知识要点

同学们，今天我们要认识一个神奇的数学工具——集合。它就像我们生活中的“圈圈”，能帮我们把有共同特点的事物归在一起，理清复杂的关系。

💡 核心概念

集合就是把具有某种相同属性的事物看作一个整体。这个整体里的每一个事物，叫做这个集合的元素。韦恩图（也叫文氏图）是表示集合最直观的方法，我们用一个大圆圈来表示一个集合。当两个集合有部分元素重复时，它们的圆圈就会重叠，重叠部分表示既属于A集合又属于B集合的元素。

📝 计算法则（解决“共有多少人”问题）

当知道两个集合各自的数量，以及它们重叠部分的数量时，求这两个集合一共包含多少不同的元素，方法是：

1. 将集合A的元素个数和集合B的元素个数相加。\( A + B \)
2. 减去中间重复计算了一次的重叠部分的元素个数。\( A + B - C \)（其中 \( C \) 代表重叠部分的数量）
3. 得到的结果就是两个集合中不重复的元素总个数。\( \text{总人数} = A + B - C \)

🎯 记忆口诀

“分项加，减去重，得总数。” 意思是分别加起来，减去重复算的，就得到不重复的总数。

🔗 知识关联

这和一年级学的分类与整理知识紧密相连，都是把事物按标准分组。同时，它也在为未来学习更复杂的统计与逻辑问题打基础。

易错点警示

下面是同学们最常“掉进去”的3个小陷阱，一定要看仔细哦！

❌ 错误1：把重叠部分算了两次，直接加两个数。 → ✅ 正解：必须减去一次重复的部分，用公式 \( A + B - C \)。

❌ 错误2：计算总数时，漏掉了只属于其中一个集合的人。 → ✅ 正解：画韦恩图，确保三个区域（只A、只B、重叠）都考虑到了。

❌ 错误3：看到“一共”就直接加。 → ✅ 正解：先判断题目中的数量是否有重复，有重复就用集合方法解决。

三例题精讲

🔥 例题1：三（1）班有12人参加了跳绳比赛，有9人参加了踢毽子比赛，其中4人两项比赛都参加了。三（1）班参加这两项比赛的一共有多少人？

📌 第一步：分析集合。集合A（跳绳）=12人，集合B（踢毽子）=9人，重叠部分C（两项都参加）=4人。

📌 第二步：运用公式。总人数 = \( A + B - C = 12 + 9 - 4 \)。

📌 第三步：计算。\( 12 + 9 = 21 \)，\( 21 - 4 = 17 \)。

✅ 答案：一共有17人。

💬 总结：直接套用核心公式，先加后减。

🔥 例题2：下图是三（2）班喜欢足球和篮球的学生情况。喜欢足球的有8人，喜欢篮球的有11人，两种都喜欢的3人。请你想一想，只喜欢足球的有多少人？只喜欢篮球的呢？

足球

篮球

?

3

?

📌 第一步：理解韦恩图。左边月牙是“只喜欢足球”，右边月牙是“只喜欢篮球”，中间是“两者都喜欢”。

📌 第二步：计算只喜欢足球的人数。喜欢足球的8人中，包含了“只喜欢足球”和“两者都喜欢”的。所以，只喜欢足球 = \( 8 - 3 = 5 \)（人）。

📌 第三步：计算只喜欢篮球的人数。同理，只喜欢篮球 = \( 11 - 3 = 8 \)（人）。

✅ 答案：只喜欢足球的有5人，只喜欢篮球的有8人。

💬 总结：求“只属于A”的部分，就用“A的总数”减去“重叠部分”。

🔥 例题3：一次语文、数学作业检查中，完成语文作业的有38人，完成数学作业的有35人，两种作业都完成的有30人。至少有一种作业没有完成的有多少人？

📌 第一步：求至少完成一种作业的人数（即全班至少完成一种作业的人数）。这是典型的集合问题，总人数 = \( 38 + 35 - 30 = 43 \)（人）。

📌 第二步：理解问题。“至少有一种作业没完成”的反面是“两种作业都完成了”。所以，用全班总人数减去“两种都完成”的人数，就能得到答案。但是，全班总人数不知道。

📌 第三步：关键转换。其实，“至少完成一种作业的43人”和“两种作业都完成的30人”都在“全班”这个范围内。题目问的是“至少一种没完成的人”，其实就是“全班人数 - 两种都完成的人数”。而“全班人数”可以看作是“至少完成一种的人数”加上“两种都没完成的人数”。但两种都没完成的人数未知。我们假设它为 \( m \)。

所以，全班人数 = \( 43 + m \)。

那么，至少一种没完成的人数 = 全班人数 - 两种都完成的人数 = \( (43 + m) - 30 = 13 + m \)。

由于 \( m \) 未知且可能为0，这题需要换个角度思考：在“至少完成一种作业的43人”里，有30人两项都完成了，那么剩下的 \( 43 - 30 = 13 \) 人就是只完成了一项作业的人。这13人当然属于“至少有一种作业没完成”（因为他们有一项没做）。另外，还要加上“两种作业都没完成”的 \( m \) 人。所以总人数是 \( 13 + m \)，但 \( m \) 无法求出。

📌 第四步：重新审题。原题可能默认“每人至少完成了一项作业”，即 \( m = 0 \)。这是一个常见的隐含条件。在这种情况下，至少一种没完成的人数就是只完成一项的人数：\( 43 - 30 = 13 \)（人）。

✅ 答案：至少有13人。

💬 总结：复杂问题要分步思考，先求出一部分，再理解问题问的是哪一部分。有时题目会有隐含条件。

练习题（10道）

1. 学校文艺汇演中，会弹钢琴的有15人，会拉小提琴的有12人，两项都会的有5人。参加文艺汇演的这部分同学一共有多少人？
2. 把两个长6厘米、宽4厘米的长方形重叠在一起（如下图），重叠部分的边长是2厘米的正方形。拼成的新图形的周长是多少厘米？
3. 三（3）班有42人，每人至少订阅了《少年报》和《科学画报》中的一种。订阅《少年报》的有28人，订阅《科学画报》的有24人。两种报纸都订阅的有多少人？
4. 同学们去春游，带矿泉水的有30人，带水果的有25人，既带矿泉水又带水果的有10人。只带矿泉水的同学有多少人？
5. 老师出了两道数学题，全班45人中，做对第一题的有28人，做对第二题的有31人，每人至少做对了一道题。两道题都做对的有多少人？
6. 运动会上，参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，两个项目都参加的有7人。参加这两项比赛的比只参加跳远比赛的多多少人？
7. 一个旅行社有60人，其中32人会英语，28人会法语，两种语言都不会的有5人。两种语言都会的有多少人？
8. 三（4）班有学生50人，在一次测试中，语文得优的有35人，数学得优的有40人。两科都得优的至少有多少人？至多呢？
9. 同学们排队做操，从前面数小明排第9，从后面数他排第12。小明这一列一共有多少人？
10. 两块木板各长70厘米，像下图一样钉成一块长木板，中间重叠部分长10厘米。这块钉在一起的长木板总长是多少厘米？

奥数挑战（10道）

1. 某班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，这个班钢琴和小提琴都不会的有3人。两项都会的有多少人？
2. 在1到100的自然数中，是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
3. 三（5）班同学每人都参加了一个兴趣小组。参加美术组的有25人，参加音乐组的有30人，两个小组都参加的有10人。三（5）班共有学生多少人？
4. 一次数学考试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道题都做对的有多少人？
5. 学校乐器队有42人，会吹笛子的有25人，会弹古筝的有17人，两种都不会的有7人。两种都会的有多少人？
6. 三（1）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都已完成的有31人。每人至少完成了一种作业。三（1）班共有学生多少人？
7. 同学们排队去参观，从排头数起小华是第25个，从排尾数起小云是第23个。已知小华的前一个是小云。这队同学共有多少人？
8. 有50个学生，他们穿白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，有29人穿黑上衣。那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？
9. 三年级有127个同学参加体育兴趣小组。其中参加篮球组的有80人，参加足球组的有72人，两个小组都参加的有多少人？（每人至少参加一个小组）
10. 某次竞赛共有3道题，答对第一题的有25人，答对第二题的有20人，答对第三题的有28人。其中答对前两题的有10人，答对后两题的有12人，答对第一和第三题的有15人，三道题全部答对的只有5人。请问至少答对一题的有多少人？

生活应用（5道）

1. (高铁换乘) 一列高铁上有乘客120名，其中75名乘客的目的地是北京，68名乘客的出发地是上海。既从上海出发又要到北京的乘客有30名。那么，既不是从上海出发也不是到北京的乘客有多少名？
2. (航天知识竞赛) 在中国空间站“天宫课堂”知识竞赛中，三年级200名学生观看了直播。赛后调查，能说出“太空转身”原理的有110人，能说出“水球光学实验”原理的有130人，两种原理都能说出的有85人。那么至少有一种原理说不出的学生有多少人？
3. (AI智能识别) 一个AI程序用于识别图片中的动物。一个测试集包含50张图片。AI识别出含有“猫”的图片有28张，识别出含有“狗”的图片有26张，其中既识别出猫又识别出狗的图片有12张。请问这个测试集中，有多少张图片是猫和狗都没有被识别出来的？
4. (环保分类) 幸福小区开展垃圾分类“打卡”活动。一周后统计，进行过“厨余垃圾”分类打卡的家庭有45户，进行过“可回收物”分类打卡的家庭有38户。两项打卡都完成的家庭户数，比只完成了“可回收物”打卡的户数少8户。请问两项打卡都完成的有多少户？
5. (网购优惠) “双十一”期间，某网店推出两种优惠券：满100减10的“店铺券”和满200减20的“平台券”。已知领取了店铺券的顾客有80人，领取了平台券的顾客有60人，两种券都领取的顾客人数，恰好是只领取了平台券顾客人数的一半。请问只领取了店铺券的顾客有多少人？