树状图法怎么画？概率计算与多步骤问题深度解析 星火AI实验室专项练习题库

💡 阿星精讲：树状图法 原理

• 核心概念：想象你站在一个十字路口，每一次选择都是一次“分叉”。树状图，就是把你所有可能走过的“思维分岔路”都画出来，像一棵倒着长的树。阿星提醒你：当你的任务需要经历三个或以上的连续步骤（比如连续摸三次球、三位密码锁、三个人排队）时，大脑容易“迷路”，必须画树状图来导航，确保不重不漏！
• 计算秘籍：
  1. 画主干定步骤：从左到右，第一步是树根，后续每一步都是新分叉。
  2. 标全部分支：每个分叉点，把所有可能情况都画出来，并标上相应的概率（可能性）。
  3. 走路径算结果：从树根出发到一片叶子，就是一条完整的可能路径。
  4. 乘法求概率：一条路径的概率，等于这条路径上各分支概率的乘积，即 \( P(路径) = P(第一步) \times P(第二步) \times ... \)
  5. 加法找总数：所有符合条件的结果的概率之和，就是最终概率，即 \( P(事件) = \sum P(符合条件的路径) \)。
• 阿星口诀：“三步以上画棵树，分支标好概率数。沿着树枝走到头，乘加法则心中留。”

📐 图形解析

一个经典的“不放回摸球”树状图。袋子中有1个红球(R)和2个白球(W)，连续摸两次（不放回）。每一步的“分岔”都代表一种可能的选择。

比如，想求“恰好摸到一个红球”的概率。从图上看，有两条路径符合（图中蓝色虚线）：R→W 和 W→R。

路径R→W的概率为：\( P(R→W) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{6} \)

路径W→R的概率为：\( P(W→R) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} \)

所以总概率为：\( P = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：“不放回”却当“放回”画。 → ✅ 正解：第二次分叉时，总球数和特定颜色球数一定要根据第一次的结果实时更新！如上图，第一次摸走R后，第二次就不可能再摸到R。
• ❌ 错误2：只画分支，不标概率。 → ✅ 正解：每一个分叉线旁都必须标上此刻的概率，这是后续进行乘法运算的基础，漏标必错。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 抛一枚均匀硬币两次，画出树状图，求恰好一次正面朝上的概率。
2. 一个袋子有红、蓝球各一个，摸出后放回，共摸两次。用树状图求两次颜色相同的概率。
3. 从数字1,2中任选一个作为十位，再从1,2,3中任选一个作为个位，组成两位数。树状图表示所有可能。
4. 早餐有粥、牛奶两种饮品，包子、油条两种主食，各选一种。有多少种搭配？
5. 掷一个骰子两次，树状图表示所有点数结果。点数和为5的概率是多少？
6. A,B两封信随机投入1,2号邮箱，树状图表示投法。求1号邮箱恰有一封信的概率。
7. 连续回答两道判断题(对/错)，树状图表示所有答案序列。
8. 从“读”、“书”二字中选一字，再从“好”、“好”、“了”三字中选一字，组成词语。树状图表示。
9. 小明去学校有东、西两条路，回家时每条路又可选步行或骑车。树状图表示上学放学的走法。
10. 一个转盘被平分成红、黄、蓝三区，转动两次。树状图表示颜色序列。

第二关：中考挑战（10道）

1. （不放回）袋中有2黑1白共三球，连续摸两球。树状图求摸出一黑一白的概率。
2. 甲、乙玩“石头剪刀布”，用树状图求两人平局的概率。
3. 从-1, 0, 1, 2中任取两数相乘（不放回），树状图求积为负数的概率。
4. 某比赛有A,B,C三位评委，独立给出“通过”或“淘汰”票。树状图表示所有投票结果。求至少两票通过的概率。
5. （放回）从1,2,3,4中取两数组成两位数，树状图求这个两位数是偶数的概率。
6. 三人中选两人参加活动，树状图表示所有选法。
7. 一道多选题有A,B,C三个选项，至少有一个正确。小明随机猜一个答案组合（如“AB”）。树状图表示所有可能的猜测，求他猜错的概率。
8. 三个开关控制一盏灯，每个开关有“开”、“关”两种状态。树状图表示所有开关状态组合。
9. 小华有3本不同的书，随机分给甲、乙两人，允许有人没分到。树状图表示所有分法。
10. 连续抛一枚硬币，直到出现正面或满三次为止。画出表示所有可能抛掷结果的树状图。

第三关：生活应用（5道）

1. （电路设计）一个简单并联电路有两个支路，每个支路各有一个开关（开/关）。画出树状图表示整个电路通断的所有状态。求电路通电的概率。
2. （路径规划）从A地到C地必须经过B地。从A到B有2条路，从B到C有3条路，但其中有一条正在施工（随机选择道路时会避开）。画出从A到C所有可行路线的树状图。
3. （质检抽样）一批零件有4个合格品，1个次品。质检员不放回地随机抽取两个检查。树状图求抽到一个次品的概率。
4. （比赛赛制）甲、乙、丙三人进行单循环乒乓球赛（每两人赛一场），每场比赛胜者得1分。用树状图分析甲得2分的所有可能比赛结果序列（假设每场比赛胜负概率均等）。
5. （密码安全）一个四位数密码，每位可以是0-9。黑客用程序每秒尝试10万个密码。画出密码可能性的树状图（仅示意分支结构），并计算按此速度，理论上暴力破解所需的最长时间是多少秒？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关（部分示例）：

1. 树状图：第一次分“正(H)”、“反(T)”，第二次各自再分“H”、“T”。路径有(H,T)和(T,H)。\( P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)。
2. 路径：红红、红蓝、蓝红、蓝蓝。相同路径为红红和蓝蓝。\( P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)。
3. 十位：1,2；个位：1,2,3。组成：11,12,13,21,22,23。共6种。

第二关（部分示例）：

1. （黑1,黑2,白）第一次摸后，袋中情况变化。一黑一白路径：黑→白、白→黑。\( P = (\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} \times \frac{2}{2}) = \frac{2}{3} \)。
2. 平局情况：（石,石）、（剪,剪）、（布,布）。每种概率为 \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)。\( P = 3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \)。

第三关（部分示例）：

1. 开关A(开,关)，开关B(开,关)。电路通的路徑：A开或B开（即不同时关）。路径：(开,开)、(开,关)、(关,开)。设每个开关随机开到“开”状态的概率为 \( \frac{1}{2} \)。则 \( P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \)。
2. 总密码数：\( 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000 \) 种。最长时间：\( \frac{10000}{100000} = 0.1 \) 秒？不，这里要求理论上保证破解的最长时间，即尝试所有可能：\( \frac{10000}{100000} = 0.1 \) 秒是错误的单位理解。应该是 \( 10000 \div 100000 = 0.1 \) 秒尝试一个密码。总时间应为：\( 10000 \times 0.1 = 1000 \) 秒？不对。程序每秒尝试10万次，所以总时间 \( T = \frac{10000}{100000} = 0.1 \) 秒？逻辑错误。仔细想：可能性总数是10000个，速度是每秒100000个，那么所需秒数 \( S = \frac{10000}{100000} = 0.1 \)。但0.1秒不可能试完1万次。矛盾点在于：10万/秒 > 1万/0.1秒。所以实际上，不到1秒就能试完所有密码。但题目问“理论上最长时间”，即考虑在最坏运气下试完最后一个才成功，需要试满10000次。所需时间 \( T = \frac{10000}{100000} = 0.1 \) (秒)。这个结果反常识，但计算无误。它揭示了简单数字密码在暴力破解面前的极度脆弱性。