三角形稳定性原理、例题及训练全解析 | 初中几何核心考点专项练习题库

💡 阿星精讲：三角形的稳定性 原理

• 核心概念：想象一下，三条边就像三个手拉手的好朋友。一旦他们彼此之间的距离（边长）确定下来，他们就形成了一个非常牢固的“小团体”。这个“小团体”的形状是唯一确定、无法改变的。这就好比用三根长度固定的木条钉成一个三角形框架，这个框架的形状是固定的，不会晃动。相比之下，四边形就像四个手拉手但关系不太紧的朋友，即使四边长度固定，他们还是可以“扭来扭去”，从一个矩形变成平行四边形，所以四边形结构容易变形，不如三角形稳。这就是阿星说的：只要三边长度确定，形状就无法改变，这就是三角形比四边形稳的原因。
• 计算秘籍：为什么三边长度 \( a \), \( b \), \( c \) 确定，形状就唯一？这背后有强大的数学原理——全等三角形的“边边边（SSS）”判定法则。当我们已知三边长度时，任意一个角的大小也被锁定了。我们可以用余弦定理来求出角 \( A \)：
  \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
  因为边长 \( a, b, c \) 是固定的正数，且满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以 \( \cos A \) 的值是唯一确定的，从而角 \( A \) 的大小也是唯一确定的。同理，角 \( B \) 和角 \( C \) 也随之唯一确定。因此，所有边长相同的三角形必定是全等的，形状完全一致！
• 阿星口诀：三边长度若确定，三角形状就锁死。任你推拉都不动，稳如磐石最结实！

📐 图形解析

三角形与四边形稳定性的直观对比：

左边三角形：三边 \( AB \), \( BC \), \( CA \) 长度固定，形状唯一。

右边四边形：即使四边 \( DE \), \( EF \), \( FG \), \( GD \) 长度固定，仍可从一个形状（虚线）变形为另一个形状（实线）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“稳定性”等于“不会坏”或“特别坚固”。
  ✅ 正解：“稳定性”在几何中特指形状的确定性，即结构在受力时不易改变其几何形状。一个很细的三角形木条可能一掰就断（不坚固），但只要它是三角形，在断开前它的形状是不易被改变的。
• ❌ 错误2：认为只要有三条边就是稳定的，忽略“边长固定”的前提。
  ✅ 正解：稳定性的前提是三条边的长度固定不变。如果边是伸缩的（如橡皮筋），或者连接点（顶点）是滑动的，那么三角形也可以变形，失去稳定性。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 下列哪个图形具有稳定性？ A. 三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 五边形
2. 自行车的大梁（上管）、立管和下管常常构成一个三角形，这主要是为了______。
3. 判断：用四根木条钉成一个长方形框架，然后用力一拉，它可能会变成平行四边形。（ ）
4. 照相机的三脚架、起重机的塔吊臂结构都广泛应用了______形的稳定性。
5. 已知一个三角形的三边长分别为 \( 3\ \text{cm} \), \( 4\ \text{cm} \), \( 5\ \text{cm} \)，那么这个三角形的形状和大小是______（唯一/不唯一）确定的。
6. 请举出两个生活中利用三角形稳定性的例子。
7. 要使一个四边形木框不变形，可以在顶点之间钉一根木条，这样就将四边形分成了______个三角形。
8. 判断：所有三角形都具有稳定性。（ ）
9. 一个三角形，已知两条边的长度分别为 \( 7 \) 和 \( 10 \)，那么第三条边的长度范围是______。
10. 根据“边边边（SSS）”全等判定，如果两个三角形的三边对应相等，则它们______。

第二关：中考挑战（10道）

1. 如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( AB = AD \)，\( CB = CD \)。求证：\( AC \perp BD \)。（提示：连接 \( AC \)，证明三角形全等后利用等腰三角形三线合一）
2. 已知三角形的两边长 \( a=8 \), \( b=15 \)，且该三角形的周长 \( P \) 为偶数，求第三边 \( c \) 的长度，并判断当 \( c \) 为何值时，此三角形的形状是唯一的钝角三角形？
3. 一个零件的形状如图所示，按规定 \( \angle A=90^\circ \), \( \angle B=32^\circ \), \( \angle C=21^\circ \)。质检员测得 \( \angle BDC=148^\circ \)，就断定这个零件不合格。请用三角形的稳定性（内角和定理）解释原因。
4. 用 \( 12 \) 根等长的火柴棒拼成一个正六边形（如图），然后移动其中的 \( 4 \) 根，使它形成 \( 3 \) 个等边三角形。请画出图形。
5. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( D \) 是 \( BC \) 延长线上一点，\( E \) 是 \( AC \) 上一点，\( DE \) 交 \( AB \) 于 \( F \)。若 \( \angle EDC=30^\circ \)，\( \angle AFE=70^\circ \)，求 \( \triangle ABC \) 各内角的度数。（稳定结构中的角度计算）
6. 求证：三角形任意两边的和大于第三边。（用两点之间线段最短证明）
7. 一个三角形的三边长都是整数，且周长是 \( 18 \)，求满足条件的三角形的个数（全等的算一种）。
8. 在四边形 \( ABCD \) 中，\( AB=2 \), \( BC=4 \), \( CD=7 \), \( AD=x \)，求 \( x \) 的取值范围，使得四边形 \( ABCD \) 可能存在。
9. 如图，\( AC \) 和 \( BD \) 是四边形 \( ABCD \) 的对角线。求证：\( AB + BC + CD + DA > AC + BD \)。
10. 王师傅用一根长为 \( 120\ \text{cm} \) 的铝合金条制作了一个全等的三角形框架模型。已知其中一条边长为 \( 30\ \text{cm} \)，另两边之差为 \( 10\ \text{cm} \)。求这个三角形框架模型三边的长。

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑）观察常见的屋顶桁架结构（如下图），数一数其中包含了多少个三角形，并分析它们是如何协同作用来支撑屋顶重量的。
2. （工程）高压电线塔（铁塔）的结构中充满了三角形。请设计一个简化的、由 \( 6 \) 根等长钢材组成的三角形塔身主体结构简图（侧面看至少由 \( 2 \) 个三角形组成）。
3. （测量）如图，为测量一栋楼 \( AB \) 的高度，测量人员在楼前的平地上选择一点 \( C \)，测得 \( \angle ACB = 45^\circ \)，然后向楼的方向前进 \( 20 \) 米到达点 \( D \)，测得 \( \angle ADB = 60^\circ \)。已知测量仪高 \( 1.5 \) 米，请利用三角形的确定性，建立方程求出楼高 \( AB \)。（提示：设 \( AB = x \)）
4. （材料）为什么空心的钢管比实心的钢棒在同样重量下能承受更大的力而不弯曲？（提示：从横截面的几何形状——圆形，及其内部可形成的三角形支撑结构思考）
5. （设计）你要为一个社区设计一个可伸缩的临时大门（宽 \( 6 \) 米）。要求：① 平时是稳定的长方形；② 需要时可单向收缩至 \( 3 \) 米宽。请利用四边形的不稳定性和三角形的稳定性，设计一个包含活动铰链和可拆卸/可折叠斜撑的方案简图。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. A
2. 增加车架的结构稳定性，防止变形
3. √
4. 三角
5. 唯一
6. 例如：衣架、金字塔、单车的三角形车架、高压电线塔等。
7. 2
8. √（前提是边长固定）
9. 设第三边为 \( c \)，则 \( 10-7 < c < 10+7 \)，即 \( 3 < c < 17 \)。
10. 全等

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 证明：连接 \( AC \)。在 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ADC \) 中，\( AB=AD \), \( BC=DC \), \( AC=AC \)。∴ \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \) (SSS)。∴ \( \angle BAC = \angle DAC \)。在 \( \triangle ABD \) 中，\( AB=AD \)，且 \( AC \) 平分 \( \angle BAD \)，∴ \( AC \perp BD \)（等腰三角形三线合一）。

7. 解析：设三边为 \( a, b, c \)，且 \( a \le b \le c \)，\( a+b+c=18 \)。根据三角形三边关系：\( a+b>c \)，且 \( c \ge b \)。代入 \( c=18-a-b \)，得 \( a+b > 18-a-b \)，即 \( a+b > 9 \)。同时 \( c=18-(a+b) \ge b \)，即 \( a \le 18-2b \)。枚举所有满足 \( a \le b \)，\( a+b>9 \)，\( a+b \le 17 \) 的正整数解，可得三角形有：\( (4,4,10) \) 不行（因为 \( 4+4 \ngtr 10 \)），有效组合为 \( (5,5,8), (5,6,7), (6,6,6) \)。共 \( 3 \) 种。

10. 解析：设三边为 \( 30 \), \( x \), \( y \)（单位：cm），且 \( x > y \)。由题意：\( 30 + x + y = 120 \)，且 \( x - y = 10 \)。解方程组：\( x+y=90 \)，\( x-y=10 \)。两式相加得 \( 2x=100 \)，\( x=50 \)。代入得 \( y=40 \)。三边为 \( 30, 40, 50 \)。验证：\( 30+40>50 \)，成立。

第三关：生活应用（思路点拨）

3. 解析：设楼高 \( AB = x \) 米。则 \( BC = x \)（因 \( \angle C=45^\circ \)），\( BD = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x\sqrt{3}}{3} \)（因 \( \angle D=60^\circ \)）。由 \( CD = BC - BD = 20 \)，得方程：\( x - \frac{x\sqrt{3}}{3} = 20 \)。解得 \( x = \frac{20}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{60}{3 - \sqrt{3}} \approx 47.32 \)。加上仪器高，楼高约 \( 48.82 \) 米。