四年级三角形知识点全解：定义、分类、内角和公式与20道练习题（含答案）
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
知识要点
三角形的内角和
💡 核心概念：任何一个三角形，无论它的形状、大小如何变化，它内部的三个角加起来的总度数，永远是一个固定的数，就像三角形的“身份证号码”一样。
📝 计算法则：
- 测量法：用量角器分别量出三个角的度数，再相加。
- 实验法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，可以拼成一个平角。
- 推理法：长方形有4个直角，内角和是 \( 4 \times 90^\circ = 360^\circ \)。沿对角线剪开，得到两个完全相同的三角形，所以一个三角形的内角和是 \( 360^\circ \div 2 = 180^\circ \)。
结论：三角形内角和 \( = 180^\circ \)**。
🎯 记忆口诀：三角内角和，一百八十度，形状大小变，和却永不变。
🔗 知识关联：二年级学过的“角的认识”（直角、锐角、钝角），三年级学过的“长方形和正方形的特征”（四个直角）。
三角形的分类
💡 核心概念：我们可以根据三角形“边”的特点和“角”的特点，给它们分门别类，就像给动物按照习性分类一样。
📝 分类法则：
按角分类：
- 锐角三角形：三个角都是锐角（每个角都小于 \( 90^\circ \)）。
- 直角三角形：有一个角是直角（等于 \( 90^\circ \)）。
- 钝角三角形：有一个角是钝角（大于 \( 90^\circ \) 且小于 \( 180^\circ \)）。
注意：一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角。
按边分类：
- 不等边三角形：三条边的长度都不相等。
- 等腰三角形：至少有两条边长度相等。相等的两条边叫做“腰”，第三条边叫“底边”，两腰的夹角叫“顶角”，腰与底边的夹角叫“底角”。
- 等边三角形（正三角形）：三条边的长度都相等。它是特殊的等腰三角形。它的三个角也相等，都是 \( 60^\circ \)。
🎯 记忆口诀：按角分，看最大，锐直钝；按边分，看长短，不等、等腰和等边。
🔗 知识关联：角的分类，线段长度的测量与比较。
易错点警示
- ❌ 错误1：认为大三角形的内角和比小三角形大。
✅ 正解：所有三角形的内角和都是 \( 180^\circ \)，与大小无关。
- ❌ 错误2：看到一个三角形中有两个锐角，就断定它是锐角三角形。
✅ 正解：判断按角分类，必须看最大的那个角。必须三个角都是锐角才是锐角三角形。
- ❌ 错误3：认为等腰三角形只有两条边相等，等边三角形不是等腰三角形。
✅ 正解：等边三角形是特殊的等腰三角形，因为它也满足“至少有两条边相等”的条件。
例题精讲
🔥 例题1
一个三角形的两个角分别是 \( 55^\circ \) 和 \( 65^\circ \)，求第三个角的度数。这是一个什么三角形（按角分类）？
📌 第一步：根据三角形内角和定理，第三个角 = \( 180^\circ - \angle 1 - \angle 2 \)。
📌 第二步：计算：\( 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ = 60^\circ \)。
📌 第三步：判断类型。三个角分别是 \( 55^\circ \)、\( 65^\circ \)、\( 60^\circ \)，都小于 \( 90^\circ \)，所以是锐角三角形。
✅ 答案：第三个角是 \( 60^\circ \)，这是一个锐角三角形。
💬 总结：已知两角求第三角，用内角和减去已知角。判断类型的关键是看最大角是否小于 \( 90^\circ \)。
🔥 例题2
一个等腰三角形的顶角是 \( 100^\circ \)，求它的一个底角是多少度？
📌 第一步：明确等腰三角形两底角相等。设一个底角为 \( x \) 度。
📌 第二步：根据内角和列方程：顶角 + 底角 + 底角 = \( 180^\circ \)，即 \( 100^\circ + x + x = 180^\circ \)。
📌 第三步：解方程：\( 100^\circ + 2x = 180^\circ \)，\( 2x = 80^\circ \)，\( x = 40^\circ \)。
✅ 答案：它的一个底角是 \( 40^\circ \)。
💬 总结：等腰三角形中，已知顶角求底角：底角 = \( (180^\circ - 顶角) \div 2 \)。
🔥 例题3
把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是多少度？
📌 第一步：理解“剪开”这个操作。无论怎么剪，新得到的小图形仍然是三角形。
📌 第二步：回忆三角形内角和定理的本质：只要是三角形，内角和就是固定的。
📌 第三步：得出结论。每个新得到的小三角形，内角和仍然是 \( 180^\circ \)。
✅ 答案：每个小三角形的内角和还是 \( 180^\circ \)。
💬 总结：内角和是三角形的一种内在属性，不会因为把它从其他图形中分割出来而改变。
练习题（10道）
- 一个三角形中，\( \angle 1 = 70^\circ \), \( \angle 2 = 50^\circ \)，求 \( \angle 3 \) 的度数。
- 一个直角三角形，其中一个锐角是 \( 28^\circ \)，另一个锐角是多少度？
- 等边三角形的每个内角是多少度？
- 一个等腰三角形的底角是 \( 45^\circ \)，它的顶角是多少度？按角分类它是什么三角形？
- 一个三角形的三个角分别是 \( 30^\circ \)、\( 60^\circ \)、\( 95^\circ \)，这是什么三角形？
- 一副三角尺中，一块的角是 \( 90^\circ \)、\( 45^\circ \)、\( 45^\circ \)，另一块的角是 \( 90^\circ \)、\( 30^\circ \)、\( 60^\circ \)。用这两块三角尺能拼出一个钝角三角形吗？如果能，请画出草图并标出拼出的三角形的各个角的度数。
- 一个等腰三角形的周长是 28 厘米，其中一条腰长 10 厘米，它的底边长多少厘米？
- 在一个四边形中，最多能有几个钝角？想一想，并把你的理由和三角形内角和联系起来。
- 小刚说：“有一个角是 \( 60^\circ \) 的等腰三角形一定是等边三角形。”他说得对吗？为什么？
- 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = \angle B = 2 \angle C \)，求 \( \angle A \)、\( \angle B \)、\( \angle C \) 的度数。
奥数挑战（10道）
- 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( BD \) 是角平分线，\( \angle A = 70^\circ \)，\( \angle C = 50^\circ \)，求 \( \angle ADB \) 的度数。（可描述：三角形ABC，角A=70度，角C=50度，BD平分角ABC，求角ADB）
- 一个多边形的内角和是 \( 900^\circ \)，这个多边形是几边形？
- 在直角三角形 \( ABC \) 中，\( \angle C = 90^\circ \)，\( \angle A \) 的度数比 \( \angle B \) 的 2 倍少 \( 15^\circ \)。求 \( \angle A \) 和 \( \angle B \) 的度数。
- 如图，将正六边形分割成若干个三角形，这些三角形的内角和加起来等于正六边形的内角和。正六边形的内角和是多少度？（可描述：通过连接对角线，将正六边形分成4个三角形）
- 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 \( 40^\circ \)，求这个等腰三角形顶角的度数。（注意：高可能在三角形内部，也可能在外部）
- 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的平分线相交于点 O，求 \( \angle BOC \) 的度数。
- 一个三角形的最大角是最小角的 3 倍，另一个角是最小角的 2 倍。求这个三角形三个角的度数。
- 如图所示，求五角星中五个尖角（\( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E \)）的和是多少度。（可描述：标准的五角星图形）
- 用长度分别为 2cm, 4cm, 5cm, 6cm, 8cm 的五根小棒，能摆出多少种不同形状的三角形？（两边之和大于第三边）
- 如图，长方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 CE, DE。已知 \( \angle AED = 40^\circ \)，\( \angle BCE = 25^\circ \)，求 \( \angle CED \) 的度数。（可描述：长方形，内部一点E连接C和D）
生活应用（5道）
- （高铁设计）高铁站屋顶的许多支撑结构是三角形。如果一个支撑架的三角形部分，已知两个角分别是 \( 55^\circ \) 和 \( 72^\circ \)，工程师需要知道第三个角来切割材料，这个角是多少度？
- （航天材料）航天器的太阳能帆板展开后，背后的固定支架 often 构成多个三角形。如果其中一个三角形支架是等腰直角三角形，那么它的两个锐角各是多少度？
- （AI绘画）AI在生成一个“金字塔”图片时，需要设定侧面三角形的形状。如果AI设定金字塔侧面是一个底角为 \( 58^\circ \) 的等腰三角形，那么它的顶角应该是多少度？
- （环保风筝）小丽用废旧塑料袋做了一个等腰三角形的风筝。她量出顶角是 \( 40^\circ \)，为了保持平衡，左右两个角（底角）必须相等。每个底角应该多大？
- （网购礼物）小红想网购一个等边三角形的创意镜子。卖家描述说“每个角都是锐角且相等”。请问这个镜子每个角是多少度？
参考答案与解析
【练习题答案】
【奥数挑战答案】
解析：在 \( \triangle ABC \) 中，先求 \( \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ \)。BD平分它，所以 \( \angle ABD = 30^\circ \)。在 \( \triangle ABD \) 中，\( \angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ \)。
解析：多边形内角和公式 \( (n-2) \times 180^\circ = 900^\circ \)，解得 \( n-2 = 5 \)，\( n = 7 \)。
解析：设 \( \angle B = x \)，则 \( \angle A = 2x - 15^\circ \)。在直角三角形中，\( \angle A + \angle B = 90^\circ \)，所以 \( (2x - 15^\circ) + x = 90^\circ \)，解得 \( 3x = 105^\circ \)，\( x = 35^\circ \)，进而 \( \angle A = 55^\circ \)。
解析：从正六边形一个顶点出发，可以画出 3 条对角线，将其分成 4 个三角形。所以内角和 = \( 4 \times 180^\circ = 720^\circ \)。
解析：分两种情况。情况一：高在三角形内部（顶角为锐角），则顶角 = \( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \)。情况二：高在三角形外部（顶角为钝角），则顶角 = \( 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \)。
解析：在 \( \triangle BOC \) 中，\( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle B \)，\( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle C \)。又 \( \angle B + \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)。所以 \( \angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \)。因此 \( \angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)。
解析：设最小角为 \( x \)，则最大角为 \( 3x \)，另一个角为 \( 2x \)。有 \( x + 2x + 3x = 180^\circ \)，解得 \( 6x = 180^\circ \)，\( x = 30^\circ \)。所以三个角为 \( 30^\circ \)， \( 60^\circ \)， \( 90^\circ \)。
解析：利用“三角形外角等于不相邻两内角之和”。观察五角星中央的五边形外面的五个小三角形。例如，\( \angle 1 \)（五边形一个内角的外角）= \( \angle A + \angle C \)。五个这样的外角之和是 \( 360^\circ \)，而这正好是 \( 2 \times (\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E) \)。所以五个尖角和 = \( 360^\circ \div 2 = 180^\circ \)。
解析：根据两边之和大于第三边，枚举所有可能的三边组合： (2,4,5)不行(2+4>5? 6>5行)，(2,4,6)不行(6=6)，(2,4,8)不行(6<8)，(2,5,6)行，(2,5,8)不行(7<8)，(2,6,8)不行(8=8)，(4,5,6)行，(4,5,8)行，(4,6,8)行，(5,6,8)行。去掉重复（三角形全等只看边长组合），共7种：(2,4,5)不行，(2,5,6)行，(4,5,6)行，(4,5,8)行，(4,6,8)行，(5,6,8)行。检查：2,4,5其实满足(2+4>5, 2+5>4, 4+5>2)，所以行。更正：应为(2,4,5)行，(2,5,6)行，(2,6,8)不行，(4,5,6)行，(4,5,8)行，(4,6,8)行，(5,6,8)行。总共7种。
解析：因为ABCD是长方形，所以 \( \angle B = 90^\circ \)，\( AB \parallel CD \)。在 \( \triangle AED \) 中，\( \angle ADE = 90^\circ - \angle AED = 50^\circ \)。由于 \( AB \parallel CD \)，所以 \( \angle CDE = \angle AED = 40^\circ \)（内错角）。因此 \( \angle ADC = \angle ADE + \angle CDE = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \)，这符合长方形性质。在 \( \triangle BCE \) 中，\( \angle BEC = 90^\circ - \angle BCE = 65^\circ \)。而 \( \angle AED \) 和 \( \angle BEC \) 是对顶角吗？E在AB上，它们不是对顶角。换思路：在直角梯形EBCD中，\( \angle EBC = 90^\circ \)，\( \angle BCE = 25^\circ \)，所以 \( \angle BEC = 65^\circ \)。观察 \( \triangle CED \)，我们需要 \( \angle CED \)。注意到 \( \angle AEB = 180^\circ \) 是平角，所以 \( \angle AED + \angle CED + \angle BEC = 180^\circ \)。代入已知：\( 40^\circ + \angle CED + 65^\circ = 180^\circ \)，解得 \( \angle CED = 75^\circ \)。重新检查：题目给的是 \( \angle AED = 40^\circ \)，\( \angle BCE = 25^\circ \)，E在AB上。在直角三角形BCE中，\( \angle BEC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \)。A、E、B共线，所以 \( \angle AED \)、\( \angle CED \)、\( \angle BEC \) 拼成一个平角，即 \( 40^\circ + \angle CED + 65^\circ = 180^\circ \)，所以 \( \angle CED = 75^\circ \)。我最初答案25°错误，应为75°。
第10题更正：最终答案为 \( 75^\circ \)。