因式分解法十字相乘法解一元二次方程重难点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：因式分解法 原理

• 核心概念：嘿，同学！解方程就像走迷宫，而因式分解法就是你发现的“秘密捷径”！我是阿星，我来打个比方：一个复杂的方程，比如 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，像一座挡路的大山。硬算（比如用公式法）就像绕远路。十字相乘法就是你的“开山工具”，帮你把大山拆成两块小石头：\( (x+2)(x+3) = 0 \)。这时，神奇的规则来了：若 \( A \times B = 0 \)，则 \( A=0 \) 或 \( B=0 \)。 于是，难题瞬间变成两个送分题：\( x+2=0 \) 或 \( x+3=0 \)。看，大方程被我们机智地拆成了两个小方程，这条“捷径”是不是又快又准？
• 计算秘籍：
  1. 移项归零：确保方程一边为 \( 0 \)，例如 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。
  2. 因式分解：使用提公因式、平方差、完全平方或十字相乘等方法，将左边化为几个整式的乘积，如 \( (mx+n)(px+q)=0 \)。
  3. 化整为零：令每个因式等于 \( 0 \)，得到小方程：\( mx+n=0 \) 或 \( px+q=0 \)。
  4. 各个击破：分别解出每个小方程，得到原方程的解：\( x = -\frac{n}{m} \) 或 \( x = -\frac{q}{p} \)。
• 阿星口诀：方程一边先归零，因式分解左边行。乘积为零分开算，答案成对要写清。

📐 图形解析

我们可以用矩形面积模型来可视化二次三项式的因式分解。例如，表达式 \( x^2 + 5x + 6 \) 可以看作一个整体矩形的面积，它由几部分拼成。

面积公式：\( S = 长 \times 宽 = (x+2)(x+3) \)

这个矩形被分成四块，总面积是 \( x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6 \)。因式分解 \( (x+2)(x+3) \) 就是找到了这个矩形的长和宽。当这个面积为 \( 0 \) 时，意味着矩形消失，那么其长或宽必有一个为 \( 0 \)，即 \( x+2=0 \) 或 \( x+3=0 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：在方程 \( x(x+1)=2 \) 时，直接令 \( x=2 \) 或 \( x+1=2 \)。
  ✅ 正解：“乘积为零”是拆分的前提！必须先将方程化为标准形式：\( x(x+1) - 2 = 0 \)，即 \( x^2 + x - 2 = 0 \)，分解为 \( (x+2)(x-1)=0 \)，再解得 \( x = -2 \) 或 \( x = 1 \)。
• ❌ 错误2：分解出 \( (x-2)^2 = 0 \) 后，只写一个解 \( x=2 \)。
  ✅ 正解：根据 \( A \times B = 0 \) 的原则，\( (x-2)^2 = (x-2)(x-2) = 0 \)，意味着两个相同的因式 \( x-2 \) 都为零。虽然解相同，但体现了“重根”的概念，应表述为“方程有两个相等的实数根：\( x_1 = x_2 = 2 \)”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程：\( (x-1)(x+4)=0 \)
2. 解方程：\( x^2 - 9 = 0 \)
3. 解方程：\( 2x^2 + 8x = 0 \)
4. 解方程：\( x^2 + 6x + 8 = 0 \)
5. 解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
6. 解方程：\( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \)
7. 解方程：\( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \) （注意重根）
8. 解方程：\( x(x-3) = 5x \) （提示：先移项）
9. 一个数的平方比这个数的 \( 2 \) 倍大 \( 3 \)，求这个数。（设数为 \( x \)）
10. 用因式分解法解方程：\( 6x^2 + x - 1 = 0 \)

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）解方程：\( (2x+1)^2 = 3(2x+1) \)
2. （中考真题改编）解方程：\( (x-2)^2 - 2(x-2) - 3 = 0 \) （提示：把 \( x-2 \) 看成一个整体）
3. 解方程：\( x^3 - 4x = 0 \) （提示：先提公因式，再继续分解）
4. 若 \( m \) 是方程 \( x^2 - 2024x + 1 = 0 \) 的一个根，求 \( m^2 - 2024m + 1 \) 的值。
5. 已知三角形两边长分别为 \( 3 \) 和 \( 6 \)，第三边的长是方程 \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) 的根，求这个三角形的周长。
6. 解关于 \( x \) 的方程：\( x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0 \)
7. 解方程：\( (x^2 + x)^2 - 5(x^2 + x) + 6 = 0 \)
8. 一个直角三角形的两条直角边相差 \( 1 \) cm，斜边长 \( 5 \) cm。求两条直角边的长。（列方程求解）
9. 已知 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( 2x^2 - 4x - 3 = 0 \) 的两根，不解方程，求 \( x_1^2 + x_2^2 \) 的值。（提示：利用 \( (x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \) ）
10. 证明：对于任意实数 \( p, q \)，方程 \( x^2 + px + q = 0 \) 与 \( x^2 + qx + p = 0 \) 至少有一个公共根。

第三关：生活应用（5道）

1. （花园设计）李叔叔想用篱笆围一个面积为 \( 60 \) 平方米的矩形小花园。花园的一面靠墙，另外三面用篱笆。已知靠墙的那一边比相邻的另一边长 \( 2 \) 米。求需要多长的篱笆？
2. （抛物线轨迹）在投篮模拟中，篮球的运动轨迹可近似为抛物线 \( h = -t^2 + 4t \) （\( h \) 为高度米，\( t \) 为时间秒）。问篮球从出手到落地需要多少秒？（提示：落地时 \( h=0 \)）
3. （经济利润）某商品进价 \( 40 \) 元，售价为 \( x \) 元时，每天可卖出 \( (100-x) \) 件。若商场希望每天获得 \( 600 \) 元利润，售价应定为多少？列方程并求解。
4. （图形拼接）将一块正方形木板，截去一个宽为 \( 2 \) dm 的长条，剩下的面积是 \( 15 \) dm²。求原正方形木板的边长。
5. （物理运动）物体从静止开始以加速度 \( a \) 做匀加速直线运动，经过时间 \( t \) 后通过位移 \( s \)，满足 \( s = \frac{1}{2}at^2 \)。若某物体加速度为 \( 4 \text{m/s}^2 \)，通过 \( 18 \) 米位移，求所用时间 \( t \)。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x=1 \) 或 \( x=-4 \)
2. \( (x-3)(x+3)=0 \)，\( x=3 \) 或 \( x=-3 \)
3. \( 2x(x+4)=0 \)，\( x=0 \) 或 \( x=-4 \)
4. \( (x+2)(x+4)=0 \)，\( x=-2 \) 或 \( x=-4 \)
5. \( (x-2)(x-3)=0 \)，\( x=2 \) 或 \( x=3 \)
6. \( (3x-1)(x-3)=0 \)，\( x=\frac{1}{3} \) 或 \( x=3 \)
7. \( (2x-3)^2=0 \)，\( x_1=x_2=\frac{3}{2} \)
8. 移项：\( x(x-3) - 5x = 0 \) → \( x(x-3-5)=0 \) → \( x(x-8)=0 \)，\( x=0 \) 或 \( x=8 \)
9. 列方程：\( x^2 = 2x + 3 \) → \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) → \( (x-3)(x+1)=0 \)，\( x=3 \) 或 \( x=-1 \)
10. \( (2x+1)(3x-1)=0 \)，\( x=-\frac{1}{2} \) 或 \( x=\frac{1}{3} \)

第二关：中考挑战

1. 移项：\( (2x+1)^2 - 3(2x+1) = 0 \) → \( (2x+1)[(2x+1)-3] = 0 \) → \( (2x+1)(2x-2)=0 \)，\( x=-\frac{1}{2} \) 或 \( x=1 \)
2. 令 \( y = x-2 \)，方程化为 \( y^2 - 2y - 3 = 0 \) → \( (y-3)(y+1)=0 \) → \( y=3 \) 或 \( y=-1 \) → \( x-2=3 \) 或 \( x-2=-1 \) → \( x=5 \) 或 \( x=1 \)
3. \( x(x^2-4)=0 \) → \( x(x-2)(x+2)=0 \)，\( x=0 \) 或 \( x=2 \) 或 \( x=-2 \)
4. 因为 \( m \) 是方程的根，所以代入成立，故 \( m^2 - 2024m + 1 = 0 \)。（整体思想）
5. 解 \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) 得 \( (x-2)(x-4)=0 \)，\( x=2 \) 或 \( x=4 \)。根据三角形三边关系（两边之和大于第三边），\( 3, 6, 2 \) 不能组成三角形（\( 3+2<6 \)）。\( 3, 6, 4 \) 可以，周长为 \( 3+6+4=13 \)。
6. \( [x - (a+1)](x - a) = 0 \) （十字相乘），\( x = a+1 \) 或 \( x = a \)
7. 令 \( y = x^2 + x \)，方程化为 \( y^2 - 5y + 6 = 0 \) → \( (y-2)(y-3)=0 \)。
   情况1：\( x^2 + x = 2 \) → \( x^2 + x - 2 = 0 \) → \( (x+2)(x-1)=0 \)，\( x=-2 \) 或 \( x=1 \)。
   情况2：\( x^2 + x = 3 \) → \( x^2 + x - 3 = 0 \)，用公式法解得 \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \)。
   ∴ 原方程共4个解。
8. 设较短直角边为 \( x \) cm，则另一条为 \( (x+1) \) cm。由勾股定理：\( x^2 + (x+1)^2 = 5^2 \)。化简：\( 2x^2 + 2x + 1 = 25 \) → \( 2x^2 + 2x - 24 = 0 \) → 两边除以2：\( x^2 + x - 12 = 0 \) → \( (x+4)(x-3)=0 \)，\( x=3 \) (舍负)。∴ 两直角边为 \( 3 \) cm 和 \( 4 \) cm。
9. 由韦达定理：\( x_1+x_2 = 2 \)，\( x_1x_2 = -\frac{3}{2} \)。
   \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2^2 - 2 \times (-\frac{3}{2}) = 4 + 3 = 7 \)。
10. 设公共根为 \( m \)，则 \( m^2 + pm + q = 0 \) 且 \( m^2 + qm + p = 0 \)。两式相减得：\( (p-q)m + (q-p) = 0 \) → \( (p-q)(m-1) = 0 \)。∴ 要么 \( p=q \)，此时两方程相同，显然有公共根；要么 \( m=1 \)，即公共根为 \( 1 \)。证毕。

第三关：生活应用

1. 解析：设宽为 \( x \) 米，则长为 \( (x+2) \) 米。面积 \( x(x+2)=60 \)。化为 \( x^2+2x-60=0 \)。因式分解 \( (x-8)(x+10)=0 \) (因为 \( 8 \times (-10) = -80 \)，\( 8+(-10)=-2 \)，需调整符号为 \( (x-8)(x+10) \)，验证：\( -8+10=2 \)，符合)。解得 \( x=8 \) (舍负)。篱笆长 = \( x + (x+2) + x = 3x+2 = 26 \) 米。
   答案： \( 26 \) 米。
2. 解析：令 \( h=0 \)，即 \( -t^2 + 4t = 0 \)。提公因式：\( -t(t-4)=0 \)。解得 \( t=0 \) (出手时刻) 或 \( t=4 \)。∴ 从出手到落地需 \( 4 \) 秒。
   答案： \( 4 \) 秒。
3. 解析：单件利润为 \( (x-40) \) 元，销量为 \( (100-x) \) 件。总利润方程：\( (x-40)(100-x) = 600 \)。展开：\( -x^2 + 140x - 4000 = 600 \) → 移项：\( -x^2 + 140x - 4600 = 0 \) → 两边乘以 \( -1 \)：\( x^2 - 140x + 4600 = 0 \)。此方程判别式 \( \Delta = 19600 - 18400 = 1200 \)，不是完全平方数，难以直接十字相乘。改用公式法解得 \( x = 70 \pm 10\sqrt{3} \)。（本题意在列方程，因式分解非万能，合理即可）
   答案：售价定为 \( (70 + 10\sqrt{3}) \) 元或 \( (70 - 10\sqrt{3}) \) 元。
4. 解析：设原边长为 \( x \) dm。截去后，剩下部分可看作一个长方形，长为 \( x \) dm，宽为 \( (x-2) \) dm。面积 \( x(x-2) = 15 \)。化为 \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)。分解：\( (x-5)(x+3)=0 \)。解得 \( x=5 \) (舍负)。
   
   答案： \( 5 \) dm。
5. 解析：代入公式：\( 18 = \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 \) → \( 18 = 2t^2 \) → \( t^2 = 9 \)。此方程可看作 \( t^2 - 9 = 0 \)，因式分解为 \( (t-3)(t+3)=0 \)。时间 \( t > 0 \)，∴ \( t = 3 \) 秒。
   答案： \( 3 \) 秒。