期末复习：八年级数学上册最短路径考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：最短路径核心考点速记
【开篇语：最短路径问题是八年级上学期几何的重难点，期末考中多以选择题、填空题形式出现，也常作为压轴几何题的一个关键步骤。掌握其核心模型，是几何部分抢分的关键。】
- 必背概念：“将军饮马”模型是基石。核心思想是“化折为直”。当需要在一条直线（河岸）上找一个点P，使PA+PB最小时，方法是：作点A关于这条直线的对称点A‘，连接A’B，与直线的交点就是所求点P。依据是：两点之间，线段最短。
- 阿星顺口溜：“最短路径不用慌，先找直线当城墙。定点对称做镜像，直连另点找交王。”
- 万能公式：
- 核心思想公式：$$min(PA+PB) = A‘B$$（其中A‘是A关于直线l的对称点）。
- 辅助计算：点到直线距离公式（为求对称点坐标或线段长打基础）。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1：找不准“对称轴”（定直线）。
错误：题目要求从点A到直线l再到点B，学生却作了A关于线段AB的垂直平分线的对称点。 - ✅ 满分规范： “河岸”就是那条所有路径都必须经过的直线。 做题第一步，用笔圈出题目中的“在...上找一点”，这句话描述的直线就是对称轴。
- ❌ 常见错解2：计算对称点坐标粗心。
错误：求A(2, 3)关于直线y=x的对称点，写成A'(3, 2)是对的，但关于直线x=1的对称点，容易算成A'(0, 3)（应为A'(0, 3)? 等等，A(2,3)关于x=1对称，横坐标：1*2-2=0，纵坐标不变为3，所以A'(0,3)是对的。此处应换一个易错例子），比如关于直线y=2的对称点A'(2, 1)（应为A'(2, 1)？A(2,3)关于y=2对称，纵坐标：2*2-3=1，横坐标不变为2，所以A'(2,1)也对。）。看，连我也要仔细算！真正易错的是关于斜线（如y=2x）的对称点，计算复杂易错。 - ✅ 满分规范： 坐标系中求对称点，务必在草稿纸上列出方程组或使用中点公式分步计算，并养成代回验证的习惯（如AA‘的中点在对称轴上，AA’连线垂直于对称轴）。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：如图，在定直线\( l \)的同侧有两点A、B，在\( l \)上求作点P，使\( PA+PB \)最短。下列作法正确的是（ ）。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 这是最基础的“将军饮马”模型识别题。
- 第二步：[快速求解] 核心步骤固定：作定点关于定直线的对称点，然后连接对称点与另一个定点。直接看选项哪个符合这个步骤。
✅ 答案：（根据图形选项选择，通常为“作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P”）
模型 2：实际问题题（选择/填空）
题目：如图，荆州古城河在\( CC’ \)处直角转弯，河岸平行，两岸各有一排风景树。小明和小红分别站在河岸\( l_1 \)、\( l_2 \)上的B、A处，想测量两排树之间的距离。他们约定：先沿河岸垂直方向走到河岸拐角\( C’ \)处，再沿另一河岸垂直方向走到另一个点汇合。请设计一条路径，使两人所走的总路程最短。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] “两次对称”或“造桥选址”模型变形。目标是\( BM + MN + NA \)最小，其中\( M \)在\( l_1 \)上，\( N \)在\( l_2 \)上，且\( MN \perp l_1 \)（即垂直河岸）。
- 第二步：[快速求解] 将点B向下（垂直河岸方向）平移到\( B' \)，使\( BB' \)等于河宽（即\( C‘C \)的长）。连接\( AB’ \)交河岸\( l_2 \)于点\( N \)，过\( N \)作垂线交\( l_1 \)于\( M \)，则\( M, N \)即为所求。本质是将平移后的点与另一个点直接相连。
✅ 答案：路径为\( B \to M \to N \to A \)，其中\( M, N \)按上述方法确定。
模型 3：几何综合题（大题中的一问）
题目：在等边三角形\( \triangle ABC \)中，边长为6，点D是边\( AC \)上的一个动点。点E、F是边\( BC \)上的两个定点，且\( BE=EF=FC=2 \)。求\( \triangle DEF \)周长的最小值。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 动态点D导致\( \triangle DEF \)的顶点D变化，但E、F固定。周长\( = DE+DF+EF \)，其中\( EF=2 \)固定。即求\( DE+DF \)的最小值。这是“两定一动”型，且动点D在定直线AC上。
- 第二步：[快速求解] 经典“将军饮马”：作点F关于直线\( AC \)的对称点\( F' \)（因\( \triangle ABC \)是等边三角形，利用对称性确定\( F' \)位置）。连接\( EF' \)交\( AC \)于点\( D \)，此时的\( D \)点使\( DE+DF \)（即\( DE+DF’ \)）最短。最小值即为线段\( EF' \)的长度，利用等边三角形性质（含60°角）计算。
✅ 答案：\( \triangle DEF \)周长的最小值为\( 2\sqrt{7} + 2 \)。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 点A(1, 2)关于x轴的对称点A'的坐标是______。
- 点B(-3, 1)关于直线\( x = 2 \)的对称点B'的坐标是______。
- “将军饮马”问题利用的几何基本事实是______。
- 如图，直线\( l \)是一条河，A、B是两个村庄，现要在河边修一个水泵站P，使P到A、B两村距离之和最小。请用尺规作图在图中标出P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 在等边三角形\( \triangle ABC \)中，\( AB=4 \)，E是AC中点，AD是BC边上的高，点P是高AD上的一个动点，则\( PE+PC \)的最小值是______。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 已知菱形\( ABCD \)的边长为4，\( \angle ABC=60^\circ \)，点M、N分别是边\( CD \)、\( AD \)上的动点，则\( \triangle BMN \)周长的最小值为______。
- 如图，在矩形\( ABCD \)中，\( AB=3 \)，\( BC=4 \)，点E是BC边上的中点，点P是对角线\( BD \)上的动点，则\( PC+PE \)的最小值为______。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 在平面直角坐标系中，点A(0, 1)，点B(4, 3)，点P是x轴上的一个动点，则\( PA+PB \)的最小值是______。
- 如图，\( \angle AOB=30^\circ \)，点M、N分别在边\( OA \)、\( OB \)上，且\( OM=2 \)，\( ON=4 \)，点P、Q分别在边\( OB \)、\( OA \)上运动，则四边形\( MPQN \)周长的最小值是______。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 已知直线\( y = \frac{4}{3}x + 8 \)与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点。点D、E分别是x轴和直线AB上的动点，则当\( \triangle CDE \)周长最小时，点D的坐标为______。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- （费马点思想）在正方形\( ABCD \)内部找一点P，使得\( PA+PB+PC \)最小。这个点P是______。
- 如图，在锐角\( \triangle ABC \)中，\( AB=4\sqrt{2} \)，\( \angle BAC=45^\circ \)，\( \angle BAC \)的平分线交BC于点D。M、N分别是AD和AB上的动点，则\( BM+MN \)的最小值是______。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （综合应用）某市计划在三个新建居民小区A、B、C之间修建一个燃气供应站P，要求P到三个小区的距离之和（即\( PA+PB+PC \)）最小。请运用所学知识分析，供应站P应建在何处？请说明理由。
- 如图，在平面直角坐标系中，点A(1, 4)，B(3, -2)，点P、Q分别是x轴和y轴上的动点，求四边形\( ABQP \)周长的最小值。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （与函数结合）在平面直角坐标系中，抛物线\( y = x^2 \)上有一动点P，x轴上有一定点A(2, 0)，求\( PA + PF \)的最小值（其中F是焦点，坐标为(0, 0.25)）。此题综合了抛物线的几何定义与最短路径思想。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 对称性检查：如果你作了对称点，检查对称点与原始点的连线是否被对称轴垂直平分。2. 端点检查：将你找到的“最优点”P，分别向左右微小移动一点，计算移动后的路径和是否大于你求得的最小值（逻辑上验证）。3. 几何直观：在图上目测，最短路径往往看起来是“平滑”、“顺畅”的，不会出现奇怪的锐角转折。
Q：如果考试时想不起来公式或模型怎么办？
A：记住核心思想——“化折为直”和“两点之间线段最短”。在草稿纸上多画几个位置尝试，感受路径长度的变化趋势。对于动点问题，可以选取特殊位置（如端点、中点）计算对比，往往能猜出或逼近正确位置，辅助你逆向思考对称或平移的方法。
参考答案
第一关： 1. (1, -2) 2. (7, 1) 3. 两点之间，线段最短 4. 作图略（作A关于河岸l的对称点A‘，连接A’B交l于P） 5. \( 2\sqrt{3} \)
第二关： 1. \( 4\sqrt{3} \) 2. 5 3. \( 2\sqrt{13} \) 4. \( 2\sqrt{13} \) 5. ( \frac{12}{5}, 0 )
第三关： 1. 正方形对角线的交点（或满足与三顶点连线夹角均为120°的点，但在正方形中即中心） 2. 4 3. 供应站P应建在使得\( \angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ \)的点，如果这样的点在三角形内部；否则建在对最大角张角≥120°的顶点处。这是费马点原理。 4. \( 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} \) 5. \( \frac{9}{2} \)
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