数轴画法详解：不等式解集空心实心判断与常见题型解析专项练习题库

💡 阿星精讲：数轴画法 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊怎么在数轴上表示数的范围。想象一下，数轴是一条笔直的路，数字就是路上的点。当我们要表示“所有大于3的数”时，是不是要从3的右边开始画？那起点“3”这个点包不包含呢？这就引出了我们的“空心实心”法则。你可以把不等号想象成一张嘴巴：“>”和“<”是张开的嘴巴，它“吃不下”那个点，所以我们在那个点处画一个空心圆圈，表示“不要这个点”；而“≥”和“≤”的嘴巴是闭上的，它能“吃下”那个点，所以我们就画一个实心圆点，表示“包含这个点”。方向就更好记了：大于（>，≥）向右，小于（<，≤）向左，像不像在指路？
• 计算秘籍：
  1. 解不等式：先像解方程一样，求出关键的数字边界。例如，解 \( x - 5 > 2 \)，得到 \( x > 7 \)。
  2. 画数轴：画一条带箭头的水平线，标出关键数字（如7）和附近整数。
  3. 定“心”“向”：看符号是“>”还是“≥”。“>”是空心，“≥”是实心。“>”向右画射线。
  4. 画区间：在数轴上相应位置画上点（空心或实心），并向正确的方向画线或箭头。
• 阿星口诀：大口吃不到就画空，小嘴闭上点变实；大向右跑小向左，数轴画法要记牢！

📐 图形解析

让我们通过图形直观理解“空心”与“实心”的区别。下图展示了两个最基本的例子：

不等式 \( x > 2 \) 在数轴上的表示：

不等式 \( x \leq 1 \) 在数轴上的表示：

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解出 \( x > 5 \)，却在数轴“5”的位置画了实心点。 → ✅ 正解：严格遵循口诀，“大于小于画空心”。\( > \) 是“大嘴巴”，吃不下点5，必须画空心圈。
• ❌ 错误2：解出 \( x \leq -2 \)，画了实心点，却向右画了射线。 → ✅ 正解：方向由不等号方向决定。“≤”意味着小于或等于，方向是“向左”。口诀：“大于向右小于向左”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在数轴上表示 \( x > -1 \)。
2. 在数轴上表示 \( x \leq 3 \)。
3. 看图写出不等式：
   
4. 解不等式 \( x + 7 > 10 \) 并在数轴上表示。
5. 解不等式 \( 2x \leq 6 \) 并在数轴上表示。
6. 下列数轴表示中，哪一个是 \( x < 0 \) 的正确表示？（配几个简单数轴图选项）
7. 在数轴上表示 \( x \geq -2 \)。
8. 看图写出不等式：
   
9. 解不等式 \( x - 4 < -2 \) 并在数轴上表示。
10. 判断：在数轴上表示 \( x \geq 5 \) 时，应在5处画空心点并向左画线。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）不等式 \( \frac{x}{2} - 1 > 0 \) 的解集在数轴上表示为（ ）。
2. 解不等式组 \( \begin{cases} 2x+1 \geq -1 \\ x < 2 \end{cases} \)，并将其解集在数轴上表示出来。
3. 已知关于 \( x \) 的不等式 \( (a-1)x > 2 \) 的解集为 \( x < \frac{2}{a-1} \)，则 \( a \) 的取值范围是______，并在数轴上表示 \( a \) 的范围。
4. 点 \( A \) 在数轴上的位置为 \( -3 \)，点 \( B \) 表示的数是 \( x \)，且 \( AB < 5 \)，请用不等式表示 \( x \) 的范围，并画在数轴上。
5. 不等式 \( 3 - 2x \leq 7 \) 的非负整数解有哪些？并把解集画在数轴上。

第三关：生活应用（5道）

1. 温度控制：某生物实验室要求培养箱温度 \( t \) 必须不低于 \( 20^{\circ}C \) 且不高于 \( 28^{\circ}C \)。请用两个不等式表示温度范围，并在同一个数轴上表示出来。
2. 身高限制：游乐场“极限飞车”项目要求乘客身高 \( h \) (米) 满足 \( 1.4 \leq h \leq 1.9 \) 才能乘坐。请在数轴上表示出合格身高的范围。
3. 预算规划：小明买书，每本价格相同。他带了50元，买完3本后，剩下的钱不足8元。设每本书 \( x \) 元，请列出不等式并求解，在数轴上表示每本书可能的单价范围。
4. 工程进度：修一段路，计划每天修 \( 80 \) 米，实际每天修 \( x \) 米。如果提前至少 \( 2 \) 天完成（总长 \( 1200 \) 米），请列出不等式并求解，在数轴上表示每天至少需要修多少米。
5. 浓度问题：要在含盐 \( 10\% \) 的 \( 50 \) 克盐水中加入一些盐，使盐水浓度超过 \( 20\% \)。设加入盐 \( x \) 克，请列出不等式并求解，在数轴上表示需要加盐的范围。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 在 \( -1 \) 处画空心点，向右画线。
2. 在 \( 3 \) 处画实心点，向左画线。
3. \( x \geq 2 \)（实心，向右）。
4. 解：\( x > 3 \)。在3处画空心点向右。
5. 解：\( x \leq 3 \)。在3处画实心点向左。
6. （根据具体图形选择）
7. 在 \( -2 \) 处画实心点，向右画线。
8. \( x < -1 \)（空心，向左）。
9. 解：\( x < 2 \)。在2处画空心点向左。
10. ❌ 错误。应为实心点向右。

第二关：中考挑战（示例解析）

1. 解：\( \frac{x}{2} > 1 \) → \( x > 2 \)。应选在2处空心向右的图。
2. 解：解第一个：\( 2x \geq -2 \) → \( x \geq -1 \)。解第二个：\( x < 2 \)。解集为 \( -1 \leq x < 2 \)。数轴表示：在-1处实心点向右，在2处空心点向左，取公共部分（即两线重叠部分）。

第三关：生活应用（示例解析）

1. 不等式：\( t \geq 20 \) 且 \( t \leq 28 \)。数轴表示：在20和28处均画实心点，并画出它们之间的线段。
2. 在数轴上1.4和1.8处画实心点，并画出它们之间的线段。