间 5. > 6. 4或100 (分相等或互为相反数两种情况) 7. \(\frac{7}{4}\) 8. 14.14 9. \(x \le 1\) 10. \(\sqrt{a^2 + 2}\)
第三关： 1. \(\frac{n(n+1)}{2}\) 2. 1 (由被开方数非负得a=1，进而b=-4) 3. 1 (输出序列：256, 16, 4, 2, 1, 1, 1...) 4. 2.45 (\(\sqrt{54}-\sqrt{24}=3\sqrt{6}-2\sqrt{6}=\sqrt{6} \approx 2.449\)) 5. 34 (m=16, 25, 36，和为77)
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