时钟上的时针和分针，就像两个跑步速度不同的人在圆形跑道上比赛。分针跑得快，时针跑得慢。所谓“重合”，就是跑得快的分针追上了跑得慢的时针。所以，时钟重合问题本质上是一个“追及问题”。
参考答案与解析
【练习题答案】
4点 \( 21\frac{9}{11} \) 分。解析：初始差 \( 4 \times 30 = 120 \) 度，时间= \( \frac{120}{5.5} = \frac{240}{11} = 21\frac{9}{11} \) 分。
\( 38\frac{2}{11} \) 分钟。解析：初始差 \( 7 \times 30 = 210 \) 度，时间= \( \frac{210}{5.5} = \frac{420}{11} = 38\frac{2}{11} \) 分。
2点 \( 10\frac{10}{11} \) 分。解析：初始差 \( 60 \) 度，时间= \( \frac{60}{5.5} = \frac{120}{11} = 10\frac{10}{11} \) 分。
\( 5\frac{5}{11} \) 分钟？不对！解析：初始差 \( 1 \times 30 = 30 \) 度，时间= \( \frac{30}{5.5} = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11} \) 分。注意，这个结果小于1大格（5分钟），显然不对。因为1点整时，分针在12，时针在1，分针要追30度，但追的过程中时针也在走，所以需要的时间比 \( \frac{30}{6} = 5 \) 分钟长。检查计算无误，说明1点后第一次重合就是 \( 5\frac{5}{11} \) 分后，这是对的，直觉上觉得快是因为忽略了时针的移动。
\( 54\frac{6}{11} \) 分钟。解析：初始差 \( 10 \times 30 = 300 \) 度，或 \( 360-300=60 \) 度（取较小者，因为分针可以先追落后的60度）。时间= \( \frac{60}{5.5} = \frac{120}{11} = 10\frac{10}{11} \) 分。等等，这得到的是10点10分54秒左右，但此时分针在50多分的位置，时针在10过去一点，确实快重合了。但若从超过10点多的位置算，分针在时针后面，需要追的角度是 \( 300 \) 度吗？让我们仔细想：10点整，时针在300度，分针在0度。分针在0度（12处），要追上在300度（10处）的时针，需要顺时针转动。分针从0度走到300度需要50分钟，但时针也会从300度往前走。所以分针需要走的角度超过300度，即需要追及的角度是 \( 360 - (300 - 0) = 60 \) 度？不对。追及角度应该是“分针落后时针的角度”。在10点整，分针在0度，时针在300度。如果分针顺时针去追时针，它需要从0度走到300度才能并排，但走到300度时，时针又前进了。所以，初始落后角度是 \( 300 - 0 = 300 \) 度吗？从圆周追及角度看，分针顺时针追时针，最短的追及距离是 \( 300 \) 度，而不是 \( 60 \) 度。因为如果追60度，分针走到60度（2分钟处），时针在300+1=301度处，并没有追上。所以正确初始差是 \( 300 \) 度。时间 = \( \frac{300}{5.5} = \frac{600}{11} = 54\frac{6}{11} \) 分。所以10点 \( 54\frac{6}{11} \) 分重合。
\( 10\frac{10}{11} \) 分钟。解析：8点15分，时针在 \( 8 \times 30 + 15 \times 0.5 = 240 + 7.5 = 247.5 \) 度，分针在 \( 15 \times 6 = 90 \) 度。角度差 = \( 247.5 - 90 = 157.5 \) 度。时间 = \( \frac{157.5}{5.5} = \frac{157.5}{\frac{11}{2}} = 157.5 \times \frac{2}{11} = \frac{315}{11} = 28\frac{7}{11} \) 分？等等，计算有误：\( 157.5 \times 2 = 315 \)，正确。但这是从8点15分开始需要的时间。若问从8点整开始呢？题目是“从8点15分开始”。所以答案是 \( 28\frac{7}{11} \) 分钟。但检查：8点15分，分针在3，时针在8过一点，分针在时针前面？实际上，8点整时针在240度，分针在0度。到8点15分，分针走到90度，时针走到247.5度。此时，分针（90度）在时针（247.5度）的后面，落后 \( 247.5-90=157.5 \) 度。所以需要追及。
6点 \( 32\frac{8}{11} \) 分。解析：初始差 \( 6 \times 30 = 180 \) 度，时间= \( \frac{180}{5.5} = \frac{360}{11} = 32\frac{8}{11} \) 分。
\( 180 \) 度。解析：从重合到重合，分针比时针多走360度。但从9点整（差270度）到第一次重合，追及角度正好是初始角度差270度吗？不，分针比时针多走的角度就是初始落后的角度，即 \( 9 \times 30 = 270 \) 度。
大约下午4点21分49秒。解析：第n次重合，时间大约是n点 \( \frac{60n}{11} \) 分。第三次重合，n=3，时间是3点 \( \frac{180}{11} = 16\frac{4}{11} \) 分？不对。第一次是1点多，第二次是2点多，第三次是3点多。所以是大约3点16分22秒。注意：第0次是12点整。
对。因为分针速度是时针的12倍（\( 6 \div 0.5 = 12 \)）。在相同时间内，分针转动的角度始终是时针的12倍。从3点整到重合，所用时间相同，所以角度也是12倍关系。
【奥数挑战答案】
22次。 解析：每 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟重合一次。24小时有 \( 24 \times 60 = 1440 \) 分钟。\( 1440 \div \frac{720}{11} = 1440 \times \frac{11}{720} = 22 \) 次。或者这样想：从0点开始，第1次重合在1点多，第11次在11点多，第12次在12点整（这算作上午的结束也是下午的开始），第13次在1点多...直到第23次在11点多，第24次又回到0点整。但0点与12点是同一次重合，所以24小时内只有22次不同的重合（除去0点和12点这两个端点重合算一次）。
\( 16\frac{4}{11} \) 小时。 解析：第15次重合发生在 \( (15-1) \) 点 \( \frac{60 \times (15-1)}{11} \) 分？实际上，第n次重合（n>0）发生在 \( (n \mod 12) \) 点 \( \frac{60n}{11} \) 分。但更简单的方法是：每次重合间隔 \( \frac{720}{11} \) 分钟。第15次重合发生在起点后的 \( 15 \times \frac{720}{11} = \frac{10800}{11} \) 分钟 = \( \frac{10800}{11} \div 60 = \frac{180}{11} = 16\frac{4}{11} \) 小时。
\( 16\frac{4}{11} \) 度。 解析：重合时刻是4点 \( 21\frac{9}{11} \) 分。此时时针从4点整前进了 \( 21\frac{9}{11} \times 0.5 = \frac{240}{11} \times 0.5 = \frac{120}{11} \approx 10.9 \) 度。所以时针与“4”（120度）的夹角是 \( \frac{120}{11} \) 度。因为分针与时针重合，所以分针与“4”的夹角也是这个度数。
标准时间约1点5分27秒。 解析：快钟每小时快3分，即标准时间60分钟，快钟走63分钟。快钟上分针与时针的速度关系不变（因为机械结构一样）。先求快钟上第一次重合的时刻：是1点 \( \frac{60}{11} \) 分，即快钟走了 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟。这 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟是快钟的时间。设标准时间为t分钟，则有比例：\( \frac{60}{63} = \frac{t}{65\frac{5}{11}} \)。计算 \( t = \frac{60}{63} \times \frac{720}{11} = \frac{60 \times 720}{63 \times 11} = \frac{43200}{693} = \frac{4800}{77} \approx 62.34 \) 分钟。即标准时间约62.34分钟，所以是大约1点2分20秒？计算复核：\( \frac{4800}{77} \approx 62.33766 \) 分钟，即1小时2分20.3秒。所以标准时间是下午1点2分20秒左右。但12点开始，标准时间62.34分钟后，确实是约1点2分20秒。
3点 \( 13\frac{11}{13} \) 分。 解析：设经过x分钟。此时时针到“3”的角度为 \( |90 - (90 + 0.5x)| = 0.5x \)（因为时针从90度出发，远离“3”）。分针到“3”的角度为 \( |90 - 6x| \)。两针在“3”两旁，说明时针在“3”的一侧，分针在另一侧，所以它们到“3”的角度和等于90度。即 \( 0.5x + |90 - 6x| = 90 \)。由于分针速度很快，在3点 \( 13\frac{11}{13} \) 分（约13.85分）时，分针在 \( 6 \times 13.85 \approx 83.1 \) 度，在“3”（90度）之前，所以 \( 90 - 6x > 0 \)。方程简化为 \( 0.5x + 90 - 6x = 90 \)，解得 \( -5.5x = 0 \)，x=0。这显然是3点整的情况，但此时两针都在“3”的同侧（右侧）。我们需要的是两旁的解，这意味着当x>15时，分针会超过“3”（90度），此时 \( |90-6x| = 6x-90 \)。方程变为 \( 0.5x + 6x - 90 = 90 \)，解得 \( 6.5x = 180 \)，\( x = \frac{180}{6.5} = \frac{180}{\frac{13}{2}} = \frac{360}{13} = 27\frac{9}{13} \) 分。此时时针在 \( 90 + 13.846 = 103.846 \) 度（过“3”），分针在 \( 6 \times 27.692 = 166.152 \) 度（远过“3”），两者到“3”（90度）的距离分别是 \( 13.846 \) 度和 \( 76.152 \) 度，和是90度，且在两旁。所以答案是3点 \( 27\frac{9}{13} \) 分。题目问的是“离‘3’的距离相等”，但原描述是“距离相等并且在两旁”？原题是“距离相等”还是“和固定”？原题是“离‘3’的距离相等，并且在‘3’的两旁”，即 \( 0.5x = 90 - 6x \)（当分针未到3时）或 \( 0.5x = 6x - 90 \)（当分针过3时）。解第一个方程：\( 6.5x = 90, x= \frac{90}{6.5} = \frac{180}{13} = 13\frac{11}{13} \) 分。此时时针离3：\( 0.5 \times \frac{180}{13} = \frac{90}{13} \approx 6.92 \) 度；分针在 \( 6 \times \frac{180}{13} = \frac{1080}{13} \approx 83.08 \) 度，离3也是 \( 90 - 83.08 = 6.92 \) 度，且在两旁。所以正确答案是 \( 13\frac{11}{13} \) 分。
约 \( 16\frac{4}{11} \) 分钟。 解析：镜子里的4点整，实际时间是8点整（左右对称）。从8点整到重合需要 \( \frac{240}{5.5} = \frac{480}{11} = 43\frac{7}{11} \) 分钟？等等，8点整，时针在240度，分针在0度，追及角度差240度？但更短的追及路径是分针顺时针追时针，需要追240度吗？从圆周看，分针在0，时针在240，分针顺时针追，需要走240度才能到时针的位置，但那时时针又前移了。所以追及差是240度。时间 = \( \frac{240}{5.5} = \frac{480}{11} = 43\frac{7}{11} \) 分。但题目问“实际时间中...再过多少分钟会重合”。实际时间是8点整，所以答案是 \( 43\frac{7}{11} \) 分钟。但常见错误是认为镜子里的4点实际是4点，然后计算 \( 21\frac{9}{11} \) 分钟。要注意镜像规律：时针分针位置对称，整体时间也对称。
开始的时刻是10点 \( 54\frac{6}{11} \) 分。 解析：已知经过 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟后重合，这正好是一圈重合的周期。说明开始时刻两针也处于重合状态。所以开始的时刻就是当前重合时刻往前推 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟。设当前重合时刻为T，则T - \( 65\frac{5}{11} \) = 上一次重合时刻。所以，如果知道当前是重合时刻，那么上一次重合就是 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟前。由于题目说“从某一时刻开始，经过...后第一次重合”，说明开始时两针不重合。所以，开始时刻到第一次重合的时间就是追及时间，这个追及时间等于标准重合周期 \( 65\frac{5}{11} \) 分，这意味着开始时的角度差是360度？不可能，因为360度就是重合。所以可能开始时两针处于“成一直线”（180度）或“某种特殊位置”，使得追及时间等于一圈的时间。设初始角度差为 \(\theta\)，则 \(\theta / 5.5 = 65\frac{5}{11} = 720/11\)，解得 \(\theta = 5.5 \times 720/11 = (11/2) \times (720/11) = 360\) 度。这意味着初始时两针重合！但“第一次重合”说明开始时并非重合。矛盾？所以“经过 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟后第一次重合”意味着初始角度差必须是360度（即重合），但这样开始时就是重合，不算“第一次”。因此，这种情况不存在，除非“第一次”是指这个周期内的第一次。所以题目可能有误，或者需要理解成：从某个非重合状态出发，经过一个完整的重合周期后，到达下一个重合状态，这是可能的。例如，从12点整（重合）开始，经过 \( 65\frac{5}{11} \) 分，到达1点 \( 5\frac{5}{11} \) 分（重合）。所以，开始时刻可以是任意一个重合时刻。但题目说“第一次重合”，如果开始时不重合，那么追及时间必然小于 \( 65\frac{5}{11} \) 分。所以，合理的解释是：开始时刻就是前一次的重合时刻。因此，答案不唯一，可以是任何一次重合的时刻。但通常这种题是逆推：设开始时刻为H点M分，此时角度差为 \(\theta\)，则 \( \frac{\theta}{5.5} + M = 65\frac{5}{11} \)？这比较复杂。一个经典结论是：如果追及时间等于一圈时间，则初始状态必然是重合。所以开始时刻只能是某个整点（12点、1点 \( 5\frac{5}{11} \) 分、2点 \( 10\frac{10}{11} \) 分...等等）。由于是“第一次重合”，所以开始时刻不能是12点整（因为那是第0次），所以可以是1:05:27, 2:10:55, 3:16:22, ... 直到10:54:33等等。没有唯一答案，但可以求出开始的时针位置。简化：设开始时刻时针与12点方向夹角为 \(\alpha\)，则分针在 \( 12\alpha \)（因为分针角速度是时针的12倍，但注意位置关系不一定是12倍）。更系统的方法：设开始时间为t分钟（从0点起），则时针角度= \( 0.5t \)，分针角度= \( 6t \mod 360 \)。经过 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟后，时间变为 \( t + 65\frac{5}{11} \)，此时时针角度= \( 0.5(t + 65\frac{5}{11}) \)，分针角度= \( 6(t + 65\frac{5}{11}) \mod 360 \)。两者相等（重合）：\( 0.5(t + 65\frac{5}{11}) = 6(t + 65\frac{5}{11}) \mod 360 \)。由于等式右边模360，左边也应模360，但左边小于360。设 \( 6(t + 65\frac{5}{11}) = 0.5(t + 65\frac{5}{11}) + 360k \)（k为整数）。化简得 \( 5.5(t + 65\frac{5}{11}) = 360k \)，\( t + 65\frac{5}{11} = \frac{360k}{5.5} = \frac{720k}{11} \)。所以 \( t = \frac{720k}{11} - \frac{720}{11} = \frac{720(k-1)}{11} \)。当k=1时，t=0（0点整）；k=2时，\( t = \frac{720}{11} = 65\frac{5}{11} \) 分（即1点 \( 5\frac{5}{11} \) 分）；k=3时，\( t = \frac{1440}{11} = 130\frac{10}{11} \) 分（即2点 \( 10\frac{10}{11} \) 分）；...。所以开始时刻就是第(k-1)次重合的时刻。因此，开始的时刻可以是任何一次重合的时刻（除了题目中说的那次重合本身）。答案表述为：开始的时刻是n点 \( \frac{60n}{11} \) 分（n=0,1,2,...,10）。
成一直线：7点 \( 5\frac{5}{11} \) 分；垂直：两次，约7点21分49秒和7点54分33秒。 解析：成一直线意味着两针夹角180度，即分针比时针多走 \( 180 + \text{初始差} \) 或 \( \text{初始差} - 180 \)？从7点整开始，时针在210度，分针在0度，初始差210度。要成一直线，两针差180度，所以分针需要比时针多走 \( 210 - 180 = 30 \) 度（追及后超过时针30度），或者多走 \( 210 + 180 = 390 \) 度（相当于超过一圈后再成直线）。第一次：时间 = \( \frac{30}{5.5} = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11} \) 分。第二次：时间 = \( \frac{390}{5.5} = \frac{780}{11} = 70\frac{10}{11} \) 分，但70分钟是1小时10分，从7点过1小时10分是8点10分，不在7点到8点之间。所以7点到8点之间只有一次成直线，在7点 \( 5\frac{5}{11} \) 分。垂直（90度）：同理，分针比时针多走 \( 210 - 90 = 120 \) 度，或 \( 210 + 90 = 300 \) 度。第一次：时间 = \( \frac{120}{5.5} = \frac{240}{11} = 21\frac{9}{11} \) 分。第二次：时间 = \( \frac{300}{5.5} = \frac{600}{11} = 54\frac{6}{11} \) 分。都在7点到8点之间。
2次（仅在0点/12点整时）。 解析：时针、分针、秒针速度都不同。时针与分针每 \( 65\frac{5}{11} \) 分重合一次，此时秒针不一定在重合位置。要让三针重合，必须满足时针与分针重合，且此时秒针也正好在相同位置。考虑12小时内，时针与分针重合11次（从0点开始，第12次回到12点）。在这些时刻，秒针的位置是固定的（因为从0点开始，每次重合经历的时间是 \( \frac{12}{11} \) 小时，即 \( \frac{12}{11} \times 3600 \) 秒，这个数除以60秒看秒针位置）。计算：\( \frac{12}{11} \times 3600 = \frac{43200}{11} \approx 3927.27 \) 秒。每次重合间隔的秒数不是整数，所以秒针不会每次都指在12。只有0点（12点）时，三针完全重合。所以12小时内只有2次（0点和12点），但通常说一天内只有两次（午夜和中午）。
旧钟每天快12分钟。 解析：标准钟每 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟重合一次，旧钟每66分钟重合一次。旧钟的“66分钟”是它自己显示的时间。在旧钟显示的66分钟内，标准钟过去了多少时间？设旧钟速度是标准钟的k倍。在旧钟上，时针分针的相对速度关系不变（因为结构一样），所以重合周期与钟的走时快慢成正比。标准周期 \( T_s = 65\frac{5}{11} = \frac{720}{11} \) 分。旧钟周期 \( T_o = 66 \) 分。因为 \( T_o > T_s \)，说明旧钟走慢了（因为它的分钟要走更久才能追上时针）。设旧钟走时速度为 \( v_o \)，标准为 \( v_s \)，有 \( \frac{T_o}{T_s} = \frac{v_s}{v_o} \)（因为周期与速度成反比）。所以 \( \frac{v_s}{v_o} = \frac{66}{720/11} = 66 \times \frac{11}{720} = \frac{726}{720} = \frac{121}{120} \)。即标准钟速度是旧钟的 \( \frac{121}{120} \) 倍，也就是说旧钟比标准钟慢。当旧钟显示24小时（1440分钟）时，标准钟实际过去了 \( 1440 \times \frac{121}{120} = 1452 \) 分钟。所以旧钟比标准钟慢了 \( 1452 - 1440 = 12 \) 分钟。或者说，标准时间过去24小时，旧钟只走了 \( 1440 \times \frac{120}{121} \approx 1428.1 \) 分钟，慢了约11.9分钟。因此，旧钟每天慢约12分钟。
【生活应用答案】
大约下午1点5分27秒。解析：同例题1，12点后第一次重合在 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟后。
大约 \( 49\frac{1}{11} \) 分钟后。解析：上午9点整到重合，需要追及的角度差为270度（取较短路径？9点整，时针在270度，分针在0度，分针顺时针追时针需追270度）。时间 = \( \frac{270}{5.5} = \frac{540}{11} = 49\frac{1}{11} \) 分钟。但注意，从圆周追及看，分针也可以逆时针追？但时钟是单向运动，只能顺时针。所以是 \( 49\frac{1}{11} \) 分钟。
活动进行了 \( 65\frac{5}{11} \) 分钟。解析：从3点整到时针分针再次重合，正好是一个重合周期。
5点 \( 17\frac{3}{11} \) 分。解析：6点整后重合时刻是6点 \( 32\frac{8}{11} \) 分。提前10分钟，即6点 \( 22\frac{8}{11} \) 分开始检查。
大约晚上8点43分38秒。解析：8点整，时针在240度，分针在0度。追及角度差240度。时间 = \( \frac{240}{5.5} = \frac{480}{11} = 43\frac{7}{11} \) 分钟。\( \frac{7}{11} \times 60 \approx 38.2 \) 秒。