三角形三边关系存在法则核心应用与易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：存在法则 原理

• 核心概念：想象一下，你面前有一条宽阔的河流，左岸是点A，右岸是点B。现在要造一座笔直的桥连接两岸，桥的长度就是线段AB。但造桥的材料来自哪里呢？从别处运来太贵了！聪明的工程师想：我能不能从A点先走到上游的C点（形成边AC），再从C点走到B点（形成边CB），用这两段现成的路AC和CB来“拼”成这座桥呢？存在法则（三角形三边关系）就是告诉你这个“拼桥计划”是否可行的根本大法！判定存在：要想用AC和CB拼成从A到B的直达桥AB，必须保证AC和CB这两段路接在一起，真的比直达的AB长，即 \( AC + CB > AB \)。否则，两段路加起来都比桥短，你永远也够不到对岸！判定范围：同时，这两段路的长度不能差太多。如果AC远长于CB，那么 \( AC - CB \) 必须小于AB，否则长路AC弯到CB那里，会“弯过头”而够不到B点。把这三个关系总结起来，就是伟大的三角形存在法则：任意两边之和大于第三边，任意两边之差（的绝对值）小于第三边。
• 计算秘籍：已知一个三角形的两条边长为 \( a \) 和 \( b \) （设 \( a \ge b \)），求第三边 \( c \) 的取值范围。
  1. 根据“两边之和大于第三边”：\( c < a + b \)
  2. 根据“两边之差小于第三边”：\( c > a - b \)
  3. 合并得，\( c \) 的取值范围是：\( a - b < c < a + b \) （其中 \( c > 0 \)）

  口诀：第三边，夹中间；小于和，大于差。

• 阿星口诀：造桥先看河多宽，和差定边妙算来。两边之和须更大，两边之差还要小，第三边长跑不了！

📐 图形解析

我们用“造桥”模型来可视化存在法则。下图中，我们试图用路径 \( AC \) 和 \( BC \) 来“等价替代”或“构建”直接路径 \( AB \)。

核心公式：\( |AC - BC| < AB < AC + BC \)

如图所示，要想从A经C到达B，折线ACB（红色虚线）必须能“拉直”并覆盖直线AB（蓝色实线）。这要求AC和CB的总长（红色路径）必须大于AB（蓝色桥长），同时AC和CB的长度不能相差太悬殊（否则路径会严重弯曲，其“有效跨度”仍可能小于AB）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只记“两边之和大于第三边”，忘记“两边之差小于第三边”。在做已知两边求第三边范围时，只写出 \( c < a+b \)，漏掉 \( c > |a-b| \)。 → ✅ 正解：存在法则是双重判定。求范围时，必须同时考虑“和”与“差”两个不等式，将第三边“夹”在中间。
• ❌ 错误2：在应用“两边之差小于第三边”时，不比较大小直接减，得出负值或错误范围。例如已知两边为3和8，错误计算为 \( 3-8 = -5 < c \)，得出 \( c > -5 \) 的无意义结论。 → ✅ 正解：两边之差要取绝对值，或用较长边减较短边。正确计算应为 \( c > 8-3 \)，即 \( c > 5 \)。记住阿星口诀：“大边减小边，差值是下限”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 长度分别为 \( 2, 3, 4 \) 的三根小棒能摆成三角形吗？为什么？
2. 若三角形两边长为 \( 3 \) 和 \( 7 \)，则第三边 \( a \) 的取值范围是？
3. 判断：长度为 \( 5, 10, 14 \) 的线段能构成三角形。（ ）
4. 一个三角形的两边长是 \( 6 \) 和 \( 10 \)，写出第三边长的一个可能的整数值。
5. 已知三角形两边为 \( 1 \) 和 \( 4 \)，若第三边是整数，则其长度是多少？
6. 小颖想用木条钉一个三角架，已有两根长分别为 \( 30cm \) 和 \( 50cm \) 的木条，她需要再找一根长度在什么范围内的木条？
7. 三角形三边长是三个连续的整数，中间那个数是 \( 8 \)，求这个三角形的周长。
8. 若等腰三角形一边长 \( 5cm \)，另一边长 \( 10cm \)，则它的周长是 \( \_\_\_ cm \)。
9. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ）。 A. \( 3, 4, 8 \) B. \( 8, 7, 15 \) C. \( 13, 12, 20 \) D. \( 5, 5, 11 \)
10. 一个三角形的两边长分别是 \( 2 \) 和 \( 5 \)，且周长是偶数，则第三边长是多少？

第二关：中考挑战（10道）

1. （易错题）已知 \( a, b, c \) 是 \( \triangle ABC \) 的三边长，化简 \( |a+b-c| - |b-a-c| \)。
2. 若三角形两边长分别为 \( 2 \) 和 \( 5 \)，第三边长为奇数，则这个三角形的周长可能是（ ）。 A. \( 10 \) B. \( 11 \) C. \( 12 \) D. \( 13 \)
3. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 \( 15 \) 和 \( 6 \) 两部分，求这个等腰三角形的底边长。
4. 若三角形的三边长分别为 \( x, x+1, x+2 \)，则 \( x \) 的取值范围是？
5. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=9 \)，\( AC=5 \)，那么 \( BC \) 边上的中线 \( AD \) 的取值范围是？
6. 已知 \( a, b, c \) 为三角形的三边，且满足 \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac \)，试判断此三角形的形状。
7. 在平行四边形 \( ABCD \) 中，对角线 \( AC \) 与 \( BD \) 相交于点 \( O \)，\( AB=7 \)，\( AC=10 \)，求 \( BD \) 的取值范围。
8. 若三角形的两边长是 \( 3 \) 和 \( 6 \)，第三边是方程 \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) 的根，则该三角形的周长是？
9. 已知 \( D, E \) 是 \( \triangle ABC \) 内两点，求证：\( AB + AC > BD + DE + EC \)。
10. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AC=2 \)，\( BC=5 \)，若 \( AB \) 边上的高为 \( 3 \)，求 \( AB \) 的长（考虑多解情况）。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量问题） 为了测量池塘两端A、B的距离，小亮在池塘外取一点C，连接AC并延长到D，使 \( CD=CA \)，连接BC并延长到E，使 \( CE=CB \)。连接DE，测得 \( DE=35 \) 米。请问AB的距离一定是35米吗？运用三角形三边关系说明理由。
2. （工程选址） 某工厂位于点A，仓库位于点B，现计划在河边直线l上修建一个货运码头C，使得从工厂到码头再到仓库的总路程 \( AC+CB \) 最短。已知A、B到河岸的距离不同，如何用几何方法确定点C的位置？这与三角形三边关系有什么深层联系？
3. （结构力学） 为什么自行车架、桥梁桁架、屋顶房梁大多采用三角形结构，而不是四边形结构？从“存在法则”的稳定性角度解释。
4. （机器人路径） 一个机器人在平面直角坐标系中从点 \( (0,0) \) 出发，每次移动只能沿坐标轴方向走整数单位长度。它能否通过三次移动（例如：上、右、下）恰好到达点 \( (2,0) \) ？用“折线长度与直线长度”的关系思考。
5. （数据传输） 网络中有三个服务器节点A、B、C，已知它们两两之间的网络延迟（可视为距离）分别为 \( 10ms, 12ms, x \)。为了保证从A到B的数据至少有两条冗余路径（A→B 和 A→C→B），且直接路径A→B不是永远最快的，试确定延迟 \( x \) 的取值范围。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. 能。因为 \( 2+3=5>4 \)，且最小两边 \( 2+3>4 \)。
2. \( 7-3 < a < 7+3 \)，即 \( 4 < a < 10 \)。
3. 能。\( 5+10=15>14 \)，且 \( 14-10=4<5 \)。
4. 答案不唯一，在 \( 4 < x < 16 \) 之间的整数均可，如 8。
5. \( 4-1 < c < 4+1 \)，即 \( 3 < c < 5 \)，整数解只有 \( c=4 \)。
6. 设第三根木条长 \( L \)，则 \( 50-30 < L < 50+30 \)，即 \( 20cm < L < 80cm \)。
7. 三边为 \( 7, 8, 9 \)，周长为 \( 24 \)。
8. 若腰为5，底为10，则 \( 5+5=10 \)，不能构成三角形；若腰为10，底为5，周长 \( 10+10+5=25cm \)。
9. C。A: \(3+4<8\); B: \(8+7=15\); D: \(5+5<11\)。
10. 第三边 \( c \) 满足 \( 3 < c < 7 \)，整数可能为 \( 4, 5, 6 \)。周长分别为 \( 11, 12, 13 \)，其中偶数为12，故 \( c=5 \)。

第二关：中考挑战（部分）
1. 解：由三角形三边关系知，\( a+b-c>0 \)，\( b-a-c = b-(a+c) < 0 \)。原式 \( = (a+b-c) - [-(b-a-c)] = a+b-c+b-a-c = 2b-2c \)。
2. C。第三边 \( c \) 满足 \( 3 < c < 7 \)，奇数为5。周长为 \( 2+5+5=12 \)。
3. 解：设腰长为 \( 2x \)，底为 \( y \)。分两种情况：① \( 3x=15, x+y=6 \)，得 \( x=5, y=1 \)，三边为10,10,1，检验 \( 10+1>10 \) 成立。② \( 3x=6, x+y=15 \)，得 \( x=2, y=13 \)，三边为4,4,13，检验 \( 4+4<13 \) 不成立。故底边长为 \( 1 \)。
4. 解：由 \( x + (x+1) > x+2 \)，得 \( x>1 \)。且 \( (x+2) - x < x+1 \) 恒成立。故 \( x > 1 \)。
5. 解：倍长中线法。延长 \( AD \) 至 \( E \)，使 \( DE=AD \)，连接 \( BE \)。则 \( AC=BE=5 \)。在 \( \triangle ABE \) 中，\( AB-BE < AE < AB+BE \)，即 \( 9-5 < 2AD < 9+5 \)，所以 \( 2 < AD < 7 \)。
（其余解析略）

第三关：生活应用（思路点拨）
1. 不一定。由 \( \triangle ACB \cong \triangle DCE \) (SAS) 可得 \( AB=DE=35 \) 米。这里用到了全等，但全等的前提是 \( A, C, D \) 和 \( B, C, E \) 分别共线，这需要测量精度保证，否则会构成两个三角形，\( AB \) 与 \( DE \) 的关系将变得复杂，符合三边关系但不一定相等。
2. 作点A关于直线l的对称点A‘，连接A’B交l于C，点C即为所求。原理：\( AC+CB = A‘C+CB = A’B \)，根据“两点之间线段最短”，A’B是A到B经过l上一点的最短路径。深层联系：对于任意异于C的点C‘，在 \( \triangle A‘C‘B \) 中，有 \( A‘C‘+C‘B > A’B \)，这正是“两边之和大于第三边”的直接应用。
3. 三角形一旦三边长度确定，其形状和大小就唯一确定了，具有稳定性。而四边形四边长度确定，其形状可以改变（具有不稳定性）。从存在法则看，三角形三边相互制约，任意一边的变动都必须受制于另外两边，从而锁定结构。
4. 不能。三次移动的总路径（折线）长度至少为3，而起点到终点的直线距离为2。根据“折线长度 > 直线距离”（三角形不等式在折线上的推广），要想用三段折线连接两点，其总长必须大于这两点的直线距离。除非走回头路，否则三段移动的最小总路径长大于2，但终点又是(2,0)，看似矛盾。实际上，可以验证所有可能的移动序列，都无法满足。
5. 路径A→C→B的延迟为 \( 10 + x \)，直接路径A→B延迟为 \( 12 \)。要求冗余意味着两条路径都需存在（即A、B、C能构成三角形），且直接路径不是永远最快，即存在 \( x \) 使得 \( 10+x < 12 \)。由存在法则：\( |10-12| < x < 10+12 \)，即 \( 2 < x < 22 \)。由非最快条件：\( 10+x < 12 \)，得 \( x < 2 \)。两者交集为空。因此，要使A→B不是永远最快，同时网络又满足三角形不等式，是不可能的。这意味着，在此数据下，要么网络结构不满足三角不等式（现实中有可能），要么A→B总是最快的或至少并列最快的路径。