数轴表示不等式解集的方法与易错点深度解析 实心点空心圈怎么画专项练习题库

💡 阿星精讲：数轴表示 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，数轴就是一条笔直的高速公路，“数”就是上面的车辆。当我们描述车的“位置范围”时（比如不等式），就需要在路口做标记。记住我的口诀：“有等号画实心点，没等号画空心圈。大于向右画，小于向左画。” “实心点”就像一个大大的、涂满的停车牌，意思是“这里（这个数）也包括在内，可以停车！”。“空心圈”则像一个警示路标，意思是“注意！这里（这个数）不能停，但旁边的路可以走”。方向呢？很简单，“大于”就是往数大的方向（右边）走，“小于”就是往数小的方向（左边）走。
• 计算秘籍：
  1. 找点：解出不等式，找到边界点 \( a \)。例如，\( x > 3 \) 的边界点就是 \( 3 \)。
  2. 定“心”：判断这个点 \( a \) 本身要不要。如果不等式是 \( \geq \) 或 \( \leq \)，有等号，就画实心点；如果是 \( > \) 或 \( < \)，没等号，就画空心圈。
  3. 定向画线：判断方向。如果解集是 \( x > a \) 或 \( x \geq a \)，就向右画射线或线段；如果是 \( x < a \) 或 \( x \leq a \)，就向左画。
• 阿星口诀：等号实心不等空，大于向右左小于。先找点来后定心，方向一看便分明！

📐 图形解析

不等式 \( x \leq 2 \) 与 \( x > -1 \) 在数轴上的表示：

解集：\( -1 < x \leq 2 \)

如图所示，在 \( x = -1 \) 处，因为是“大于” \( > \) 而没有等号，所以画空心圈；在 \( x = 2 \) 处，因为是“小于等于” \( \leq \) 有等号，所以画实心点。解集是从-1到2的所有数，图形上表现为两点之间的线段。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到 \( x \geq -3 \)，在数轴-3的位置画了个空心圈。
  ✅ 正解：有等号“≥”，表示包含-3这个点，必须画实心点！口诀是“有等号画实心点”。
• ❌ 错误2：解出 \( x < 5 \)，从5这个点开始向右画了射线。
  ✅ 正解：不等式是“小于”，解集是比5小的数，方向应该向左。口诀是“小于向左画”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在数轴上表示 \( x > 1 \)。
2. 在数轴上表示 \( x \leq 0 \)。
3. 在数轴上表示 \( x < -3 \)。
4. 写出下图数轴表示的不等式。
   
5. 解不等式 \( x + 5 \geq 2 \)，并在数轴上表示。
6. 解不等式 \( 3x \leq -6 \)，并在数轴上表示。
7. 在数轴上表示 \( -2 \leq x < 3 \)。
8. 判断：在数轴上，\( x \neq 2 \) 应该用实心点表示吗？
9. 一个温度控制器显示温度 \( t \) 必须高于 \( 10^\circ C \)，用不等式表示并在数轴上画出 \( t \) 的取值范围。
10. 你的年龄 \( a \) 不小于12岁才能观看某电影，用不等式表示并在数轴上画出 \( a \) 的取值范围。

第二关：中考挑战（10道）

1. （基础综合）解不等式组 \( \begin{cases} 2x-1 > -3 \\ x+4 \leq 6 \end{cases} \)，并把解集在数轴上表示出来。
2. （整数解）求不等式 \( 3(x-2) \leq 4x-5 \) 的最小整数解，并画出数轴表示。
3. （含分数）解不等式 \( \frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1 \)，并在数轴上表示。
4. （非标准形）解不等式 \( 5 - 2x > 1 \)，并在数轴上表示。
5. （实际意义）数轴上表示某不等式解集的图形是：在 \( 2 \) 处为空心圈并向左的射线。写出一个符合条件的不等式。
6. （绝对值）在数轴上表示 \( |x| \geq 1 \) 的解集。
7. （与方程结合）已知 \( x=2 \) 是关于 \( x \) 的方程 \( ax+4=0 \) 的解，求关于 \( y \) 的不等式 \( (a+1)y < -3 \) 的解集，并在数轴上表示。
8. （点与区域）点 \( P(2m-1, m+2) \) 在第二象限，则 \( m \) 的取值范围是？在数轴上表示。
9. （阅读理解）定义一种新运算：\( a \otimes b = 2a - b \)。若 \( 3 \otimes x \leq 1 \)，求 \( x \) 的取值范围并在数轴上表示。
10. （综合判断）下列数轴表示中，哪一个表示不等式 \( -1 \leq x < 2 \) 的解集？（配四个小图选项）

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑工程）一个脚手架钢板的长度 \( l \)（米）要求其误差的绝对值不超过 \( 0.02 \) 米，即 \( |l - 5| \leq 0.02 \)。请写出钢板合格的长度范围，并在数轴上表示出来。
2. （药品剂量）一种儿童感冒药，说明书写明：年龄 \( a \)（岁）在 \( 6 \) 岁以上（含 \( 6 \) 岁）且小于 \( 12 \) 岁的儿童，每次服用 \( 10 \) ml。请用不等式表示适合服用的年龄范围，并在数轴上表示。
3. （购物优惠）某商场促销：“消费满 \( 200 \) 元立减 \( 50 \) 元”。设实际消费金额为 \( y \) 元，原价为 \( x \) 元。写出能享受优惠的原价 \( x \) 应满足的不等式，并在数轴上表示。
4. （环保标准）某地区规定，工厂排放的污水中某污染物浓度 \( c \)（mg/L）必须低于 \( 0.5 \)。用不等式表示达标浓度，并在数轴上表示（提示：浓度不为负）。
5. （行程规划）小明计划骑自行车去图书馆。如果他以每小时 \( 15 \) 公里的速度行驶，要在 \( 0.5 \) 小时到 \( 1 \) 小时之间到达，那么图书馆的距离 \( s \)（公里）应该在什么范围？用不等式组表示并在数轴上表示 \( s \) 的范围。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 在 \( 1 \) 处画空心圈，向右画射线。
2. 在 \( 0 \) 处画实心点，向左画射线。
3. 在 \( -3 \) 处画空心圈，向左画射线。
4. \( x \leq -1 \)
5. 解：\( x + 5 \geq 2 \) → \( x \geq -3 \)。在 \( -3 \) 处画实心点，向右画射线。
6. 解：\( 3x \leq -6 \) → \( x \leq -2 \)。在 \( -2 \) 处画实心点，向左画射线。
7. 在 \( -2 \) 处画实心点，在 \( 3 \) 处画空心圈，两点之间连线段。
8. 否。\( x \neq 2 \) 表示不包含 \( 2 \)，应在 \( 2 \) 处画空心圈，并向左右两边画射线（或理解为在 \( 2 \) 处挖空）。
9. \( t > 10 \)。在 \( 10 \) 处画空心圈，向右画射线。
10. \( a \geq 12 \)。在 \( 12 \) 处画实心点，向右画射线。

第二关：中考挑战

1. 解：由 \( 2x-1 > -3 \) 得 \( x > -1 \)；由 \( x+4 \leq 6 \) 得 \( x \leq 2 \)。∴ 解集为 \( -1 < x \leq 2 \)。在 \( -1 \) 处空心圈，\( 2 \) 处实心点，中间连线段。（图略）
2. 解：\( 3x-6 \leq 4x-5 \) → \( -x \leq 1 \) → \( x \geq -1 \)。最小整数解为 \( -1 \)。在 \( -1 \) 处画实心点，向右画射线。
3. 解：去分母 \( 3x - 2(x-1) > 6 \) → \( 3x - 2x + 2 > 6 \) → \( x > 4 \)。在 \( 4 \) 处画空心圈，向右画射线。
4. 解：\( -2x > -4 \) → \( x < 2 \)。在 \( 2 \) 处画空心圈，向左画射线。（注意系数为负时，不等号方向改变）
5. \( x < 2 \) （答案不唯一）
6. 解：\( |x| \geq 1 \) 等价于 \( x \leq -1 \) 或 \( x \geq 1 \)。在 \( -1 \) 和 \( 1 \) 处画实心点，分别向左、右画射线。
   
7. 解：将 \( x=2 \) 代入方程得 \( 2a+4=0 \)，\( a=-2 \)。代入不等式得 \( (-2+1)y < -3 \) → \( -y < -3 \) → \( y > 3 \)。在 \( 3 \) 处画空心圈，向右画射线。
8. 解：第二象限点横坐标小于 \( 0 \)，纵坐标大于 \( 0 \)。∴ \( \begin{cases} 2m-1 < 0 \\ m+2 > 0 \end{cases} \) → \( \begin{cases} m < \frac{1}{2} \\ m > -2 \end{cases} \) ∴ \( -2 < m < \frac{1}{2} \)。在 \( -2 \) 和 \( \frac{1}{2} \) 处画空心圈，中间连线段。
9. 解：由定义 \( 3 \otimes x = 2\times3 - x = 6 - x \)。∴ \( 6 - x \leq 1 \) → \( -x \leq -5 \) → \( x \geq 5 \)。在 \( 5 \) 处画实心点，向右画射线。
10. （解析：正确选项应在 \( -1 \) 处为实心点，在 \( 2 \) 处为空心圈，中间有连线。）

第三关：生活应用

1. 解：\( |l - 5| \leq 0.02 \) 等价于 \( -0.02 \leq l - 5 \leq 0.02 \)，即 \( 4.98 \leq l \leq 5.02 \)。在数轴上，在 \( 4.98 \) 和 \( 5.02 \) 处画实心点，中间连线段。
2. 解：\( 6 \leq a < 12 \)。在 \( 6 \) 处画实心点，在 \( 12 \) 处画空心圈，中间连线段。
3. 解：能享受优惠的条件是 \( x \geq 200 \)。在 \( 200 \) 处画实心点，向右画射线。
4. 解：\( 0 \leq c < 0.5 \)。在 \( 0 \) 处画实心点，在 \( 0.5 \) 处画空心圈，中间连线段。（注意浓度非负）
5. 解：距离 = 速度 × 时间。∴ \( s = 15t \)，且 \( 0.5 < t < 1 \)。∴ \( 15 \times 0.5 < s < 15 \times 1 \)，即 \( 7.5 < s < 15 \)。在数轴上，在 \( 7.5 \) 和 \( 15 \) 处画空心圈，中间连线段。