SAS判定全等三角形：为什么必须是夹角？易错题深度解析与训练专项练习题库

💡 阿星精讲：SAS判定 原理

• 核心概念：嘿，伙伴们！我是阿星。想象一下你和朋友握手：你伸出一只手臂（边AB），朋友伸出一只手臂（边AC），你们握手时形成的那个角度（角A）——这才是真正的“握手角”（夹角）。SAS定理说的就是：如果两个三角形“握手”的方式一模一样——即，你手臂的长度（\(AB = A’B’\)）、朋友手臂的长度（\(AC = A’C’\)）、以及你们握手时的角度（\( \angle A = \angle A’ \)）都对应相等，那么这两个三角形的“亲密关系”（形状和大小）就完全一致，也就是全等！记住，必须是两边“夹”住的角，如果角是第三边的对角，那可就不灵了哦！
• 计算秘籍：
  1. 在题目中，首先找出两个三角形中恰好被两条已知相等的边所夹住的那个角。
  2. 明确列出三组对应相等的条件：边1（\(S_1\)）、角（\(A\)）、边2（\(S_2\)），并确保角的顶点是两条边的公共端点。
  3. 书写格式：在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle DEF \) 中，∵ \( AB = DE \)，\( \angle B = \angle E \)，\( BC = EF \)，∴ \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)（SAS）。
• 阿星口诀：“两边一夹角，全等定没跑。角非夹中间，结论就飘摇！”

📐 图形解析

真正的SAS判定：两个三角形中，相等的角必须是两条相等边的夹角。

条件对应：\( AB = DE = a \)，\( \angle B = \angle E = \theta \)，\( BC = EF = b \)。由于 \( \theta \) 是边 \(a\) 和边 \(b\) 的夹角，所以 \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)（SAS）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把“两边及其中一边的对角相等（SSA）”当成SAS来用。
  ✅ 正解：SAS的“A”必须是夹角，即已知两条边的公共顶点处的角。SSA不能作为全等判定定理（在非直角三角形中，它可能对应两个不同的三角形）。
• ❌ 错误2：书写条件和证明时，边角顺序不对应。
  ✅ 正解：书写“SAS”条件时，必须严格按照“边-角-边”的顺序列出对应部分。例如，如果用的是 \( AB = DE \)，\( \angle A = \angle D \)，\( AC = DF \)，那么角A和角D必须是边AB与AC、边DE与DF的夹角。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：有两边和一个角对应相等的两个三角形一定全等。（ ）
2. 如图，\( OA=OB \)，\( OC=OD \)，\( \angle AOC = \angle BOD \)，请问用____定理可以直接判定 \( \triangle AOC \cong \triangle BOD \)。
   
3. 已知 \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)，若 \( AB=5 \)，\( \angle B=60^\circ \)，\( BC=7 \)，则 \( EF = \) ____。
4. 在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ADC \) 中，下列条件不能判定它们全等的是（ ）A. \( AB=AD \)，\( \angle BAC=\angle DAC \)，\( BC=DC \) B. \( AB=AD \)，\( \angle BAC=\angle DAC \)，\( AC=AC \)
5. 完成以下证明：如图，\( AB=AC \)，\( AD=AE \)，求证：\( \triangle ABE \cong \triangle ACD \)。
   (提示：证明 \( \angle BAE = \angle CAD \))
6. 小明把“SAS”误记为“SSA”，结果在证明一道题时失败了。请你画图说明为什么“SSA”不能判定一般三角形全等。
7. 直接写出判定依据：如图，\( AC=BD \)，\( \angle CAB=\angle DBA \)，\( AB=BA \)，∴ \( \triangle ABC \cong \triangle BAD \)（ ）。
8. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=6cm \)，\( AC=8cm \)，\( \angle A=50^\circ \)。画一个与它全等的三角形 \( \triangle DEF \)，你的作法会是：先画 \( DE= \)____cm，再画 \( \angle D= \)____°，最后画 \( DF= \)____cm，连接EF。
9. 判断题：两个直角三角形，如果有两条直角边对应相等，则它们全等。这是SAS定理的应用吗？（ ）
10. 如图，点C是AB中点，\( CD \) 平分 \( \angle ACE \)，且 \( \angle A = \angle E \)，请补充一个条件____，使得 \( \triangle ACD \cong \triangle ECB \)，并写明判定定理。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，四边形ABCD中，\( AD \parallel BC \)，\( AD=BC \)。对角线AC，BD相交于点O。求证：\( \triangle AOD \cong \triangle COB \)。
2. 已知：如图，\( AB=AC \)，\( D、E分别是AB、AC的中点 \)，连接 \( BE, CD \) 交于点F。求证：\( \triangle ABE \cong \triangle ACD \)。
3. 如图，\( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ADE \) 都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上。求证：\( CE=AC+CD \)。(提示：证 \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \))
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB=90^\circ \)，\( AC=BC \)，直线MN过点C，且 \( AD \perp MN \) 于D，\( BE \perp MN \) 于E。求证：\( DE=AD+BE \)。
5. 如图，已知 \( AB=CD \)，\( \angle ABC=\angle DCB \)，请添加一个条件____，使得 \( \triangle ABC \cong \triangle DCB \)，并证明。
6. 探究题：满足“SSA”条件的两个三角形，在什么情况下可以确保全等？
7. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( \angle A=100^\circ \)，BD平分 \( \angle ABC \)。求证：\( BC=BD+AD \)。
8. 已知：如图，\( AD \) 是 \( \triangle ABC \) 的中线，\( BE \perp AD \) 交AD延长线于E，\( CF \perp AD \) 于F。求证：\( BE=CF \)。
9. 如图，\( \triangle ABC \) 是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且 \( BD=CE \)，AD与BE相交于点F。求 \( \angle AFE \) 的度数。
10. (动点问题) 如图，在长方形ABCD中，\( AB=6 \)，\( BC=8 \)。点P从点A出发，沿A→B→C→D→A运动，速度为每秒1个单位。设运动时间为t秒，当 \( t \) 为何值时，以点A、P、C为顶点的三角形与 \( \triangle ABC \) 全等？

第三关：生活应用（5道）

1. 测量河宽：如图，要测量河两岸点A和点B的距离，可以在岸边取一点C，测得 \( AC=50m \)，并测得 \( \angle ACB=45^\circ \)，\( \angle ACD=90^\circ \)。在CD延长线上取一点E，使 \( CE=30m \)。再在岸边取一点F，使 \( \angle ECF=45^\circ \)。测量得 \( CF=40m \)。请问如何利用SAS定理说明 \( AB=EF \)？并计算AB的长度。
2. 结构加固：一个钢架棚的侧面由多个三角形结构组成。师傅在安装时，确保了两根钢梁（边）的长度和它们之间的焊接角度与设计图一致。请用数学原理解释为什么这样做能保证每个三角形结构形状大小完全相同，从而保证整体稳固。
3. 古籍修复：一块破碎的三角形瓷片，保留了完整的一个角和这个角的两条邻边。工匠需要复制一块完全一样的瓷片进行填补。他应该怎么做？这利用了哪个几何原理？
4. 风筝制作：小明想做两个完全相同的三角形风筝面。他先做好一个，其中两边长分别为80cm和100cm，这两边的夹角是70°。请描述他制作第二个风筝面时，需要测量和复制的关键数据。
5. 土地划分：一块形状为四边形ABCD的土地，因道路修建被分割。现要沿对角线AC将补偿的一块三角形土地 \( \triangle AEC \) 划给村民。已知 \( AD=BC \)，\( \angle DAC=\angle BCA \)，且 \( AE=BC \)。你能用SAS定理证明村民得到的 \( \triangle AEC \) 与原土地中的 \( \triangle BCA \) 面积相等吗？请写出证明思路。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ❌ 错。必须是“夹角”。
2. SAS。
3. \( EF = BC = 7 \)。
4. A。条件A给出的是“边边角”（SSA），不能判定。
5. 证明：∵ \( AB=AC \)，\( AD=AE \)，又∵ \( \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE = \angle CAE + \angle EAD = \angle CAD \)（等量加等量），∴ 在 \( \triangle ABE \) 与 \( \triangle ACD \) 中，\( AB=AC \)，\( \angle BAE=\angle CAD \)，\( AD=AE \)，∴ \( \triangle ABE \cong \triangle ACD \)（SAS）。
6. 解析：如图，在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ABD \) 中，\( AB=AB \)（公共边），\( AC=AD \)，\( \angle B = \angle B \)（公共角，即 \( \angle ABC = \angle ABD \)），满足“SSA”，但 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle ABD \) 显然不全等。
7. SAS。
8. \( 6 \)，\( 50 \)，\( 8 \)。
9. ✅ 是。直角三角形的直角就是两条直角边的夹角。
10. 补充 \( AC = EC \)。证明：∵ C是AB中点，∴ \( AC=BC \)。∵ \( CD \) 平分 \( \angle ACE \)，∴ \( \angle ACD = \angle ECD \)。在 \( \triangle ACD \) 和 \( \triangle ECB \) 中，\( AC=EC \)，\( \angle A = \angle E \)，\( \angle ACD = \angle ECD \)，这是AAS或ASA，非SAS。若要用SAS，可补充 \( CD = CB \)，则条件为：\( AC=BC \)，\( \angle ACD = \angle BCD \)，\( CD=CB \)（SAS）。此题旨在让学生区分不同判定定理所需的不同条件。

（第二关、第三关答案因篇幅所限，在此提供关键题思路）

第二关第1题思路：∵ \( AD \parallel BC \)，∴ \( \angle ADO = \angle CBO \)，\( \angle DAO = \angle BCO \)。又∵ \( AD=BC \)，∴ \( \triangle AOD \cong \triangle COB \)（ASA）。本题虽未直接用SAS，但通过平行线性质创造了角相等的条件，是综合题的基础。

第三关第1题思路：在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle EFC \) 中，\( AC=50 \)，\( \angle ACB=45^\circ \)，\( BC \) 未知；\( EC=30 \)，\( \angle ECF=45^\circ \)，\( CF=40 \)。条件并不直接对应。标准测量河宽方法是构造全等三角形，例如，在点A同侧取点C、D，使 \( AC \perp AB \)，\( CD=AC \)，过D作 \( DE \perp AD \) 交AB于E，则 \( \triangle ABC \cong \triangle EDC \)（ASA）。本题所给数据更像需要利用相似或解三角形，是一个理解原理的简化情景题。核心是理解SAS保证了三角形的唯一确定性。