三角形内心：角平分线交点到三边距离相等怎么求？深度解析与全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：内心 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，三角形是一个小小的王国，三个角就是三位性格迥异的“角王子”。他们经常为了地盘（角度）大小而争论不休。这时，就需要一位绝对公平的“守护神”——内心（Incenter）出场了！它的绝招就是“角平分线”，可以完美地将每个角王子的地盘一分为二，让争执瞬间平息。当三条“仲裁线”（角平分线）汇聚于一点时，就诞生了内心。它最伟大的品德就是“等距”，无论走到三角形的哪条边，距离都是一样的，堪称一碗水端平的典范！
• 计算秘籍：内心的核心是角平分线交点，其坐标和性质可通过以下方式求解：
  1. 坐标计算：若三角形顶点坐标为 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \)，对应边长 \( a = BC \), \( b = CA \), \( c = AB \)，则内心 \( I \) 的坐标为：
     \[ I\left( \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c}, \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c} \right) \]
     这是一个加权平均，边长越大的顶点，权重越大。
  2. 内切圆半径 \( r \)：内心到三边的距离相等，这个距离就是内切圆半径。设三角形面积为 \( S \)，半周长为 \( p = \frac{a+b+c}{2} \)，则有：
     \[ S = p \cdot r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{S}{p} \]
  3. 角平分线长：从顶点 \( A \) 到内心的线段 \( AI \) 的长度公式为：
     \[ AI = \frac{2 \sqrt{bcp(p-a)}}{b+c} \]
• 阿星口诀：角平分，线相交，内心到边等距离。面积半周求半径，坐标加权平均计。

📐 图形解析

下面的图形展示了三角形 \( ABC \) 的内心 \( I \)、三条角平分线以及内切圆。注意观察，从内心 \( I \) 到三边的垂线段 \( ID \), \( IE \), \( IF \) 长度相等（即内切圆半径 \( r \)）。

核心关系公式：

• 角平分线交点： \( I = AD \cap BE \cap CF \) （其中 \( D, E, F \) 为角平分线与对边的交点）。
• 等距性质： \( ID = IE = IF = r \) 。
• 面积关系： \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle IAB} + S_{\triangle IBC} + S_{\triangle ICA} = \frac{1}{2} r \cdot (AB + BC + CA) = r \cdot p \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为内心到三角形三个顶点的距离相等。
  ✅ 正解：内心是到三边距离相等的点。到顶点距离相等的点是外心（三条边垂直平分线的交点）。
• ❌ 错误2：混淆角平分线和垂直平分线，导致找错内心和外心。
  ✅ 正解：角平分线是平分一个角的射线，一定在三角形内部。垂直平分线是垂直于一边并过该边中点的直线，不一定在形内。画图时务必区分清楚。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：三角形的内心一定在三角形的内部。（ ）
2. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 70^\circ \)，\( \angle B = 50^\circ \)，则 \( \angle BIC = \) ______°。
3. 若点 \( I \) 是 \( \triangle ABC \) 的内心，且 \( \angle BIC = 130^\circ \)，则 \( \angle A = \) ______°。
4. 三角形内切圆的圆心是三角形的______心。
5. 已知 \( \triangle ABC \) 的三边长分别为 5, 12, 13，则它的内切圆半径 \( r = \) ______。
6. 内心到三角形______的距离相等。
7. 画图题：请画出一个锐角三角形，并用尺规作图法作出它的内心（保留作图痕迹）。
8. 若 \( \triangle ABC \) 的面积为 24，周长为 24，则其内切圆半径为______。
9. 选择题：到三角形三边距离相等的点是（ ）A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
10. 如图，\( \odot I \) 是 \( \triangle ABC \) 的内切圆，\( \angle A = 80^\circ \)，则 \( \angle BIC = \) ______°。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，点 \( I \) 是内心，则 \( \angle BIC = \) ______°。
2. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC = 5 \)，\( BC = 6 \)，求其内切圆的半径。
3. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C = 90^\circ \)，\( AC = 3 \)，\( BC = 4 \)，\( \odot O \) 是内切圆，分别切 \( AB, BC, CA \) 于点 \( D, E, F \)。求 \( AD \) 的长。
4. 已知 \( \triangle ABC \) 三边 \( a, b, c \) 满足 \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac \)，判断这个三角形的形状，并求其内切圆半径与外接圆半径的比值。
5. （综合题）点 \( I \) 是 \( \triangle ABC \) 的内心，\( AI \) 的延长线交 \( \triangle ABC \) 的外接圆于点 \( D \)。求证：\( DB = DI = DC \)。
6. 在直角坐标系中，\( \triangle ABC \) 的三个顶点坐标为 \( A(0,0) \)，\( B(4,0) \)，\( C(0,3) \)。求内心 \( I \) 的坐标。
7. 若直角三角形两条直角边上的中线长分别为 5 和 \( \sqrt{40} \)，求这个直角三角形内切圆的半径。
8. 已知 \( \triangle ABC \) 的内切圆 \( \odot I \) 与三边分别切于 \( D, E, F \)。若 \( \triangle ABC \) 的周长为 \( C \)，\( AE = 4 \)，\( CD = 2 \)，\( BF = 3 \)，求三边长 \( a, b, c \)。
9. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( \angle C = 90^\circ \)，内切圆 \( \odot I \) 与斜边 \( AB \) 切于点 \( D \)，若 \( AD = 6 \)，\( BD = 4 \)，求 \( \triangle ABC \) 的面积。
10. 探究题：证明对于任意 \( \triangle ABC \)，内心 \( I \) 到顶点 \( A \) 的距离 \( AI \) 满足：\( AI = 4R \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) \)，其中 \( R \) 是外接圆半径。

第三关：生活应用（5道）

1. 【木工】一块三角形的优质木板（\( AB=90\text{cm}, BC=120\text{cm}, CA=150\text{cm} \)），木匠想在内部裁出一个最大的圆形桌面，这个圆桌面的半径最大是多少？
2. 【测量】为了测量一个不规则湖心岛（近似三角形）的面积，测量员在岛的三个顶点 \( A, B, C \) 设立标杆，并测得 \( AB = 520\text{m} \)，\( BC = 480\text{m} \)，\( CA = 500\text{m} \)。如果计划在岛上到三条岸边距离相等的位置建立一个观测站 \( I \)，观测站 \( I \) 到任意一边的最短直线距离是多少？（用于估算铺设管道的长度）
3. 【力学】一个均匀的三角形状金属板，如何用一根手指就能将它水平平稳地顶起来？请用数学原理说明支撑点的位置。
4. 【园林】一个直角三角形的花坛（两直角边分别为6米和8米），园丁想在花坛内部设计一个圆形喷灌区域，要求喷头安装在到花坛三条边距离都相等的位置，且喷灌范围（圆）不能超出花坛。求这个喷灌区域的最大面积。
5. 【游戏设计】在一个策略游戏中，一张地图被三条主要河流（可视为三条相交的直线）分割。玩家想建立一个要塞，要求到三条河流的防御距离（垂直距离）均相等。请问这样的位置有几个？在游戏地图上如何找到它们？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. ✅。内心是角平分线交点，角平分线必在形内，故交点在形内。
2. \( 115 \)。\( \angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(50^\circ + 60^\circ) = 115^\circ \)。
3. \( 80 \)。\( \angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 130^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)=50^\circ \Rightarrow \angle B + \angle C = 100^\circ \Rightarrow \angle A = 80^\circ \)。
4. 内心。
5. \( 2 \)。\( S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \), \( p = (5+12+13)/2 = 15 \), \( r = S/p = 30/15 = 2 \)。
6. 三边。
7. （略）
8. \( 2 \)。直接由 \( S = p \cdot r \) 得 \( r = 24 / 12 = 2 \)。
9. C。
10. \( 130 \)。公式：\( \angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \)。

第二关：

1. \( 120 \)。\( \angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \)。
2. \( r = \frac{3}{2} \)。等腰三角形，底边 \( BC=6 \)，腰 \( AB=AC=5 \)。作高 \( AD \)，由勾股定理 \( AD=4 \)，面积 \( S=12 \)。半周长 \( p=8 \)。\( r = S/p = 12/8 = 1.5 \)。
3. \( AD = 1 \)。设 \( AD = AF = x \), \( BD = BE = y \), \( CE = CF = z \)。则 \( x+y=5 \), \( y+z=4 \), \( z+x=3 \)。解得 \( x=2, y=3, z=1 \)。所以 \( AD = x = 2 \)。（注意：此题中 \( AB=5 \)，切点 \( D \) 在 \( AB \) 上，\( AD=AF \)，结果应为2，原题设问可能为求 \( AD \) 或 \( AF \)）
4. 等边三角形，比值 \( 1:2 \)。由条件得 \( (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \)，故 \( a=b=c \)。等边三角形内心、外心、重心合一。内切圆半径 \( r = \frac{\sqrt{3}}{6}a \)，外接圆半径 \( R = \frac{\sqrt{3}}{3}a \)，故 \( r:R = 1:2 \)。
5. 略（提示：连接 \( BI \)，证 \( \angle DBI = \angle DIB \)，利用外角等于不相邻两内角和以及圆周角定理）。
6. \( I(1,1) \)。\( a=BC=5 \), \( b=AC=3 \), \( c=AB=4 \)。内心坐标公式：\( x_I = \frac{5\times0 + 3\times4 + 4\times0}{5+3+4} = 1 \), \( y_I = \frac{5\times0 + 3\times0 + 4\times3}{5+3+4} = 1 \)。
7. \( r = 2 \)。设直角边为 \( a, b \)，斜边为 \( c \)。由中线长公式：\( (\frac{a}{2})^2 + b^2 = 5^2 \)，\( a^2 + (\frac{b}{2})^2 = (\sqrt{40})^2 \)。联立解得 \( a=4, b=4\sqrt{2} \) (或对称情况)。\( c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \)。\( r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{4+4\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{2} \)。（经检验，\( a=4, b=4\sqrt{2} \) 时，一条中线长恰为 \( \sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2} = \sqrt{24} = \sqrt{40} \) 不成立。正确解应为 \( a=6, b=4 \) 或 \( a=4, b=6 \)，此时 \( r = (6+4-2\sqrt{13})/2 \)）此题数据可能需调整，重在掌握方法。
8. \( a=BC=5, b=CA=6, c=AB=7 \)。设 \( AE=AF=x=4 \), \( BF=BD=y=3 \), \( CD=CE=z=2 \)。则 \( a = y+z = 5 \), \( b = z+x = 6 \), \( c = x+y = 7 \)。
9. \( S = 24 \)。设内切圆半径为 \( r \)。由切线长定理，\( AC = AD + r = 6 + r \), \( BC = BD + r = 4 + r \)。又 \( AB = AD + BD = 10 \)。由勾股定理：\( (6+r)^2 + (4+r)^2 = 10^2 \)。解得 \( r=2 \)（舍去负值）。所以 \( AC=8, BC=6 \)，面积 \( S=24 \)。
10. 略（提示：利用正弦定理和角平分线性质，在 \( \triangle ABI \) 和 \( \triangle AIC \) 中运用面积公式或正弦定理推导）。

第三关：

1. \( 30\text{cm} \)。三角形内部最大的圆即内切圆。三边构成直角三角形（勾股定理逆定理）。半周长 \( p = (90+120+150)/2 = 180\text{cm} \)。面积 \( S = (1/2)\times90\times120 = 5400\text{cm}^2 \)。半径 \( r = S/p = 5400/180 = 30\text{cm} \)。
2. 约 \( 100\sqrt{6} \text{ m} \)。观测站位置即为内心。先用海伦公式求面积：\( p = (520+480+500)/2 = 750 \), \( S = \sqrt{750\times230\times270\times250} = 100\sqrt{750\times23\times27} = 100\sqrt{465750} \approx 100\sqrt{466560} = 100\times683.28/100? \) 精确计算：\( S = 100\sqrt{(750)(230)(270)(250)/10^8} = 100\sqrt{(75\times23\times27\times25)} = 100\sqrt{(5^4\times3^4\times23)} = 100\times5^2\times3^2\times\sqrt{23} = 100\times25\times9\times\sqrt{23} = 22500\sqrt{23} \)。\( r = S/p = (22500\sqrt{23}) / 750 = 30\sqrt{23} \approx 143.7\text{m} \)。
3. 支撑点应位于三角形的重心（三条中线的交点）。因为均匀三角板的质心（即重心）在三条中线的交点上，且对于均匀物体，质心与重心重合。在重心处支撑，重力作用线通过支点，物体才能平衡。注意，内心是角平分线交点，不是物理上的平衡点。
4. \( 4\pi \text{ m}^2 \)。最大喷灌区域即内切圆。直角三角形，直角边 \( 6, 8 \)，斜边 \( 10 \)。内切圆半径 \( r = (6+8-10)/2 = 2\text{m} \)。面积 \( S = \pi r^2 = 4\pi \text{ m}^2 \)。
5. 有4个。分别是三角形的内心（在三条直线所围成的三角形内部）和三个旁心（在各内角外部，与其中一边和另外两边的延长线相切）。寻找内心：作任意两条直线的夹角平分线，其交点在三角形内即为内心。寻找旁心：作一个内角和另外两个外角的平分线，其交点即为一个旁心。