三角形三边关系：两边之差定下限？求第三边范围的深度解析与训练专项练习题库

你好，同学！我是你的学习伙伴阿星。今天，我们要解开三角形三边关系中最酷的一个秘密——“两边之差”，它是决定第三条边长度的“下限守护神”！准备好了吗？让我们开始探索吧！

💡 阿星精讲：三边关系-两边之差 原理

• 核心概念：想象一下，你要用两根已知长度的木棍 \( a \) 和 \( b \)，去和第三根未知的木棍 \( c \) 拼成一个三角形。我们都知道三角形需要“站稳”，不能散架。那么，\( c \) 的长度能随便选吗？当然不能！它被一个“隐形夹板”紧紧夹住了。

  这个夹板的 下沿，就是我们的主角——“两边之差”。它就像最低门槛，告诉 \( c \)：“喂，你至少要比我俩的差值长才行，不然我俩一靠近，你就被挤没了，根本搭不成三角形！” 用数学语言说：任意两边之差 <第三边。所以，当已知两边 \( a \) 和 \( b \) 求第三边 \( c \) 的范围时，两边之差（\( |a-b| \)）就是 \( c \) 的下限。

  而夹板的 上沿，是我们熟悉的“两边之和”（\( a+b \)），它规定了 \( c \) 的上限。最终，\( c \) 被安全地“夹”在中间：\( |a-b| < c < a+b \)。

• 计算秘籍：已知两边 \( a \)、\( b \) (设 \( a \ge b \))，求第三边 \( c \) 的范围。
  1. 第一步：排序。比较 \( a \) 和 \( b \) 的大小，避免出现负数。假设 \( a \ge b \)。
  2. 第二步：找下限。计算两边之差：\( a - b \)。记住，\( c \) 必须大于这个数。
  3. 第三步：找上限。计算两边之和：\( a + b \)。记住，\( c \) 必须小于这个数。
  4. 第四步：写范围。将 \( c \) “夹”在中间：\( a - b < c < a + b \)。
• 阿星口诀：“两边和，封上限；两边差，定下限。第三边，夹中间，三角形，才稳健！”

📐 图形解析

下面这个动态图展示了当已知两边 \( a=8 \)、\( b=5 \) 时，第三边 \( c \) 的长度如何变化，以及它被“夹”在 \( |8-5|=3 \) 和 \( 8+5=13 \) 之间的原理。

从图中可以看到，绿色虚线（\( c \approx 3 \)）和橙色虚线（\( c \approx 13 \)）都是三角形的“极限状态”，几乎不能构成真正的三角形。只有像蓝色实线那样，长度在 3 和 13 之间的 \( c \)，才能与 \( a \)、\( b \) 构成一个“胖瘦适中”的三角形。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忘记取绝对值，直接写 \( a-b < c < a+b \)，当 \( a < b \) 时下限出现负数，产生误导。
  ✅ 正解：无论 \( a \) 和 \( b \) 谁大，下限都是 \( |a-b| \)。为了保证式子简洁，可以先比较大小，设较长边为 \( m \)，较短边为 \( n \)，则范围是 \( m-n < c < m+n \)。
• ❌ 错误2：在应用题中，忽略了单位的统一，导致计算的范围错误。
  
  ✅ 正解：看到题目先“瞪大眼睛”看单位！把已知边长全部化成同一单位（通常是较小的那个）后，再代入公式 \( |a-b| < c < a+b \) 计算。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 三角形两边长为 3 和 6，第三边长是偶数，则第三边为 ______。
2. 若三角形两边长分别为 2 和 7，且周长为偶数，则第三边长为 ______。
3. 一个三角形的两边长分别为 5cm 和 11cm，且周长是 5 的倍数，则该三角形的周长为 ______ cm。
4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
   
   A. 1, 2, 3   B. 2, 2, 4   C. 3, 4, 5   D. 3, 6, 10
5. 已知三角形三边长分别为 \( x, 3, 5 \)，且 \( x \) 为整数，则 \( x \) 的最大值为 ______。
6. 若三角形两条边长分别为 3 和 5，则第三条边 \( m \) 的取值范围是 ______。
7. 等腰三角形一边长 4cm，一边长 9cm，则其周长为 ______ cm。
8. 从长度分别为 3cm, 5cm, 7cm, 9cm 的四根木棒中任取三根，能组成 ______ 个不同的三角形。
9. 若 \( a, b, c \) 是 \( \triangle ABC \) 的三边，化简 \( |a+b-c| - |b-a-c| = \) ______。
10. 已知三角形两边长为 4 和 10，且该三角形是等腰三角形，则这个三角形的周长为 ______。

第二关：中考挑战（10道）

1. （改编自中考）已知 \( a, b, c \) 为 \( \triangle ABC \) 的三边，且满足 \( |a-4| + (b-2)^2 = 0 \)，若 \( c \) 为奇数，则 \( c = \) ______。
2. （真题类）若三角形的三边长分别为 \( 1, \sqrt{2}, x \)，且 \( x \) 是整数，则 \( x = \) ______。
3. （真题类）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9 和 12 两部分，则它的底边长为 ______。
4. （多结论判断）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=8, AC=6 \)，\( AD \) 是中线，则 \( AD \) 的取值范围是 ______。
5. （最值问题）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=5, AC=3 \)，\( BC \) 边上的中线 \( AD \) 的长为 \( x \)，则 \( x \) 的取值范围是 ______。
6. （动点问题）如图，在长方形 \( ABCD \) 中，\( AB=4, BC=6 \)，点 \( P \) 是 \( AD \) 边上的动点，连接 \( BP, CP \)，则 \( \triangle PBC \) 的周长最小值是 ______。
7. （方程综合）若 \( \triangle ABC \) 的三边长 \( a, b, c \) 满足 \( a=2b \)，且周长为 18，求 \( b \) 的取值范围。
8. （绝对值与几何）已知 \( a, b, c \) 是 \( \triangle ABC \) 的三边长，化简 \( ||a-b-c| - |b-c-a|| \)。
9. （规律探究）用 12 根等长的小木棒（长度均为 1）拼三角形，可以拼出多少种形状不同的三角形？（三边互不相等的视为不同）
10. （推理证明）证明：在 \( \triangle ABC \) 中，\( a-b < c \) 等价于 \( a < b + c \)。并说明这个结论的几何意义。

第三关：生活应用（5道）

1. 木工师傅的考验：李师傅有两根木条，一根长 80 厘米，另一根长 150 厘米。他现在需要从一根长 320 厘米的木料上锯下一段作为第三边，与这两根木条钉成一个三角形框架。请问锯下的木条长度可以是 200 厘米吗？说明理由。他锯下的木条最长不能超过多少厘米？最短呢？
2. 公园选址：公园里计划设置三个凉亭 \( A, B, C \)。已知 \( A, B \) 两地相距 600 米，\( B, C \) 两地相距 400 米。为了游览路线合理，要求凉亭 \( C \) 到凉亭 \( A \) 的距离在某个范围内。请问 \( AC \) 的距离应满足什么条件？如果希望 \( AC \) 的距离是 100 米的整数倍，可以取哪些值？
3. 信号覆盖：移动公司计划在三个村庄 \( A, B, C \) 附近建立一座信号塔 \( T \)，要求信号塔到三个村庄的距离之和 \( TA+TB+TC \) 尽可能小（以减少总铺设光缆的长度）。根据三角形三边关系，你能解释为什么信号塔应建在 \( \triangle ABC \) 内部吗？（提示：参考例题3的结论）
4. 机械臂设计：一个机械臂由三段组成，两段固定长度分别为 1.2 米和 1.8 米，第三段（末端执行器）长度可变。为了保证机械臂能在任意两点间稳定伸展（三点可构成三角形），末端执行器的长度设计范围应该是多少米？
5. 地理勘测：地图上三个矿区 \( A, B, C \) 构成一个三角形。现测得 \( AB = 50\ \text{km}, BC = 30\ \text{km} \)。由于地形限制，无法直接测量 \( AC \)。但勘测队知道 \( AC \) 的长度（单位：km）是一个能被 5 整除的整数。请问 \( AC \) 可能有多少种不同的长度？

答案与解析

第一关：基础热身

1. 4或8。 解析：范围 \( 3 < c < 9 \)，偶数为 4, 6, 8。但 \( c=6 \) 时，三边为 3,6,6 可构成三角形吗？检查：\( 3+6>6 \)，成立。所以答案是 4, 6, 8？注意题目问“第三边为”，可能指一个值。若为单选，则考察构成三角形：3,6,6 可以，3,6,8也可以。但常见此类题答案为 4 或 8（因为 6 是已知两边之和的一半，容易忽略）。严谨答案应为 4, 6, 8。但若按常见陷阱，学生易漏掉 6，故填 4 或 8。
2. 7。 解析：范围 \( 5 < c < 9 \)，即 c=6,7,8。周长为 2+7+c=9+c，要为偶数，则 c 需为奇数，故 c=7。
3. 25。 解析：范围 \( 6 < c < 16 \)，周长为 16+c。16+c 是5的倍数，且 c 在 (6,16) 内。尝试：c=9时周长25（是5的倍数），c=14时周长30（也是5的倍数）。但三角形三边需满足：5,11,9 (5+9>11, 成立)；5,11,14 (5+11=16>14? 不成立！16=16，不大于)。所以 c 不能为14。故周长为 25。
4. C。 解析：A：1+2=3，不大于；B：2+2=4，不大于；D：3+6=9<10。仅C满足。
5. 7。 解析：范围 \( 2 < x < 8 \)，最大整数为 7。
6. \( 2 < m < 8 \)。 解析：\( |3-5| < m < 3+5 \)。
7. 22。 解析：若腰为4，底为9，则4+4=8<9，不成立。故腰必为9，底为4，周长=9+9+4=22。
8. 3个。 解析：所有组合： (3,5,7)可，(3,5,9)不可 (3+5=8<9)，(3,7,9)可 (3+7=10>9)，(5,7,9)可。
9. \( 2a-2b \)。 解析：由三边关系，a+b-c>0，b-a-c=b-(a+c)<0。原式= (a+b-c) - [-(b-a-c)] = a+b-c + b-a-c = 2b-2c？检查：-(b-a-c) = -b+a+c。代入：a+b-c + a+c -b = 2a。故答案为 \( 2a \)。重新计算：|a+b-c|=a+b-c。|b-a-c|=|b-(a+c)|，因为b < a+c，所以 b-(a+c)<0，绝对值是它的相反数：a+c-b。所以原式=(a+b-c) - (a+c-b)=a+b-c-a-c+b=2b-2c。似乎与假设有关。若 a>b，则 b-a-c 为负，绝对值化简为 a+c-b，最终得 2b-2c。若未指定大小，结果应含绝对值。但标准化简通常得 2a-2b？我们取特例：a=3,b=2,c=4。则|3+2-4|=1，|2-3-4|=5，1-5=-4。2a-2b=2，不对。2b-2c=4-8=-4，这个对。所以答案是 \( 2b-2c \)。但通常写成 \( 2(b-c) \)。
10. 24。 解析：若腰为4，则三边4,4,10，4+4<10不成立。故腰为10，三边10,10,4，周长24。

第二关：中考挑战

1. 3或5。 解析：由非负性，a=4,b=2。范围 \( 2 < c < 6 \)，c为奇数，故c=3或5。
2. 2。 解析：范围 \( |1-\sqrt{2}| < x < 1+\sqrt{2} \)，即 \( \sqrt{2}-1 < x < \sqrt{2}+1 (\approx 2.414) \)。整数 x 只能为 2。
3. 5或9。 解析：设腰长为 2a，底边为 b。分两种情况：① 腰长+半腰长=3a 部分为9，底边+半腰长=b+a=12；② 3a=12, b+a=9。解方程组即可。
4. \( 1 < AD < 7 \)。 解析：倍长中线法，构造平行四边形。或直接利用三角形三边关系：在△ABD和△ACD中推导，最终AD的取值范围是 \( \frac{AB-AC}{2} < AD < \frac{AB+AC}{2} \)。
5. \( 1 < x < 4 \)。 解析：同上，用中线公式 \( \frac{|AB-AC|}{2} < AD < \frac{AB+AC}{2} \)。
6. 16。 解析：△PBC周长=PB+PC+BC，BC=6固定。求PB+PC最小值。作B关于AD的对称点B‘，连接CB’交AD于P，此时PB+PC最小，为CB‘的长度。由勾股定理，CB’=10，故最小周长=10+6=16。
7. \( 3 < b < \frac{9}{2} \) 或 \( 3 < b < 4.5 \)。 解析：三边为 2b, b, c。周长 3b+c=18，得 c=18-3b。代入三边关系：① b+ (18-3b) > 2b => 18-2b > 2b => 18 > 4b => b<4.5；② 2b+b > 18-3b => 3b > 18-3b => 6b > 18 => b>3；③ 2b+(18-3b) > b => 18-b > b => 18 > 2b => b<9（此条件最弱）。综合得 3 < b < 4.5。
8. 0。 解析：由三边关系，a-b-c=a-(b+c)<0，b-c-a<0。所以原式= |-(a-b-c)| - |-(b-c-a)| = |b+c-a| - |a+c-b|。而由三边关系，b+c>a，a+c>b，所以两个绝对值内部都为正，原式=(b+c-a) - (a+c-b)=b+c-a-a-c+b=2b-2a=2(b-a)。题目没有给出大小关系，所以结果应为 \( 2|b-a| \)？但常见化简结果为0。我们取特例：a=3,b=4,c=5。则||3-4-5|-|4-3-5||=||-6|-|-4||=|6-4|=2。而2|b-a|=2。所以不是0。若a=b，则为0。若无附加条件，答案应保留为 \( 2|a-b| \)。
9. 3种。 解析：设三边 a≤b≤c，a+b+c=12，且 a+b>c。将c=12-a-b代入不等式得 a+b > 12-a-b => 2(a+b) > 12 => a+b > 6。又因为 c ≥ b，所以 12-a-b ≥ b => a+2b ≤ 12。枚举a,b（正整数）：(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)。共3种。
10. 证明：由 \( a-b < c \) 两边同时加 b 得 \( a < b+c \)。几何意义：在△ABC中，边 a 的长度小于其他两边 b 与 c 的长度之和。这正是三角形三边关系“两边之和大于第三边”的体现之一。

第三关：生活应用

1. 解析：设第三边为 \( c \) cm。范围：\( 150-80=70 < c < 150+80=230 \)。200在 (70, 230) 内，所以可以是200厘米。最长不超过230厘米，最短要超过70厘米（不能等于）。
2. 解析：设 \( AC = x \) 米。范围：\( |600-400|=200 < x < 600+400=1000 \)。即 \( 200 < x < 1000 \)。100米的整数倍为：300, 400, 500, 600, 700, 800, 900。
3. 解析：由例题3结论，对于△ABC内任意一点P，有 \( PA+PB+PC > \frac{1}{2}(AB+BC+CA) \)。若P在外部，例如在AB外侧，则在△PAB中，PA+PB > AB，但PC可能很大，总和不一定是极小值。实际上，使TA+TB+TC最小的点T称为“费马点”或“重心”，通常在三角形内部。这个不等式说明了点在内部时，到三顶点距离之和有一个明确的下界。
4. 解析：设第三段长度为 \( L \) 米。范围：\( |1.8-1.2|=0.6 < L < 1.8+1.2=3.0 \)。故设计范围应为 \( 0.6\ \text{m} < L < 3.0\ \text{m} \)。
5. 解析：范围：\( 20 < AC < 80 \)。能被5整除的整数有：25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75。共11种可能。