扇形图怎么看？圆心角与百分比换算方法深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：扇形图 原理

• 核心概念：阿星说，看扇形图就像看一个被切分好的“信息披萨”！整个圆代表100%，也就是你要研究的“总体”。其中的每一块“披萨”，就是一个扇形，它的大小直接告诉你：这部分占整个大披萨的百分之多少。它把枯燥的数字变成了视觉化的图形，让你“一眼定乾坤”，清楚地看出部分占总体的百分比。所以，扇形图的精髓就是——“看占比”。
• 计算秘籍：
  1. 找圆心角：扇形图的核心是圆心角。整个圆的圆心角是 \( 360^\circ \)，它对应100%。那么，如果你知道某一部分的百分比是 \( p\% \)，它对应的圆心角 \( n \) 就可以用“占多少份”的思维来计算：\( n = 360^\circ \times \frac{p}{100} = 3.6^\circ \times p \)。
  2. 反向计算：如果已知一个扇形的圆心角是 \( n^\circ \)，那么它占整体的百分比就是：\( p\% = \frac{n}{360} \times 100\% \)。
• 阿星口诀：整体一圈三百六，占比换算乘三六。圆心角是放大镜，大小直接看占比！

📐 图形解析

下图展示了如何从“整体”到“部分”，以及百分比与圆心角的换算关系。

核心公式：百分比 \( p\% \) = \( \frac{\text{扇形圆心角} \ n^\circ}{\text{整圆圆心角} \ 360^\circ} \times 100\% \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算百分比时，忘记圆的圆心角是 \( 360^\circ \)，误用成 \( 180^\circ \) 或 \( 100^\circ \)。
  ✅ 正解：牢记扇形是圆的一部分，计算所有比例的基准永远是“整圆”，即圆心角 \( 360^\circ \) 对应 \( 100\% \)。
• ❌ 错误2：将扇形面积公式 \( \frac{n}{360} \times \pi r^2 \) 与弧长公式 \( \frac{n}{360} \times 2\pi r \) 混淆。
  ✅ 正解：“看占比”的核心思想不变。无论是面积还是弧长，扇形占整个圆的比例都是 \( \frac{n}{360} \)。先算出这个比例，再乘以圆的面积或周长即可。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个圆的圆心角是 \( 360^\circ \)，那么 \( 90^\circ \) 的扇形占整个圆的百分之几？
2. 扇形图中，某部分占 \( 10\% \)，它的圆心角是多少度？
3. 某班50人，喜欢音乐的占20%，在扇形图中这部分圆心角是多少度？
4. 一个扇形圆心角是 \( 60^\circ \)，它的面积占整个圆面积的几分之几？（用分数表示）
5. 已知扇形圆心角为 \( 120^\circ \)，弧长是 \( 12\pi \) cm，求整个圆的周长。
6. 判断题：扇形图可以清楚地表示出数量的增减变化趋势。（ ）
7. 用扇形图表示“是”与“否”两种选择，如果“是”占 \( 40\% \)，那么“否”对应的圆心角是 \( 144^\circ \)。（ ）
8. 从扇形图中，我们最容易得到的信息是（ ）。 A. 具体数量 B. 变化趋势 C. 部分与总体的比例
9. 若一个扇形面积是圆面积的 \( \frac{1}{6} \)，则它的圆心角是 \( \_\_\_\_\_^\circ \)。
10. 计算：\( 360^\circ \times 15\% = \_\_\_\_\_ \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 某校调查学生课余活动，右图是扇形统计图，其中“社会实践”部分圆心角为 \( 72^\circ \)，已知“学科阅读”部分的人数为35人，且占比与“社会实践”相同。求被调查的总人数。
2. 在一个扇形统计图中，经济作物的扇形圆心角是 \( 90^\circ \)，粮食作物的扇形圆心角是经济作物的2倍，其余是油料作物。求油料作物的百分比。
3. 小明将他的零花钱用途绘成扇形图，其中“储蓄”占 \( 30\% \)，“购书”圆心角为 \( 108^\circ \)，剩下的 \( 45 \) 元用于其他。求小明每月的零花钱总数。
4. 某工厂甲、乙、丙三个车间人数比的扇形图圆心角之比为 \( 2:3:4 \)，已知甲车间比乙车间少20人。求全厂总人数。
5. 一个圆形花坛按 \( 3:4:5 \) 的面积比分别种植三种花卉，请计算表示这三种花卉的扇形圆心角度数。
6. 下图是家庭月支出扇形图，已知食品支出为 \( 1200 \) 元，教育支出对应的圆心角为 \( 54^\circ \)，求教育支出的金额。
7. 已知一个扇形弧长是它所在圆周长的 \( \frac{2}{9} \)，这个扇形的圆心角是多少度？
8. 在扇形统计图中，若表示“优秀”等级的扇形圆心角为 \( 135^\circ \)，则“优秀”等级的人数占总人数的百分比是 \( \_\_\_\_\_ \)。
9. 某小组对“你最喜欢的沟通方式”进行调查，共发出50份问卷，结果用扇形图表示。其中“电话”部分圆心角为 \( 180^\circ \)，那么喜欢“电话”沟通的有 \( \_\_\_\_\_ \) 人。
10. 一个扇形面积是 \( 15\pi \ \text{cm}^2 \)，它所在圆的半径是 \( 6 \) cm，求这个扇形的圆心角。

第三关：生活应用（5道）

1. （预算规划）小王家月度预算为 \( 8000 \) 元，他将其分配为：房贷、生活、教育、娱乐、储蓄五部分，并画成扇形图。若“房贷”圆心角为 \( 120^\circ \)，“储蓄”占比为 \( 15\% \)。请问“房贷”和“储蓄”的预算金额各是多少？
2. （营养配比）一份健身餐的三大营养素（碳水、蛋白质、脂肪）热量占比用扇形图表示。已知蛋白质的扇形圆心角比碳水少 \( 36^\circ \)，但脂肪的圆心角是蛋白质的一半。求三种营养素各自的百分比。
3. （项目管理）一个项目的时间分配扇形图显示，“设计”、“开发”、“测试”三个阶段的时间比为 \( 2:5:3 \)。整个项目周期为 \( 50 \) 个工作日。请计算“开发”阶段持续的时长，并画出三个扇形的圆心角示意图。
4. （商业分析）某商场“五一”期间各类商品销售额扇形图显示，服装类销售额为 \( 18 \) 万元，对应的圆心角为 \( 108^\circ \)，而家电类的圆心角为 \( 72^\circ \)。请问家电类的销售额是多少？总销售额又是多少？
5. （民意调查）对 \( 1200 \) 名市民进行“最支持的环保措施”调查，结果扇形图中有四个选项。支持“垃圾分类”的人数是支持“绿色出行”的 \( 1.5 \) 倍，且这两部分的总圆心角为 \( 210^\circ \）。求支持“垃圾分类”的具体人数。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \frac{90}{360} \times 100\% = 25\% \)
2. \( 360^\circ \times 10\% = 36^\circ \)
3. \( 360^\circ \times 20\% = 72^\circ \)
4. \( \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \)
5. 扇形弧长占比 \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \)，圆周长 \( C = 12\pi \times 3 = 36\pi \) cm。
6. 错。表示趋势是折线图。
7. 对。“否”占 \( 60\% \)，圆心角 \( 360^\circ \times 60\% = 216^\circ \)。（原命题错误）
8. C
9. \( 360^\circ \times \frac{1}{6} = 60^\circ \)
10. \( 54^\circ \)

第二关：中考挑战

1. “社会实践”占比 \( \frac{72}{360}=20\% \)。“学科阅读”占比也是20%，人数35人。总数 \( 35 \div 20\% = 175 \) 人。
2. 经济作物：\( 90^\circ \) (占25%)；粮食作物：\( 180^\circ \) (占50%)；油料作物：\( 360-90-180=90^\circ \)，占比 \( \frac{90}{360}=25\% \)。
3. “购书”占比 \( \frac{108}{360}=30\% \)。“储蓄”占30%，则“其他”占 \( 100\%-30\%-30%=40\% \)，对应45元。总数 \( 45 \div 40\% = 112.5 \) 元。
4. 圆心角比 \( 2:3:4 \)，总和为 \( 2+3+4=9 \) 份。每份圆心角 \( 360^\circ \div 9 = 40^\circ \)。甲车间占比 \( \frac{2}{9} \)，乙 \( \frac{3}{9} \)。人数差占比 \( \frac{1}{9} \)，为20人。总数 \( 20 \div \frac{1}{9} = 180 \) 人。
5. 总份数 \( 3+4+5=12 \)。圆心角分别为 \( \frac{3}{12} \times 360^\circ = 90^\circ \)， \( \frac{4}{12} \times 360^\circ = 120^\circ \)， \( \frac{5}{12} \times 360^\circ = 150^\circ \)。
6. 食品支出占比 \( \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3} \)。总支出 \( 1200 \div \frac{1}{3} = 3600 \) 元。教育支出占比 \( \frac{54}{360}=15\% \)，金额 \( 3600 \times 15\% = 540 \) 元。
7. \( 360^\circ \times \frac{2}{9} = 80^\circ \)。
8. \( \frac{135}{360} \times 100\% = 37.5\% \)。
9. “电话”占比 \( \frac{180}{360}=50\% \)，人数 \( 50 \times 50\% = 25 \) 人。
10. 圆面积 \( \pi \times 6^2 = 36\pi \ \text{cm}^2 \)。扇形占比 \( \frac{15\pi}{36\pi} = \frac{5}{12} \)。圆心角 \( 360^\circ \times \frac{5}{12} = 150^\circ \)。

第三关：生活应用

1. 房贷占比 \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \approx 33.33\% \)，预算 \( 8000 \times \frac{1}{3} \approx 2666.67 \) 元。储蓄预算 \( 8000 \times 15\% = 1200 \) 元。
2. 设蛋白质圆心角为 \( x^\circ \)，则碳水为 \( (x+36)^\circ \)，脂肪为 \( \frac{x}{2}^\circ \)。方程：\( x + (x+36) + \frac{x}{2} = 360 \)，解得 \( x = 129.6^\circ \)。碳水 \( 165.6^\circ \)，脂肪 \( 64.8^\circ \)。百分比：蛋白质 \( 36\% \)，碳水 \( 46\% \)，脂肪 \( 18\% \)。
3. 总份数 \( 2+5+3=10 \)。开发阶段占比 \( \frac{5}{10}=50\% \)，时长为 \( 50 \times 50\% = 25 \) 个工作日。圆心角：设计 \( 72^\circ \)，开发 \( 180^\circ \)，测试 \( 108^\circ \)。
4. 总销售额 \( 18 \div (\frac{108}{360}) = 18 \div 0.3 = 60 \) 万元。家电销售额 \( 60 \times (\frac{72}{360}) = 60 \times 0.2 = 12 \) 万元。
5. 设支持“绿色出行”的圆心角为 \( x^\circ \)，则“垃圾分类”为 \( 1.5x^\circ \)。\( x + 1.5x = 210 \)，得 \( x=84^\circ \)，\( 1.5x=126^\circ \)。“垃圾分类”占比 \( \frac{126}{360}=35\% \)，人数 \( 1200 \times 35\% = 420 \) 人。