树状图解题方法全解析：三步以上概率问题如何不丢分？专项练习题库

💡 阿星精讲：树状图 原理

• 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你在一个有许多岔路口的神秘森林里探险。每走一步，面前都会出现几条新的小路。树状图就是你手中的“探险地图”，它把每一步的所有选择可能性都画成树枝一样的分叉，清晰地展示出所有可能的探险路线。为什么需要它呢？当你的探险只有一两步时（比如摸一两次球），你或许能在大脑里直接想清楚。但当探险变成三步甚至更多时（比如连续摸三次球），路线就会像藤蔓一样疯狂缠绕，你的大脑很容易“迷路”。这时，“三步及以上必须画树状图”就是我们的铁律！它能让复杂的“多步决策”一目了然。
• 计算秘籍：
  1. 画图（种树）：从起点（树根）开始，第一层树枝代表第一步的所有可能选择，在每个选择后画出第二步的树枝，以此类推。
  2. 数路径（寻宝）：从树根到每个“叶子”（末端）的一条完整路径，就代表一种可能的结果。数一数有多少片“叶子”，就能知道总共有 \( n \) 种可能情况。
  3. 算概率（标宝藏）：在每条树枝上标出发生这一步的概率（比如摸到红球的概率是 \( \frac{a}{b} \) ），那么沿着一条路径到达某个“叶子”的概率，就等于这条路径上所有树枝概率的乘积。即 \( P(路径) = P(第一步) \times P(第二步) \times ... \)
  4. 找结果（集宝藏）：如果要找满足特定条件（如“两次摸到红球”）的概率，就找出所有符合条件的“叶子”，把它们各自的路径概率相加。
• 阿星口诀：多步问题像爬山，三步以上图来办。先画树枝后标数，概率相乘再相加。

📐 图形解析

树状图的核心是“分层”与“分叉”。下面是一个从袋中有放回地连续摸两次球的树状图模型，每次可能摸到红球(R)或蓝球(B)。

从图中可以清晰地看到4条路径，对应4种结果：\( (R,R), (R,B), (B,R), (B,B) \)。每条路径的概率计算为：例如路径 \( (R,B) \) 的概率为 \( p(R) \times p(B) \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：“放回”和“不放回”傻傻分不清，画图时概率乱标。 → ✅ 正解：牢记“放回”则每一步概率不变；“不放回”则总球数减少，概率动态变化。画图时，从同一点分出的树枝概率之和必须为1。
• ❌ 错误2：数总可能情况（基本事件）时，只看最后有多少种结果，忽略了它们发生的可能性是否相等。 → ✅ 正解：树状图的每个“叶子”（末端）代表一个等可能的基本事件。总事件数就是末端叶子的数量 \( n \)。求古典概型概率 \( P(A) = \frac{事件A包含的叶子数}{n} \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 抛一枚均匀硬币两次，画出树状图，求至少出现一次正面的概率。
2. 一个袋子有1个白球(W)和2个黑球(B)，有放回地摸两次。用树状图求两次颜色不同的概率。
3. 掷一个正方体骰子两次，用树状图思路求两次点数之和为5的概率。
4. 从A、B两人中选一人当组长，再从剩下的两人（包含未选中的）和C中选一人当副组长。画树状图表示所有选法。
5. 早餐有粥、牛奶两种饮料，包子、油条两种主食。各选一种，有多少种搭配？画出树状图。
6. 小明去学校有2条路，回家有3条路（不一定原路返回）。问他上学再回家的路线有多少种走法？
7. 判断题：有放回摸两次球，树状图第二层的分支概率和第一层相同。（ ）
8. 判断题：不放回抽两张牌，树状图第二层每个节点的分支数都相同。（ ）
9. 从数字1,2中不放回地连续抽取两个数字排成一排，能组成哪些两位数？
10. 用树状图表示抛一枚硬币三次的所有可能结果。

第二关：中考挑战（10道）

1. （不放回）从2名男生(M1,M2)和2名女生(F1,F2)中，随机抽取两人参加比赛。用树状图或列表法求抽到一名男生和一名女生的概率。
2. （放回与不放回对比）一个袋子有2红1白。分别求“有放回抽两次皆红”和“不放回抽两次皆红”的概率，并说明树状图画法的区别。
3. （三步问题）小红、小黄、小蓝三人随机排成一队，用树状图求小红和小黄相邻的概率。
4. （条件概率）掷两枚骰子，已知第一枚点数是偶数，求两枚点数之和大于8的概率。（提示：在条件限制下画简化树状图）
5. （数字问题）从1,3,5,7中任取两个不同的数字相乘，能被5整除的概率是多少？
6. （实际应用）某交叉路口有红、黄、绿三色信号灯，亮灯时间比为3:1:2。小明骑车经过两次该路口，求两次都遇到红灯的概率。
7. （路径问题）如图，从A点到C点必须经过B点，从A到B有3条路，从B到C有2条路。问从A到C有多少种不同路径？如果随机选一条，选到最短路径（已知其中一条最短）的概率是多少？
   
8. （游戏公平性）小刚和小明玩一个游戏：掷两枚硬币，若两面相同则小刚胜，若两面不同则小明胜。这个游戏公平吗？用树状图说明。
9. （分类讨论）一个密码由两个数字组成，第一个数字是奇数，第二个数字是非零偶数。数字可重复。这样的密码有多少个？
10. （综合）从长度为2,3,4,5的四条线段中，任取三条能构成三角形的概率是多少？（提示：先列举所有可能的取法）

第三关：生活应用（5道）

1. （电路设计）一个简单电路有两个并联的开关A和B，每个开关有“开”(1)和“关”(0)两种状态。只有当至少一个开关闭合时，电路才导通。请用树状图列出所有开关状态组合，并求电路导通的概率（假设开关随机状态）。
2. （决策分析）阿星早餐可选面包或面条，饮料可选豆浆或果汁。如果他不想连续两天吃完全一样的搭配，请问他今天选择面包+豆浆后，明天随机选择一份不同的搭配的概率是多少？
3. （遗传学简化模型）控制豌豆高茎(D)和矮茎(d)的基因中，高茎为显性。一株高茎豌豆(Dd)自花授粉，后代基因型可能为DD, Dd, dd。用树状图模拟授粉过程（分别从父本和母本随机传递一个等位基因），并求后代表现为高茎（即基因型为DD或Dd）的概率。
4. （简单风险评估）某项目需通过A、B两个独立审查。通过A审查的概率是0.8，通过B审查的概率是0.7。用树状图分析该项目最终获批（通过两者）、被拒（未通过两者）和需要重审（只通过一个）的概率各是多少。
5. （体育比赛）甲、乙两队进行三局两胜制的比赛。甲队每局获胜的概率是0.6，且各局胜负独立。用树状图分析甲队最终获胜的概率。（提示：比赛可能进行两局或三局）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 树状图略。结果：{正正，正反，反正，反反}。\( P(至少一次正面) = \frac{3}{4} \)。
2. \( P(不同) = P(WB)+P(BW) = (\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{4}{9} \)。
3. 总情况 \( 6 \times 6 = 36 \)。和为5的有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)。\( P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)。
4. 树状图第一层：选组长(A或B)。第二层：从剩下两人（若组长为A，剩B和C；若为B，剩A和C）中选副组长。共4种选法。
5. \( 2 \times 2 = 4 \)种。树状图略。
6. \( 2 \times 3 = 6 \)种。这是乘法原理的直接应用。
7. ✅ 正确。
8. ❌ 错误。第一层分支数（比如从5张中抽1张）是5，第二层分支数（从剩下4张中抽1张）都是4，但这是从不同节点出发的。题目说“每个节点的分支数”，在同一个不放回问题中，同一层的不同节点，其分支数相同（比如第二层的每个节点都对应剩下4张牌，所以分支数都是4）。所以这句话是正确的。解析特此更正，旨在强调对“节点”的理解。
9. 12, 21。
10. HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT。

第二关：中考挑战

11. 总情况：6种（M1M2, M1F1, M1F2, M2F1, M2F2, F1F2）。一男一女：4种。\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
12. 有放回：\( P = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \)。不放回：\( P = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \)。区别：不放回时，第二层概率随第一层结果变化。
13. 三人排队共6种等可能情况。小红小黄相邻（看作一个整体与另一人排列）有4种：(红黄)蓝， (黄红)蓝， 蓝(红黄)， 蓝(黄红)。\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
14. 在第一枚为偶数的条件下，样本空间缩小为 {2,4,6} 分别搭配 {1,2,3,4,5,6}，共18种。和大于8的有：(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)。共6种。\( P = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \)。
15. 从4个数中取2个相乘，共有 \( C_4^2 = 6 \) 种积。能被5整除的积必须包含因子5，即取(5,1)或(5,3)或(5,7)。共3种。\( P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)。
16. 设一次遇到红灯的概率为 \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)。两次独立，\( P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)。
17. 路径总数：\( 3 \times 2 = 6 \)种。随机选一条，选到特定最短路径的概率为 \( \frac{1}{6} \)。
18. 公平。树状图结果：相同（正正，反反）的概率为 \( \frac{1}{2} \)，不同（正反，反正）的概率为 \( \frac{1}{2} \)。
19. 第一位：5种奇数(1,3,5,7,9)。第二位：4种非零偶数(2,4,6,8)。数字可重复，所以 \( 5 \times 4 = 20 \)个。
20. 所有可能的取法：{2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}。共4种。能构成三角形的有：{2,3,4}（2+3>4）、{3,4,5}。共2种。\( P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)。

第三关：生活应用

21. 状态组合：(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)。导通状态为前三种。假设每个开关随机开/关，概率各 \( \frac{1}{2} \)，则四种组合等可能。\( P(导通) = \frac{3}{4} \)。
22. 今天搭配：面包+豆浆。明天所有可能搭配4种。不同搭配有3种。\( P = \frac{3}{4} \)。
23. 父本传递D或d，概率各 \( \frac{1}{2} \)；母本同理。树状图得后代基因型：DD(1/4), Dd(1/2), dd(1/4)。高茎概率为 \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \)。
24. 树状图分支：通过A(0.8) → 通过B(0.7)：获批 \( 0.8 \times 0.7 = 0.56 \)；未通过B(0.3)：重审 \( 0.8 \times 0.3 = 0.24 \)。未通过A(0.2) → 通过B(0.7)：重审 \( 0.2 \times 0.7 = 0.14 \)；未通过B(0.3)：被拒 \( 0.2 \times 0.3 = 0.06 \)。验证：\( 0.56+0.24+0.14+0.06=1 \)。
25. 甲队获胜的情况：
    • 两局结束：甲甲。概率 \( 0.6 \times 0.6 = 0.36 \)。
    • 三局结束：甲乙甲，乙甲甲。概率均为 \( 0.6 \times 0.4 \times 0.6 = 0.144 \)。共 \( 0.288 \)。

    总获胜概率：\( 0.36 + 0.288 = 0.648 \)。