扇形统计图
知识要点
💡 核心概念：扇形统计图是用一个圆来表示总量（整体“1”），用圆里各个扇形的大小来表示各部分量占总量的百分之几。它能清楚地表示出各部分与整体之间的关系。
📝 计算法则：绘制扇形统计图的关键是计算每个扇形对应的圆心角度数。
- 计算各部分占总量的百分比：
\( \text{部分所占百分比} = \frac{\text{部分的数量}}{\text{总数量}} \times 100\% \)
- 计算各部分对应的扇形圆心角度数：
\( \text{圆心角度数} = \text{部分所占百分比} \times 360^{\circ} \)
或直接计算：\( \text{圆心角度数} = \frac{\text{部分的数量}}{\text{总数量}} \times 360^{\circ} \)
- 根据计算出的圆心角，用量角器在圆中画出各个扇形。
- 在每个扇形上标出所表示的项目名称及所占百分比。
🎯 记忆口诀：
总数是圆一百整，部分占比算百分比。
乘以三点六得角度，画出扇形标数据。
🔗 知识关联：
1. 分数与百分数：扇形的大小由百分比决定，这依赖于分数和百分数的计算。
2. 比例：扇形统计图本质上是表示部分与整体、部分与部分之间的比例关系。
3. 圆的认识：需要知道一个圆的圆心角是 \( 360^{\circ} \)。
易错点警示
❌ 错误1：直接用部分数量乘以360度来计算圆心角。
✅ 正解：必须先算出部分占总数的百分比或分数，再用这个百分比或分数去乘 \( 360^{\circ} \)。即 \( \text{圆心角} = \frac{\text{部分}}{\text{整体}} \times 360^{\circ} \)。
❌ 错误2：计算圆心角时，将百分比的小数点位置弄错。例如，将 \( 25\% \) 当作 \( 0.25 \) 计算，\( 0.25 \times 360 = 90 \) 是对的；但若算成 \( 25 \times 3.6 = 90 \) 时，忘记 \( 25\% \) 的 \( 25 \) 已经扩大了100倍。
✅ 正解：牢记换算关系：\( 1\% \rightarrow 3.6^{\circ} \)。用“百分比数字”直接乘以 \( 3.6 \) 时，这个“百分比数字”就是去掉百分号后的数（如 \( 25\% \) 就用 \( 25 \) 去乘）。
❌ 错误3：比较多个扇形统计图时，忽略“总量”可能不同。看到A图中“乒乓球”扇形比B图中大，就认为A校喜欢乒乓球的人数一定比B校多。
✅ 正解：扇形统计图只表示部分与整体的关系（百分比），不表示具体的数量大小。比较具体数量时，必须知道各自的总量。
三例题精讲
🔥 例题1：六（1）班有40名学生，参加课后兴趣小组的情况如下：数学思维组10人，文学社8人，篮球队12人，合唱队6人，其他4人。请计算各小组人数占总人数的百分比及对应扇形圆心角的度数。
📌 第一步：计算总人数：\( 10 + 8 + 12 + 6 + 4 = 40 \)（人）。
📌 第二步：计算各小组百分比。
数学思维组：\( \frac{10}{40} \times 100\% = 25\% \)
文学社：\( \frac{8}{40} \times 100\% = 20\% \)
篮球队：\( \frac{12}{40} \times 100\% = 30\% \)
合唱队：\( \frac{6}{40} \times 100\% = 15\% \)
其他：\( \frac{4}{40} \times 100\% = 10\% \)
检查：\( 25\% + 20\% + 30\% + 15\% + 10\% = 100\% \)。
📌 第三步：计算各小组对应圆心角。
数学思维组：\( 25\% \times 360^{\circ} = 90^{\circ} \) 或 \( 25 \times 3.6^{\circ} = 90^{\circ} \)
文学社：\( 20\% \times 360^{\circ} = 72^{\circ} \)
篮球队：\( 30\% \times 360^{\circ} = 108^{\circ} \)
合唱队：\( 15\% \times 360^{\circ} = 54^{\circ} \)
其他：\( 10\% \times 360^{\circ} = 36^{\circ} \)
检查：\( 90^{\circ} + 72^{\circ} + 108^{\circ} + 54^{\circ} + 36^{\circ} = 360^{\circ} \)。
✅ 答案：百分比见第二步，圆心角度数见第三步。
💬 总结：先求和，再算百分比，最后乘360得角度。计算后务必做“百分比和是否为100%”、“角度和是否为360°”的双重检验。
🔥 例题2：右图是李叔叔家上月生活开支的扇形统计图。已知食品支出的圆心角是 \( 126^{\circ} \)，教育支出的圆心角是 \( 72^{\circ} \)，且教育支出比水电支出多花了600元。请问李叔叔家上月总开支是多少元？
[此处插入SVG：一个圆形，被分成若干扇形，分别标有食品、服装、教育、水电、其他等标签，其中食品对应的扇形标有126°，教育对应的标有72°]
📌 第一步：通过圆心角求各项支出的百分比。
食品支出占比：\( \frac{126}{360} = 35\% \)
教育支出占比：\( \frac{72}{360} = 20\% \)
📌 第二步：分析数量关系。教育支出比水电支出多600元，这600元对应的是两者占总支出百分比之差所代表的钱数。需要先求出水电支出的百分比。观察图形，水电支出的圆心角未知，但总和为360°，可以先求服装、其他的占比吗？题目未给。换个思路：教育支出已知占20%，如果能找到水电支出的占比，就能解决问题。
📌 第三步：（关键）利用扇形统计图的特性。从图上可知，除了食品 \( (126^{\circ}) \) 和教育 \( (72^{\circ}) \)，剩下的角度属于服装、水电和其他。但我们不知道具体分配。条件“教育支出比水电支出多600元”无法直接使用。这提示我们，必须知道水电支出的圆心角或占比。原题图应隐含一个条件：例如“水电支出与服装支出的圆心角相同”或“其他支出的圆心角是 \( 36^{\circ} \)”。假设从完整题目中得到信息：“其他支出”的圆心角为 \( 36^{\circ} \)，服装和水电支出的圆心角相等。
那么，服装和水电支出的圆心角和为：\( 360^{\circ} - 126^{\circ} - 72^{\circ} - 36^{\circ} = 126^{\circ} \)。
因为两者相等，所以水电支出圆心角：\( 126^{\circ} \div 2 = 63^{\circ} \)。
水电支出占比：\( \frac{63}{360} = 17.5\% \)。
📌 第四步：设总开支为 \( x \) 元。教育支出 (\( 20\%x \)) 比水电支出 (\( 17.5\%x \)) 多600元。
列方程：\( 20\%x - 17.5\%x = 600 \)
\( 2.5\%x = 600 \)
\( x = 600 \div 2.5\% = 600 \div 0.025 = 24000 \)。
✅ 答案：李叔叔家上月总开支是 \( 24000 \) 元。
💬 总结：此题将扇形统计图与分数百分数应用题结合。解题关键是利用圆心角和为360°，求出未知部分的占比，再利用“具体数量差 ÷ 对应百分比差 = 单位“1”（总量）”来求解。
🔥 例题3：学校图书馆对图书进行普查，绘制了如下扇形统计图。已知“文学类”图书比“科技类”图书多500册，而“教辅类”图书占总数的30%。请问“艺术类”图书有多少册？
[此处插入SVG：一个圆形，被分成四部分：文学类（标有40%）、科技类（标有百分比？）、艺术类（标有？）、教辅类（标有30%）]
📌 第一步：分析已知条件。文学类 \( 40\% \)，教辅类 \( 30\% \)，两者之和为 \( 70\% \)。则科技类和艺术类共占 \( 100\% - 70\% = 30\% \)。
📌 第二步：利用“文学类比科技类多500册”列方程。设图书总数为 \( y \) 册。科技类占比未知，设为 \( a\% \)，则艺术类占比为 \( (30 - a)\% \)。
根据条件：\( 40\%y - a\%y = 500 \) …… 方程(1)
一个方程，两个未知数（\( y \) 和 \( a \)），无法求解。需要再找一个条件。
📌 第三步：（关键）观察图形，在扇形统计图中，科技类和艺术类的扇形大小看起来相等。这是一个隐含的图形信息，也是解决本题的关键。所以，科技类占比 = 艺术类占比 = \( 30\% \div 2 = 15\% \)。
📌 第四步：代入计算。科技类占 \( 15\% \)，文学类占 \( 40\% \)。
文学类比科技类多：\( 40\% - 15\% = 25\% \)。
这 \( 25\% \) 对应500册，所以总数 \( y = 500 \div 25\% = 2000 \)（册）。
📌 第五步：求艺术类图书册数。艺术类占 \( 15\% \)，所以册数为 \( 2000 \times 15\% = 300 \)（册）。
✅ 答案：“艺术类”图书有 \( 300 \) 册。
💬 总结：解决扇形统计图的综合题，不仅要看数字标注，还要善于从图形本身获取“比例看起来相等”之类的隐含信息，并将其转化为数学条件（百分比相等）。
练习题（10道）
- 六（2）班最喜欢的运动项目统计如下：篮球18人，足球12人，乒乓球8人，跳绳7人，其他5人。请计算喜欢篮球的同学所占百分比及其对应扇形的圆心角。
- 一个扇形统计图中，表示“合格”部分的扇形圆心角是 \( 270^{\circ} \)，那么合格率是多少？
- 根据“某小区垃圾分类情况统计图”已知“厨余垃圾”占 \( 35\% \)，对应圆心角是多少度？如果“可回收垃圾”的圆心角是 \( 108^{\circ} \)，那么它占百分之几？
- 小丽用 \( 200 \) 元压岁钱零花，买书花了 \( 80 \) 元，买文具花了 \( 50 \) 元，捐款 \( 40 \) 元，其余储蓄。请你帮她计算各项花费的百分比，并判断表示“储蓄”的扇形圆心角是否大于 \( 90^{\circ} \)。
- 在一个扇形统计图中，已知其中一个扇形的面积是整个圆面积的 \( \frac{1}{6} \)，这个扇形的圆心角是多少度？
- 右图是家庭月度支出统计图。如果本月总支出是 \( 8000 \) 元，那么“交通”和“娱乐”两项一共支出了多少元？（图中显示交通占 \( 15\% \)，娱乐占 \( 10\% \)）
- 某工厂用扇形统计图表示A、B、C三种产品的产量占比。已知B产品产量占总数的 \( 40\% \)，且A产品和C产品的产量比为 \( 3:2 \)。求表示A产品产量的扇形的圆心角度数。
- 若一个扇形统计图中，表示“优秀”等级的扇形圆心角是表示“良好”等级扇形圆心角的 \( 2 \) 倍，表示“及格”的扇形圆心角是 \( 60^{\circ} \)，没有“不及格”。求“优秀”等级占总人数的百分比。
- 小刚根据自家果园果树数量绘制了一个扇形统计图。桃树占 \( 30\% \)，苹果树有 \( 90 \) 棵，梨树棵数对应的圆心角是 \( 72^{\circ} \)。这个果园一共有果树多少棵？
- 在一个关于“学生最喜欢阅读的书籍类型”调查中，绘制扇形统计图时，发现表示“科幻类”的扇形圆心角算错了，应该是 \( 120^{\circ} \) 却画成了 \( 108^{\circ} \)。如果总调查人数是 \( 300 \) 人，那么喜欢科幻类书籍的实际人数比图中显示的人数多多少人？
奥数挑战（10道）
- 三个扇形统计图分别表示甲、乙、丙三所学校六年级学生的视力情况。已知三所学校学生总人数比为 \( 5:4:6 \)。甲校视力正常学生占其总人数的 \( 60\% \)，圆心角为 \( 216^{\circ} \)；乙校视力正常学生占 \( 50\% \)；丙校视力正常学生占 \( 40\% \)。将三所学校学生合并后，视力正常的学生总人数占三所学校学生总人数的百分之几？
- 一个扇形统计图被分成A、B、C、D四个扇形，它们的面积之比为 \( 3:4:5:6 \)。求其中最小的扇形所对的圆心角度数。
- 某次考试后，老师用扇形统计图表示成绩分布。后来发现一名学生的成绩从“良好”改到了“优秀”，导致“优秀”的圆心角增加了 \( 9^{\circ} \)，“良好”的圆心角减少了 \( 9^{\circ} \)。请问全班有多少人？
- 在绘制一个关于“周末时间安排”的扇形统计图时，小华将“运动”时间对应的圆心角多算了 \( 18^{\circ} \)，导致“阅读”时间对应的圆心角比实际少算了 \( 18^{\circ} \)。已知实际“运动”时间占总时间的 \( 25\% \)，求实际“阅读”时间占总时间的百分比。
- A、B、C、D四个量，已知 \( A \) 是 \( B \) 的 \( \frac{1}{2} \)，\( C \) 是 \( D \) 的 \( \frac{1}{3} \)，且 \( A+B = \frac{2}{3}(C+D) \)。若用扇形统计图表示这四个量，则表示 \( B \) 的扇形的圆心角是多少度？
- 一个圆形蛋糕，根据客人喜好用不同口味划分区域（可视为扇形统计图）。巧克力区域圆心角是草莓区域的 \( 2 \) 倍，是芒果区域的 \( 3 \) 倍，其余是原味区域。已知草莓区域和芒果区域的面积之和占整个蛋糕的 \( \frac{7}{36} \)，求原味区域所对的圆心角。
- 三个大小相同的扇形统计图，分别表示三个班级的男生人数占比。第一个图中，表示男生的扇形圆心角是 \( 144^{\circ} \)；第二个图中，男生占比是 \( 40\% \)；第三个图中，女生人数是男生人数的 \( 2 \) 倍。将三个班合并，男生总人数占三个班总人数的百分之几？
- 一个扇形统计图中，部分I的圆心角比部分II的圆心角多 \( 40^{\circ} \)，且部分II的数量是部分I的 \( 75\% \)。求部分I的数量占总数的百分比。
- 某公司用扇形图表示其年度各部门预算。行政部预算比研发部少 \( 20\% \)，市场部预算是行政部的 \( 1.5 \) 倍，生产部预算占总预算的 \( 30\% \)。求表示研发部预算的扇形的圆心角度数。
- 小敏用扇形统计图记录自己一周内不同活动的时间。她发现“学习”和“休息”两个扇形的弧长之比是 \( 5:3 \)，而“娱乐”扇形的面积恰好等于“休息”扇形的面积。已知“学习”时间占一周总时间的 \( 35\% \)，求“娱乐”扇形的圆心角。
生活应用（5道）
- （高铁）“复兴号”高铁列车某次行程的能耗扇形统计图显示：牵引系统耗电占 \( 65\% \)，空调系统占 \( 20\% \)，照明及客服设施占 \( 10\% \)，其余为辅助系统。如果本次行程总耗电量为 \( 5000 \) 千瓦时，那么牵引系统比空调系统多耗电多少千瓦时？
- （航天）中国空间站“天宫”的某个实验舱，将空间分配给了不同科学实验项目。生命科学实验占用的空间对应的圆心角为 \( 90^{\circ} \)，材料科学实验占 \( 30\% \)，流体物理实验与天文观测实验占用的空间相同。请问生命科学实验占用空间的比例是多少？
- （AI）某AI训练任务中，数据处理、模型训练和结果验证三个阶段所用时间的扇形统计图如下。已知结果验证阶段用了 \( 12 \) 小时，且其圆心角是 \( 72^{\circ} \)。模型训练阶段所用的时间比数据处理阶段多 \( 50\% \)。求模型训练阶段用了多少小时。
- （环保）对某小区“无废城市”宣传前后垃圾减量效果进行统计。宣传前，各类垃圾占比的扇形统计图中，厨余垃圾占 \( 40\% \)。宣传后，厨余垃圾总量减少了 \( \frac{1}{4} \)，而其他垃圾总量不变，总垃圾量减少了 \( 10\% \)。求宣传后厨余垃圾在新一轮统计中所占的百分比。
- （网购）“双十一”期间，小明妈妈手机APP的消费扇形统计图显示：服饰类消费金额对应的圆心角是 \( 150^{\circ} \)，数码类消费比家居类多花了 \( 800 \) 元，且家居类消费金额是食品类的 \( 2 \) 倍。已知食品类消费了 \( 1200 \) 元，那么小明妈妈“双十一”总共花了多少钱？
参考答案与解析
【练习题答案】
总人数：\( 18+12+8+7+5=50 \)。篮球百分比：\( \frac{18}{50}=36\% \)。圆心角：\( 36\% \times 360^{\circ} = 129.6^{\circ} \)。
合格率：\( \frac{270}{360} = 75\% \)。
厨余垃圾圆心角：\( 35\% \times 360^{\circ} = 126^{\circ} \)。可回收垃圾占比：\( \frac{108}{360} = 30\% \)。
总 \( 200 \) 元。书：\( \frac{80}{200}=40\% \)，文具：\( 25\% \)，捐款：\( 20\% \)，储蓄：\( 15\% \)。储蓄圆心角 \( 15\% \times 360^{\circ} = 54^{\circ} < 90^{\circ} \)，故不大于 \( 90^{\circ} \)。
圆心角：\( \frac{1}{6} \times 360^{\circ} = 60^{\circ} \)。
交通与娱乐共占 \( 15\%+10\%=25\% \)。支出：\( 8000 \times 25\% = 2000 \)（元）。
A和C共占 \( 1-40\%=60\% \)。按 \( 3:2 \) 分配，A占 \( 60\% \times \frac{3}{5} = 36\% \)。圆心角：\( 36\% \times 360^{\circ} = 129.6^{\circ} \)。
设“良好”圆心角为 \( x \) 度，则“优秀”为 \( 2x \) 度。\( 2x + x + 60 = 360 \)，解得 \( x=100 \)。“优秀”圆心角 \( 200^{\circ} \)，占比 \( \frac{200}{360} \approx 55.56\% \)。
梨树占比：\( \frac{72}{360}=20\% \)。苹果树和桃树共占 \( 30\%+20\%=50\% \)（？错，需重新计算）。苹果树占比未知。设总数为 \( y \)，桃树 \( 0.3y \)，梨树 \( 0.2y \)，则苹果树为 \( y - 0.3y - 0.2y = 0.5y \)。已知苹果树 \( 90 \) 棵，所以 \( 0.5y=90 \)，\( y=180 \)（棵）。
图中显示人数：按 \( 108^{\circ} \) 算，\( \frac{108}{360} \times 300 = 90 \)（人）。实际人数：按 \( 120^{\circ} \) 算，\( \frac{120}{360} \times 300 = 100 \)（人）。多 \( 100-90=10 \)（人）。
【奥数挑战答案】
答案：\( 50\% \)。解析：设三校人数分别为 \( 5k, 4k, 6k \)。甲校视力正常人数：\( 5k \times 60\% = 3k \)。乙校：\( 4k \times 50\% = 2k \)。丙校：\( 6k \times 40\% = 2.4k \)。总人数：\( 5k+4k+6k=15k \)。视力正常总人数：\( 3k+2k+2.4k=7.4k \)。占比：\( \frac{7.4k}{15k} = \frac{74}{150} \approx 49.33\% \)。（注：原题中甲校“圆心角为216°”是多余条件，占比就是 \( 216/360=60\% \)）经核算，答案为 \( \frac{37}{75} \approx 49.33\% \)。若将比例设为 \( 5,4,6 \) 计算，占比为 \( (3+2+2.4)/(15)=7.4/15=74/150=37/75 \)。
答案：\( 60^{\circ} \)。解析：面积比等于圆心角比。总份数 \( 3+4+5+6=18 \)。最小扇形圆心角：\( \frac{3}{18} \times 360^{\circ} = 60^{\circ} \)。
答案：\( 40 \) 人。解析：圆心角变化 \( 9^{\circ} \) 对应1个人从“良好”变为“优秀”。\( 1 \) 人占总人数的 \( \frac{9}{360} = \frac{1}{40} \)，所以总人数为 \( 40 \) 人。
答案：\( 30\% \)。解析：设总时间为整体“1”。实际运动占 \( 25\% \)，对应圆心角 \( 90^{\circ} \)。错误的运动圆心角为 \( 90^{\circ}+18^{\circ}=108^{\circ} \)，错误占比 \( \frac{108}{360}=30\% \)。错误图中，阅读的圆心角比实际少 \( 18^{\circ} \)，即错误的阅读占比比实际阅读占比少 \( \frac{18}{360}=5\% \)。而错误图中，运动占比 \( 30\% \) 比实际多 \( 5\% \)，阅读占比比实际少 \( 5\% \)，其他部分不变。所以实际阅读占比 \( = \) 错误阅读占比 \( +5\% \)。又因为错误图中，所有项目占比仍为100%，设错误阅读占比为 \( x\% \)，其他为 \( y\% \)，则 \( 30 + x + y = 100 \)。实际：运动 \( 25\% \)，阅读 \( (x+5)\% \)，其他 \( y\% \)，则 \( 25+(x+5)+y=100 \)，解得 \( x=25 \)。所以实际阅读占比 \( 25\%+5\%=30\% \)。
答案：\( 120^{\circ} \)。解析：设 \( B=2x \)，则 \( A=x \)。设 \( D=3y \)，则 \( C=y \)。由 \( A+B=\frac{2}{3}(C+D) \) 得 \( 3x = \frac{2}{3} \times 4y = \frac{8y}{3} \)，所以 \( 9x=8y \)，\( y=\frac{9}{8}x \)。总量 \( A+B+C+D = x+2x+\frac{9}{8}x+3\times\frac{9}{8}x = 3x + \frac{9}{8}x+\frac{27}{8}x = 3x+\frac{36}{8}x=3x+4.5x=7.5x \)。B占比：\( \frac{2x}{7.5x} = \frac{2}{7.5} = \frac{4}{15} \)。圆心角：\( \frac{4}{15} \times 360^{\circ} = 96^{\circ} \)。（检查计算：总量 \( =3x + \frac{9+27}{8}x = 3x + \frac{36}{8}x = 3x+4.5x=7.5x \)，正确。B占比 \( 2/7.5=4/15 \approx 0.2667 \)，\( 4/15*360=96 \)）
答案：\( 110^{\circ} \)。解析：设芒果区域圆心角为 \( x^{\circ} \)，则草莓为 \( \frac{3}{2}x^{\circ} \) (因为巧克力是草莓2倍，是芒果3倍，所以巧克力:草莓:芒果 = 6:3:2，设芒果为2份，草莓为3份，巧克力为6份，圆心角比同)，巧克力为 \( 3x^{\circ} \)。三者和：\( 3x + \frac{3}{2}x + x = \frac{6x+3x+2x}{2} = \frac{11x}{2} \)。根据题意，草莓 \( (\frac{3}{2}x) \) 和芒果 \( (x) \) 面积和占 \( \frac{7}{36} \)，即它们的圆心角之和占比 \( \frac{7}{36} \)。\( \frac{\frac{3}{2}x + x}{360} = \frac{\frac{5}{2}x}{360} = \frac{5x}{720} = \frac{7}{36} \)。解得 \( \frac{5x}{720} = \frac{7}{36} \)，\( 5x = \frac{7}{36} \times 720 = 140 \)，\( x=28 \)。原味区域圆心角 = \( 360 - \frac{11}{2} \times 28 = 360 - 154 = 206 \)？检查：巧克力:草莓:芒果 = 6:3:2，设芒果 \( 2k \)，草莓 \( 3k \)，巧克力 \( 6k \)。草莓+芒果 = \( 5k \)，占比 \( \frac{5k}{11k+原味} \) 不对，因为总圆是360。应用“草莓和芒果区域的面积之和占整个蛋糕的 \( \frac{7}{36} \)”列式：\( \frac{3k+2k}{360} = \frac{7}{36} \)，\( \frac{5k}{360}=\frac{7}{36} \)，\( 5k=70 \)，\( k=14 \)。所以芒果 \( 28^{\circ} \)，草莓 \( 42^{\circ} \)，巧克力 \( 84^{\circ} \)，原味 \( 360-28-42-84=206^{\circ} \)。但206°不符合选项？检查计算：\( 5k/360=7/36 \)，两边乘以360：\( 5k=70 \)，\( k=14 \)，正确。原味=360-(6+3+2)k=360-11*14=360-154=206。题目可能有误或答案即为206°。若按最初理解：设芒果x°，巧克力3x°，草莓1.5x°，则1.5x+x=2.5x，2.5x/360=7/36，2.5x=70，x=28，则巧克力84°，草莓42°，芒果28°，原味360-84-42-28=206°。
答案：\( 48\% \)。解析：设每班人数都为 \( a \) (因为图大小相同，表示总人数相同)。一班男生：\( \frac{144}{360}a = 0.4a \)。二班男生：\( 40\%a = 0.4a \)。三班女生是男生2倍，则男生占 \( \frac{1}{3} \)，男生：\( \frac{1}{3}a \approx 0.333a \)。总男生：\( 0.4a+0.4a+0.333a = 1.133a \)。总人数：\( 3a \)。占比：\( \frac{1.133a}{3a} \approx 37.78\% \)。（精确值：\( (0.4+0.4+1/3) / 3 = (0.8+1/3)/3 = (4/5+1/3)/3 = (12/15+5/15)/3 = (17/15)/3 = 17/45 \approx 0.3778 \)）
答案：\( 40\% \)。解析：设部分I的圆心角为 \( \alpha \) 度，部分II为 \( \beta \) 度。\( \alpha - \beta = 40 \)。数量上，II是I的75%，即 \( \frac{\text{II}}{\text{I}} = 0.75 \)。在扇形统计图中，数量比等于圆心角比（因为总量相同），所以 \( \frac{\beta}{\alpha} = 0.75 \)，即 \( \beta = 0.75\alpha \)。代入：\( \alpha - 0.75\alpha = 40 \)，\( 0.25\alpha=40 \)，\( \alpha=160 \)。总量对应的圆心角为360°，所以部分I占比 \( \frac{160}{360} = \frac{4}{9} \approx 44.44\% \)。（检查：\( \beta=120 \)，\( \alpha-\beta=40 \)，符合。数量比 \( 120/160=0.75 \)，符合。I占比 \( 160/360=4/9\approx 44.44\% \)）
答案：\( 108^{\circ} \)。解析：设研发部预算为 \( x \)，则行政部为 \( 0.8x \)，市场部为 \( 1.5 \times 0.8x = 1.2x \)。生产部占 \( 30\% \)，则行政、研发、市场三部共占 \( 70\% \)。所以 \( 0.8x + x + 1.2x = 3x \) 对应 \( 70\% \)，故总预算为 \( 3x \div 0.7 = \frac{30}{7}x \)。研发部占比：\( \frac{x}{\frac{30}{7}x} = \frac{7}{30} \approx 23.33\% \)。圆心角：\( \frac{7}{30} \times 360^{\circ} = 84^{\circ} \)。（检查：行政 \( 0.8x \)，研发 \( x \)，市场 \( 1.2x \)，和 \( 3x \)，生产占30%则这3x占70%，总量 \( 3x/0.7=30x/7 \)。研发占比 \( x/(30x/7)=7/30 \)，圆心角 \( 7/30*360=84° \)）若生产部预算占总预算的 \( 30\% \)，则其余三部占 \( 70\% \)。设总预算为T，则 \( 0.8x+x+1.2x=3x=0.7T \)，所以 \( T=3x/0.7=30x/7 \)。研发占比 \( x/T=7/30 \)，圆心角 \( 84° \)。
答案：\( 75^{\circ} \)。解析：弧长比等于圆心角比，所以学习与休息的圆心角比为 \( 5:3 \)。学习占 \( 35\% \)，对应圆心角 \( 0.35 \times 360^{\circ}=126^{\circ} \)。则休息圆心角为 \( 126 \times \frac{3}{5} = 75.6^{\circ} \)。娱乐扇形面积等于休息扇形面积。在同一个圆中，扇形面积比等于圆心角比，所以面积相等意味着圆心角相等。因此娱乐圆心角 = 休息圆心角 = \( 75.6^{\circ} \approx 75^{\circ} \)（或精确为 \( 75.6^{\circ} \)）。
【生活应用答案】
牵引系统比空调系统多耗电占比：\( 65\%-20\%=45\% \)。多耗电量：\( 5000 \times 45\% = 2250 \) (千瓦时)。
生命科学实验比例：\( \frac{90}{360}=25\% \)。材料科学占 \( 30\% \)，剩下 \( 100\%-25\%-30\%=45\% \) 由流体物理和天文观测平分，各占 \( 22.5\% \)。
结果验证阶段 \( 72^{\circ} \) 对应 \( 12 \) 小时，则 \( 1^{\circ} \) 对应 \( \frac{12}{72}=\frac{1}{6} \) 小时。总时间对应 \( 360^{\circ} \)，即 \( 360 \times \frac{1}{6} = 60 \) 小时。验证阶段占比 \( \frac{72}{360}=20\% \)，则数据处理和模型训练共占 \( 80\% \)，用时 \( 60 \times 80\% = 48 \) 小时。设数据处理用时 \( t \) 小时，则模型训练用时 \( 1.5t \) 小时。\( t+1.5t=2.5t=48 \)，\( t=19.2 \)。模型训练：\( 1.5 \times 19.2 = 28.8 \) 小时。
设宣传前总垃圾量为 \( 100 \) 份，则厨余 \( 40 \) 份，其他 \( 60 \) 份。宣传后，厨余减少 \( \frac{1}{4} \)，变为 \( 40 \times (1-\frac{1}{4})=30 \) 份。其他不变仍为 \( 60 \) 份。此时总垃圾量为 \( 30+60=90 \) 份，比宣传前 \( 100 \) 份减少了 \( 10 \) 份，减少 \( 10\% \)，符合。宣传后厨余占比：\( \frac{30}{90} \approx 33.33\% \)。
服饰类圆心角 \( 150^{\circ} \)，占比 \( \frac{150}{360}=\frac{5}{12} \)。食品类 \( 1200 \) 元。家居类是食品类的2倍，即 \( 2400 \) 元。设数码类为 \( z \) 元，则 \( z - 2400 = 800 \)，得 \( z=3200 \) 元。设总消费为 \( T \) 元。服饰、数码、家居、食品四类总和为 \( T \)。其中已知数码 \( 3200 \)，家居 \( 2400 \)，食品 \( 1200 \)，这三类总和 \( 3200+2400+1200=6800 \) 元。这三类占总消费的比例为 \( 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \)。所以 \( \frac{7}{12}T = 6800 \)，\( T = 6800 \times \frac{12}{7} \approx 11657.14 \) 元。