数学广角——优化（烙饼问题）

知识要点

想象一下，你正在帮妈妈用平底锅烙饼。这个锅每次最多只能放2张饼，每张饼需要烙两面，每面需要3分钟。怎样才能最快把所有的饼都烙好呢？这就是“烙饼问题”，它教会我们如何用数学思维来优化做事的过程，节省宝贵的时间。

💡 核心概念

烙饼问题的核心是：在资源有限（每次最多烙2张）的情况下，通过合理安排工作的顺序，让资源（锅）尽可能地不空闲，从而达到总时间最短的目的。这是一种非常重要的优化思想，也叫“统筹安排”。

📝 计算法则

当每次最多烙2张饼，每面烙的时间相同时，最短时间的计算分两种情况：

1. 饼的数量是双数时：可以2张2张地烙。总时间 = 饼的数量 × 烙一面的时间。
2. 饼的数量是单数时（且大于1）：先2张2张地烙，最后剩下3张饼时，采用“交替烙法”。总时间 = 饼的数量 × 烙一面的时间。

通用公式：最短时间 = 饼的张数 \( \times \) 烙每面的时间 \( \times \) \( \frac{\text{需要烙的总面数}}{\text{锅一次能烙的面数}} \)。当锅每次最多烙2张时，这个公式可以简化为：最短时间 = 烙每面的时间 \( \times \) 饼的张数。（前提是张数 ≥ 2）

🎯 记忆口诀

“双数简单，两两配对；
单数别慌，三张交替；
保证锅里，总有俩位；
时间最短，张数乘时。”

🔗 知识关联

• 乘法：计算总时间需要用到乘法，如 \( 3 \times 4 = 12 \)。
• 列表策略：可以用列表的方法把所有可能的方案列出来，再比较时间，这是我们之前学过的解决问题的策略。

易错点警示

❌ 错误1： 烙3张饼时，一张一张烙，先烙完第一张的正面反面，再烙第二张...

✅ 正解： 烙3张饼必须使用“交替烙法”，让锅里始终有2张饼在工作。例如：①正+②正 → ①反+③正 → ②反+③反。

❌ 错误2： 计算总时间时，忘记“交替烙法”中有些饼需要“等待”一次，误以为所有饼都是同时烙好两面的。

✅ 正解： 要理解“交替烙法”中，每张饼的两面不是连续烙的，中间有间隔。但计算总时间时，我们不需要单独计算等待时间，直接用公式（饼数×每面时间）即可。

❌ 错误3： 认为所有情况都可以用“饼数×每面时间”来计算。

✅ 正解： 这个公式只在“每次最多烙2张饼且每面时间相同”的条件下成立。如果锅能烙3张，或者饼的正反面时间不同，就不能用这个简单公式了。

三例题精讲

🔥 例题1

一个平底锅每次最多只能烙2张手抓饼，每烙熟一面需要2分钟。那么烙熟5张手抓饼，至少需要多少分钟？

①正

②正

📌 第一步： 判断饼数是单数5，且大于1，所以需要用“交替烙法”处理最后3张。

📌 第二步： 安排烙饼顺序：

第1次：烙第1、2张饼的正面（\( 2 \)分钟）。

第2次：烙第1张反面和第3张正面（\( 2 \)分钟）。

第3次：烙第2张反面和第4张正面（\( 2 \)分钟）。

第4次：烙第3张反面和第5张正面（\( 2 \)分钟）。

第5次：烙第4、5张饼的反面（\( 2 \)分钟）。

📌 第三步： 计算总时间：一共烙了5次，每次\( 2 \)分钟，所以总时间是 \( 5 \times 2 = 10 \)分钟。也可以用公式：饼数(5) \( \times \) 每面时间(2) = \( 10 \)分钟。

✅ 答案： 至少需要 \( 10 \) 分钟。

💬 总结： 遇到单数张饼（≥3），先2张2张地烙，最后3张用“交替法”，计算时直接用“饼数×每面时间”。

🔥 例题2

用一个电饼铛烙韭菜盒子，这个电饼铛的上下两面可以同时加热。每个韭菜盒子需要烙两面，每面需要\( 1.5 \)分钟。请问烙\( 7 \)个韭菜盒子，最少需要多长时间？

📌 第一步： 理解“电饼铛上下两面可以同时加热”就是“每次最多可以烙2张饼”。条件符合我们的模型。

📌 第二步： 饼数\( 7 \)是单数，直接使用公式：最短时间 = 饼的张数 \( \times \) 烙每面的时间 = \( 7 \times 1.5 \)。

📌 第三步： 计算： \( 7 \times 1.5 = 10.5 \)（分钟）。

✅ 答案： 最少需要 \( 10.5 \) 分钟。

💬 总结： 实际问题中，要能识别出“每次最多烙2张”这个隐藏条件，然后直接套用公式计算。

🔥 例题3

验证一下：烙1张饼，最少需要几分钟？（锅每次最多烙2张，每面3分钟）我们的公式“饼数×每面时间”还适用吗？

📌 第一步： 实际操作：烙1张饼，先烙正面（3分钟），再烙反面（3分钟）。

📌 第二步： 计算总时间： \( 3 + 3 = 6 \)（分钟）。

📌 第三步： 与公式对比：如果用公式 \( 1 \times 3 = 3 \)（分钟），结果是错的。因为烙1张饼时，锅的另一边是空着的，资源没有充分利用，所以不能直接用那个简化公式。通用公式依然有效：总时间 = \( 1 \times 3 \times (2/2) = 6 \) 分钟。

✅ 答案： 需要6分钟。公式“饼数×每面时间”仅适用于饼的张数 ≥ 2 的情况。

💬 总结： 要记住公式的使用前提。烙1张饼是一个特殊情况，需要单独记忆。

练习题（10道）

1. 妈妈用平底锅烙葱油饼，每次最多烙2张，两面都要烙，每面需要2分钟。烙4张饼最少要几分钟？
2. 复印社用一台双面打印机复印资料，每次最多放2张纸，每复印一面需要10秒钟。复印5张双面资料，最少需要多少秒？
3. 一个烤箱有两层，可以同时烤2个蛋挞。烤一个蛋挞需要20分钟（不用翻面）。烤3个蛋挞最少需要多少分钟？
4. 烙饼锅一次最多放2张饼，烙一面要4分钟。现在要烙7张饼，至少需要多少分钟？
5. 小明帮爷爷煎药，一个药壶最多同时煎2包中药，每包需要正反各煎一次，每次煎5分钟。煎6包药最少用时多少？
6. 如果用这个锅烙10张饼，每面3分钟，最少需要多长时间？
7. 牛排馆的铁板每次最多煎2块牛排，每块牛排要煎两面，每面煎1分钟。一位客人点了4块牛排，另一位客人点了1块牛排。厨师如何安排，能让两位客人都最快拿到自己的牛排？最少需要几分钟？
8. 一口锅烙饼，正面要烙2分钟，反面只要烙1分钟就熟了。每次最多放2张饼。烙3张饼最少需要几分钟？（提示：正反时间不同，不能用之前的简单公式，请尝试列表安排。）
9. 挑战思考：如果一口锅每次最多可以烙3张饼，每面需要2分钟。烙4张饼最少需要几分钟？（尝试画图或列表）
10. 总结规律：一口锅每次最多烙2张饼，每面烙a分钟。烙n张饼（n≥2）的最短时间T，可以用公式表示为：T = \( \underline{\hspace{2cm}} \)。

奥数挑战（10道）

1. 烤面包的架子一次最多放2片面包。烤一片面包需要4分钟（正面2分钟，反面2分钟）。小红每天早上一共要烤3片面包，她最少需要几分钟？
2. 一个煎蛋器有2个圆形凹槽，可以同时煎2个鸡蛋。煎一个鸡蛋需要4分钟（单面煎，不用翻面）。现在要煎5个这样的鸡蛋，最少需要几分钟？
3. 烙饼锅规则同前。烙9张饼和烙10张饼，所用的“最短时间”相差几分钟？
4. 用一个每次最多烙2张饼的锅，烙15张饼用了45分钟。请问烙每面饼需要几分钟？
5. 妈妈在烙饼，我在旁边帮忙换饼。锅里有2张饼，烙好一面后，我需要用10秒钟把两张饼都翻面，或者把一张取出放入一张新的生饼。烙每面饼仍需2分钟。烙3张饼，从开始到结束至少需要多少分钟多少秒？（考虑换饼时间）
6. 三台一样的打印机打印试卷，每台每次只能打印1份试卷的一面，打印一面需要1分钟。现在要打印5份2页的试卷（每份需要打印正反两面），最少需要多少分钟？
7. 有5个人要过独木桥，每次最多过2人，过桥时间分别是1、2、5、8、10分钟。天黑了，只有一只手电筒，过桥必须用手电筒。请问如何安排，5个人全部过桥的总时间最短？最短是多少分钟？（这是“过桥问题”，是烙饼问题的延伸）
8. 一个奇怪的锅烙饼，烙第1面需要3分钟，烙第2面只需要1分钟就熟。每次最多放2张饼。烙3张饼最少需要几分钟？
9. 烙饼锅每次最多烙2张饼。已知烙101张饼的最短时间比烙100张饼的最短时间多2分钟。请问烙每面饼需要几分钟？
10. 结合“田忌赛马”思想：甲乙两队比赛烙饼。锅一样（每次最多2张，每面1分钟）。甲队有3张饼，乙队有4张饼。两队同时开始，比哪队先烙完自己所有的饼。如果只考虑烙饼顺序，乙队能否安排一种策略，确保自己一定比甲队先烙完？为什么？

生活应用（5道）

1. （高铁检修） 高铁站有一个检修台，每次最多可以对2节车厢的底部进行扫描检查，检查一节车厢的一面需要5分钟。一列8节编组的“复兴号”高铁需要检查底部两侧，最少需要多少分钟完成扫描？
2. （航天测控） 一个卫星地面站的天线，同一时间最多能跟踪2颗卫星并接收数据，接收每颗卫星的一组完整数据需要10分钟（相当于“烙一面”）。某天有5颗卫星需要先后传回数据，要尽快接收完所有卫星的数据，至少需要多少分钟？
3. （AI数据处理） 一个AI芯片有一个双核心处理单元，可以同时处理2个任务。处理每个任务的一个“阶段”需要0.1秒。现在有7个任务，每个任务都需要经过2个“阶段”处理才能完成。优化安排后，处理完这7个任务最少需要多少秒？
4. （垃圾分类） 社区垃圾分拣机器人有两个机械臂（A臂和B臂），可以同时分拣2件垃圾。分拣一件垃圾需要“识别”（如面1）和“投放”（如面2）两个步骤，各需20秒。机器人要分拣完一堆共10件垃圾，最短程序运行时间是多少秒？
5. （网购配送） 快递仓库的装车口，每次可以同时装2辆快递车的货物。给一辆车装满货物（相当于“烙熟一张饼”）需要15分钟。上午有9辆车的货物需要装车发出，仓库管理员最少需要安排多长时间来完成装车工作？