45度角三角函数值怎么记？sin45° cos45° tan45° 深度解析与必刷题专项练习题库

💡 阿星精讲：45度角 原理

• 核心概念：你好啊！我是阿星。今天咱们聊聊数学里一位“大明星”——45度角。很多同学一看到 \( \sin 45^\circ, \cos 45^\circ, \tan 45^\circ \) 就觉得头大，感觉像一串密码。别怕！听我说：“必须死记。阿星：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。” 这可不是真的让你不带脑子地硬背，而是因为这三个值太常用了，熟到像你的名字一样脱口而出，才能做题飞快！它们仨为啥是这个值？秘密就藏在一个神奇的三角形里。
• 计算秘籍：想象一个等腰直角三角形，两个锐角都是 \( 45^\circ \)，设两条直角边长度都为 \( 1 \)。
  1. 根据勾股定理，斜边 \( c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)。
  2. 对于其中一个 \( 45^\circ \) 角：
     正弦 \( \sin 45^\circ = \frac{对边}{斜边} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) （分子分母同乘 \( \sqrt{2} \) 化简）。
     余弦 \( \cos 45^\circ = \frac{邻边}{斜边} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
     正切 \( \tan 45^\circ = \frac{对边}{邻边} = \frac{1}{1} = 1 \)。

  看，是不是很简单？理解了这个推导，那句“必须死记”就成了“自然牢记”！

• 阿星口诀：四十五度很奇妙，等腰直角藏玄妙。正弦余弦一对宝，都是二分之根号二忘不掉。正切简单最友好，稳稳等于一记牢。

📐 图形解析

下面这个图形就是“45度角”的万能老家——等腰直角三角形。记住它的样子和边长比例，所有秘密一目了然。

在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 45^\circ, \angle C = 90^\circ, AC = BC = 1 \)。根据勾股定理，斜边 \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)。

于是，对于 \( \angle A \)：
\( \sin 45^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)；
\( \cos 45^\circ = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)；
\( \tan 45^\circ = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{1} = 1 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：混淆 \( \sin 45^\circ \) 和 \( \cos 45^\circ \) 的值，虽然它们相等，但误以为一个等于 \( \frac{1}{2} \)。
  ✅ 正解：深刻理解两者都源于等腰直角三角形“直角边/斜边”，值恒为 \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)，约等于 \( 0.707 \)，不是 \( 0.5 \)。
• ❌ 错误2：忘记 \( \tan 45^\circ = 1 \)，或错误记成 \( \sqrt{3} \)。
  ✅ 正解：\( \tan 45^\circ \) 是“对边/邻边”，在等腰直角三角形中，两边相等，商自然为 \( 1 \)。\( \sqrt{3} \) 是 \( \tan 60^\circ \) 的值，不要张冠李戴。
• ❌ 错误3：在非直角三角形的含 \( 45^\circ \) 的题目中，盲目套用 \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) 进行计算。
  ✅ 正解：先判断 \( 45^\circ \) 是否在直角三角形中。如果是，直接应用；如果不是，可能需要通过作高构造直角三角形，或使用正弦定理等其他工具。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 直接计算：\( \sin 45^\circ + \cos 45^\circ = ? \)
2. 直接计算：\( 2 \tan 45^\circ - \sqrt{2} \cos 45^\circ = ? \)
3. 在等腰直角三角形中，直角边长为 \( 5 \)，斜边长是多少？
4. 已知 \( \angle A \) 为锐角，且 \( \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，则 \( \angle A = ? \) 度。
5. 已知 \( \angle B \) 为锐角，且 \( \tan B = 1 \)，则 \( \cos B = ? \)
6. 在 \( Rt \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ, \angle A=45^\circ, AB=10 \)，求 \( BC \)。
7. 填空：\( \sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = ? \) （验证同角三角函数关系）
8. 一个正方形的对角线与其边长的比是多少？（提示：正方形内含等腰直角三角形）
9. 比较大小：\( \sin 45^\circ \) ______ \( \cos 45^\circ \) (用 >, <, = 填空)。
10. 简单应用：从楼顶看一旗杆顶的仰角为 \( 45^\circ \)，看旗杆底的俯角为 \( 45^\circ \)，若楼高 \( 20 \) 米，求旗杆高。

第二关：中考挑战（10道）

1. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \perp BC \) 于点 \( D \)，\( \angle BAD = 45^\circ \)，\( \angle CAD = 30^\circ \)，\( CD = 3 \)，求 \( AB \) 的长。
2. 四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle B = \angle D = 90^\circ \)，\( \angle A = 60^\circ \)，\( AB = 4 \)，\( CD = 2\sqrt{3} \)。连接 \( AC \)，求 \( \sin \angle ACB \) 的值。
3. 已知 \( \alpha \) 为锐角，且 \( \sin( \alpha + 15^\circ ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，计算 \( \sqrt{8} - 4 \cos \alpha - (\pi - 3)^0 + \tan \alpha \) 的值。
4. 如图，港口 \( A \) 在观测站 \( O \) 的正东方向，\( OA=40 \) 海里。某船从港口 \( A \) 出发，沿北偏东 \( 15^\circ \) 方向航行一段距离后到达 \( B \) 处，此时从观测站 \( O \) 处测得该船位于北偏西 \( 45^\circ \) 的方向。求该船航行的距离 \( AB \)。
5. 在 \( Rt \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( \angle A, \angle B, \angle C \) 的对边分别为 \( a, b, c \)。已知 \( b=8, \angle A=45^\circ \)，解这个直角三角形（求所有未知边和角）。
6. 已知 \( \frac{\sqrt{3} \tan \theta - 1}{\tan \theta + \sqrt{3}} = 1 \)，且 \( \theta \) 为锐角，求 \( \sin \theta + \cos \theta \) 的值。
7. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( \tan B=2 \)，点 \( D \) 在边 \( BC \) 上，且 \( \angle ADC=45^\circ \)，若 \( CD=2\sqrt{5} \)，求 \( AB \) 的长。
8. 数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度。如图，在 \( B \) 处测得旗杆顶端 \( P \) 的仰角 \( \angle PBC=45^\circ \)，向前走 \( 10 \) 米到 \( A \) 处，测得顶端 \( P \) 的仰角 \( \angle PAC=30^\circ \)。求旗杆 \( PQ \) 的高度。（结果保留根号）
9. 在平面直角坐标系中，点 \( A(3, 0) \)，点 \( B(0, 4) \)，点 \( C \) 在 \( x \) 轴上，且 \( \angle ACB=45^\circ \)，求点 \( C \) 的坐标。
10. 如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=6 \)，\( BC=8 \)。点 \( E \) 是 \( BC \) 边上的动点，将 \( \triangle ABE \) 沿 \( AE \) 折叠，得到 \( \triangle AFE \)。当点 \( F \) 落在矩形 \( ABCD \) 的对角线 \( AC \) 上时，且满足 \( \angle FAC = 45^\circ \)，求 \( BE \) 的长。

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑）一个坡度为 \( 1:1 \) 的斜坡（即坡角为 \( 45^\circ \)），若从坡底沿斜坡上行 \( 20\sqrt{2} \) 米，则垂直高度上升了多少米？水平方向前进了多少米？
2. （工程）为固定一根垂直于地面的电线杆，需要在它的中点处向地面拉两根钢丝绳。若两根钢丝绳与电线杆的夹角都是 \( 45^\circ \)，且固定点相距 \( 10 \) 米。求每根钢丝绳的长度和电线杆的高度。
3. （测量）如图，为了测量一条小河的宽度 \( AB \)，测量者在河岸一侧的 \( B \) 点测得对岸一棵树 \( A \) 在其北偏东 \( 45^\circ \) 方向。然后沿河岸向东走 \( 100 \) 米到 \( C \) 点，又测得树 \( A \) 在其北偏西 \( 45^\circ \) 方向。求河宽 \( AB \)。
4. （艺术）设计师想用等腰直角三角形（含 \( 45^\circ \) ）和正方形为基本图案设计一个密铺（无缝拼接）的地板。请画出示意图，并解释为什么能密铺。
5. （物理）一束光线从空气垂直射入玻璃砖的一个平面，然后从玻璃砖的另一个平面射出。若玻璃砖的横截面是一个顶角为 \( 90^\circ \) 的等腰直角三角形，请问最终出射光线与最初入射光线是否平行？请结合几何中的 \( 45^\circ \) 角进行解释。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)。
2. \( 2 \tan 45^\circ - \sqrt{2} \cos 45^\circ = 2\times1 - \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - 1 = 1 \)。
3. 斜边 = \( 5\sqrt{2} \)。
4. \( \angle A = 45^\circ \)。
5. 由 \( \tan B = 1 \) 知 \( \angle B = 45^\circ \)，所以 \( \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
6. \( BC = AB \cdot \sin 45^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \)。
7. \( \sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)。
8. 对角线：边长 = \( \sqrt{2} : 1 \)。（设边长为 \( a \)，对角线为 \( \sqrt{2}a \)）
9. \( \sin 45^\circ \) = \( \cos 45^\circ \)。
10. 旗杆高 = \( 20 + 20 = 40 \) 米。（画出图形，利用两个等腰直角三角形）

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 解析：∵ \( \angle BAD = 45^\circ, AD \perp BD \)，∴ \( BD = AD \)。∵ \( \angle CAD = 30^\circ \)，∴ 在 \( Rt \triangle ADC \) 中，\( \tan 30^\circ = \frac{CD}{AD} \)，即 \( \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{AD} \)，解得 \( AD = 3\sqrt{3} \)。∴ \( BD = 3\sqrt{3} \)。在 \( Rt \triangle ABD \) 中，\( AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \)。
2. 解析：延长 \( AD, BC \) 交于点 \( E \)。∵ \( \angle B = 90^\circ, \angle A=60^\circ \)，∴ \( \angle E=30^\circ \)。在 \( Rt \triangle ABE \) 中，\( AB=4 \)，∴ \( BE=AB \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3} \)，\( AE=8 \)。在 \( Rt \triangle CDE \) 中，\( \angle E=30^\circ, CD=2\sqrt{3} \)，∴ \( CE=CD \cdot \cot 30^\circ = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3}=6 \)。∴ \( BC = BE - CE = 4\sqrt{3} - 6 \)。在 \( Rt \triangle ABC \) 中，\( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16 + (4\sqrt{3}-6)^2} = \sqrt{16 + 48 -48\sqrt{3}+36} = \sqrt{100-48\sqrt{3}} \)。\( \sin \angle ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{\sqrt{100-48\sqrt{3}}} \)，需进一步化简（有理化）。
3. 解析：∵ \( \sin(\alpha+15^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2} \)，且 \( \alpha \) 为锐角，∴ \( \alpha+15^\circ = 45^\circ \)，得 \( \alpha = 30^\circ \)。原式= \( \sqrt{8} - 4\cos30^\circ - 1 + \tan30^\circ = 2\sqrt{2} - 4\times\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{2} - \frac{5\sqrt{3}}{3} - 1 \)。
4. 解析：过点 \( B \) 作 \( BC \perp OA \) 于 \( C \)。由题意，\( \angle OAB=15^\circ, \angle OBC=45^\circ \)。设 \( BC = x \) 海里。在 \( Rt \triangle OBC \) 中，\( OC = BC \cdot \tan 45^\circ = x \)。在 \( Rt \triangle ABC \) 中，\( AC = BC \cdot \tan(90^\circ-15^\circ) = x \cdot \tan 75^\circ \)。∵ \( OA = OC + CA = 40 \)，即 \( x + x \cdot \tan 75^\circ = 40 \)。\( \tan 75^\circ = \tan(45^\circ+30^\circ)=2+\sqrt{3} \)。∴ \( x(1+2+\sqrt{3}) = 40 \)，\( x = \frac{40}{3+\sqrt{3}} = \frac{40(3-\sqrt{3})}{6} = \frac{20(3-\sqrt{3})}{3} \)。在 \( Rt \triangle ABC \) 中，\( AB = \frac{BC}{\cos 15^\circ} = \frac{x}{\cos 15^\circ} \)，\( \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)，代入计算可得 \( AB = 20(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \) 海里。（或利用正弦定理在 \( \triangle OAB \) 中直接求解更简：\( \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{40}{\sin(180^\circ-45^\circ-15^\circ)} \)）
5. 解析：∵ \( \angle A=45^\circ \)，∴ \( \angle B=45^\circ \)，\( \triangle ABC \) 为等腰直角三角形，\( a = b = 8 \)，\( c = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)。

（为节省篇幅，后续题目解析略，可按上述格式补充完整）

第三关：生活应用（精选解析）

1. 解析：坡度 \( 1:1 \) 即坡角 \( \alpha = 45^\circ \)。设上升高度为 \( h \)，水平前进为 \( l \)，斜坡长 \( s = 20\sqrt{2} \)。则 \( h = s \cdot \sin 45^\circ = 20\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \) 米。\( l = s \cdot \cos 45^\circ = 20\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \) 米。
2. 解析：设电线杆中点为 \( O \)，高为 \( 2h \)，则 \( AO = h \)。两根钢丝绳固定在地面 \( B, C \) 点，且 \( \angle OAB = \angle OAC = 45^\circ \)，\( BC = 10 \) 米。在 \( Rt \triangle AOB \) 中，\( \tan 45^\circ = \frac{OB}{AO} = 1 \)，∴ \( OB = AO = h \)。同理 \( OC = h \)。∵ \( B, O, C \) 共线，且 \( O \) 为中点，∴ \( BC = OB + OC = 2h = 10 \)，得 \( h = 5 \)。∴ 电线杆高 \( 2h = 10 \) 米。钢丝绳长 \( AB = \sqrt{AO^2+OB^2} = \sqrt{5^2+5^2} = 5\sqrt{2} \) 米。
3. 解析：由题意，\( \angle ABC = 45^\circ, \angle ACB = 45^\circ \)，∴ \( \triangle ABC \) 为等腰直角三角形，\( \angle BAC = 90^\circ \)。∴ \( AB = BC = 100 \) 米。即河宽 \( 100 \) 米。