三角形三边关系：两边之和大于第三边原理深度解析与易错题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：三边关系-两边之和 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊三角形的“存在法则”。你可以把三条线段想象成三个想手拉手围成一圈的小伙伴（三角形）。“任意两边之和大于第三边”就是这个圈能围起来的最低门槛！如果其中两条边加起来的长度，还没有第三条边长，那它们就算拼命拉手，中间也会有个大缺口，根本围不起来。这个法则就是数学世界的“质检员”，专门负责判断三条线段能不能胜任“三角形”这个职位。
• 计算秘籍：给定三条线段长度 \( a \)， \( b \)， \( c \)（\( a > 0, b > 0, c > 0 \)），要判断它们能否构成三角形，必须同时满足三个不等式：
  1. \( a + b > c \)
  2. \( a + c > b \)
  3. \( b + c > a \)

  简单说，就是最短的两边之和 > 最长边。检查时，先找出最长边，只要验证这一组不等式成立即可。

• 阿星口诀：三边关系真奇妙，两和大于第三边，否则根本围不了。

📐 图形解析

为什么“两边之和必须大于第三边”？想象一下，把边 \( a \) 和边 \( b \) 从端点处连接，就像下图所示：

数学解释：在 \(\triangle ABC\) 中，从 \(B\) 到 \(C\) 的最短路径是直线段 \(BC\)，其长度为 \(a\)。任何折线路径（如 \(B \to A \to C\)）的长度 \(c + b\) 都必须大于这条最短路径。因此，必须有 \(b + c > a\)。同理可得其他两个不等式。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只检查 \(a + b > c\)，就断定能组成三角形。
  ✅ 正解：必须检查“任意”两边之和大于第三边，总共三组不等式。或者，找出最长边 \(c\)，只需验证 \(a + b > c\) 即可。
• ❌ 错误2：已知等腰三角形两边长为 \(5\) 和 \(2\)，认为周长可以是 \(5+5+2=12\)。
  ✅ 正解：如果腰为 \(2\)，底为 \(5\)，则 \(2+2=4 < 5\)，不满足三边关系。所以腰只能是 \(5\)，周长应为 \(5+5+2=12\) 或 \(5+2+2=9\)？再检验 \(5, 2, 2\)：\(2+2=4 < 5\)，不成立！因此只有 \((5,5,2)\) 一种情况，周长 \(=5+5+2=12\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：长度分别为 \(2, 3, 4\) 的三条线段能围成三角形吗？
2. 判断：长度分别为 \(1, 4, 5\) 的三条线段能围成三角形吗？
3. 判断：长度分别为 \(6, 8, 10\) 的三条线段能围成三角形吗？
4. 若三角形两边长为 \(3\) 和 \(6\)，第三边长为偶数，则第三边长是多少？
5. 等腰三角形一边长 \(4\text{cm}\)，另一边长 \(9\text{cm}\)，则它的周长是多少 \(\text{cm}\)？
6. 三角形三边长均为整数，两边长分别为 \(2\) 和 \(5\)，则第三边可能的长是多少？
7. 一个三角形的两边长分别为 \(5\) 和 \(9\)，则第三边 \(x\) 的取值范围是？
8. 用一根 \(18\text{cm}\) 长的铁丝围成一个三边均为整数的三角形，有多少种围法？
9. 若 \(a, b, c\) 是 \(\triangle ABC\) 的三边，化简：\(|a+b-c| - |b-a-c|\)。
10. 已知 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=5\)，\(AC=3\)，则 \(BC\) 边的长度范围是？

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题) 已知三角形三边长分别为 \(x, 3, 4\)，且 \(x\) 为整数，则满足条件的三角形共有多少个？
2. (中考真题) 若等腰三角形的两边长分别是 \(3\) 和 \(7\)，则它的周长是？
3. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=8\)，\(AC=6\)，\(AD\) 是 \(BC\) 边上的中线，求 \(AD\) 的取值范围。
4. 已知 \(a, b, c\) 为三角形的三边，且满足 \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac\)，试判断这个三角形的形状。
5. 三角形两边长为 \(2\) 和 \(7\)，其周长为偶数，求第三边长及三角形周长。
6. 已知 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内任意一点，求证：\(PA + PB + PC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\)。
7. 若三角形的三边长分别为 \(1-2a\), \(3a-2\), \(4\)，求实数 \(a\) 的取值范围。
8. 现有两根木棒，长度分别是 \(5\text{dm}\) 和 \(7\text{dm}\)，如果不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，请问第三根木棒的长度范围是多少？
9. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，对角线 \(AC\) 和 \(BD\) 相交于 \(O\)。若 \(AB=5\)， \(AC=8\)， 求 \(BD\) 的取值范围。
10. 已知 \(D, E\) 是 \(\triangle ABC\) 的边 \(BC\) 上的两点，且 \(BD=DE=EC\)。求证：\(AB+AC > AD+AE\)。

第三关：生活应用（5道）

1. 【木工应用】 一位木工师傅有长度分别为 \(3\) 米、\(5\) 米和 \(7\) 米的三根木料，他需要制作一个三角形框架。他能直接用这些木料做成吗？如果不行，他至少需要将哪根木料锯短多少米？（假设锯短后木料长度仍为整数米）
2. 【公园设计】 公园里要开辟一个三角形的花坛，现已在设计图上标出两边长度分别为 \(8m\) 和 \(15m\)。为了美观，设计师希望第三边长度为整数米，且花坛的周长不超过 \(40m\)。符合条件的设计方案有几种？
3. 【最短路程】 如图，\(A\)、\(B\) 两个村庄分别在河 \(l\) 的两侧。现要在河边修建一个水泵站 \(P\)，分别向两村供水。若要使铺设的输水管道 \(PA+PB\) 的总长度最短，水泵站 \(P\) 应修建在何处？请用三角形三边关系解释为什么该点是最短的。
   
4. 【结构强度】 在工程学中，三角形结构具有稳定性。如果一个钢结构三角架的两条钢梁长度固定为 \(2\) 米和 \(3\) 米，为了确保结构稳定（即能构成三角形），连接它们的第三条钢梁的长度范围是多少米？（精确到 \(0.1\) 米）
5. 【测量估算】 小明想估算池塘两端 \(A\)、\(B\) 两点的距离。他在池塘外选了一点 \(C\)，测量得 \(CA = 30m\)， \(CB = 25m\)，并测得 \(AB\) 的长度约为 \(10m\)。仅从数学原理判断，他的测量数据可能准确吗？为什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. ✅ \(2+3>4\)，能。
2. ❌ \(1+4=5\)，不能。
3. ✅ \(6+8>10\)，能。
4. 设第三边为 \(x\)，则 \(6-3 < x < 6+3\)，即 \(3 < x < 9\)。\(x\) 为偶数，故 \(x=4, 6, 8\)。
5. 若腰为 \(4\)，底为 \(9\)，则 \(4+4=8<9\)，舍去。若腰为 \(9\)，底为 \(4\)，则 \(9+9>4\)，\(9+4>9\)，成立。周长 \(=9+9+4=22(\text{cm})\)。
6. 第三边 \(x\) 满足 \(5-2 < x < 5+2\)，即 \(3 < x < 7\)。整数 \(x\) 可为 \(4, 5, 6\)。
7. \(9-5 < x < 9+5\)，即 \(4 < x < 14\)。
8. 设三边为 \(a \ge b \ge c > 0\)，且 \(a+b+c=18\)，\(a < b+c \Rightarrow a < 9\)。枚举所有整数解，共 \(7\) 种：(8,8,2),(8,7,3),(8,6,4),(8,5,5),(7,7,4),(7,6,5),(6,6,6)。
9. 由三边关系，\(a+b-c>0\)，\(b-a-c = b-(a+c) < 0\)。原式 \(=(a+b-c) - [-(b-a-c)] = a+b-c+b-a-c = 2b-2c\)。
10. \(5-3 < BC < 5+3\)，即 \(2 < BC < 8\)。

第二关：中考挑战
1. 由 \(4-3 < x < 4+3\)，得 \(1 < x < 7\)。整数 \(x\) 可为 \(2,3,4,5,6\)，共5个。
2. 腰为 \(3\) 时，三边\(3,3,7\)，\(3+3=6<7\)，舍去。腰为 \(7\) 时，三边\(7,7,3\)，成立。周长 \(=17\)。
3. 延长 \(AD\) 至点 \(E\)，使 \(DE=AD\)，连接 \(BE\)。易证 \(\triangle ADC \cong \triangle EDB\)，得 \(BE=AC=6\)。在 \(\triangle ABE\) 中，\(AB-BE < AE < AB+BE\)，即 \(8-6 < 2AD < 8+6\)，所以 \(1 < AD < 7\)。
4. 由已知得 \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)，即 \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)，所以 \(a=b=c\)，是等边三角形。
5. 设第三边为 \(x\)，则 \(7-2 < x < 7+2\)，即 \(5 < x < 9\)。周长为 \(7+2+x=9+x\) 为偶数，则 \(x\) 为奇数。在 \((5,9)\) 内奇数为 \(7\)。第三边为 \(7\)，周长 \(16\)。
6. 在 \(\triangle PAB\) 中，\(PA+PB > AB\)；在 \(\triangle PBC\) 中，\(PB+PC > BC\)；在 \(\triangle PCA\) 中，\(PC+PA > CA\)。三式相加得 \(2(PA+PB+PC) > AB+BC+CA\)，即 \(PA+PB+PC > \frac{1}{2}(AB+BC+CA)\)。
7. 需同时满足：\(\begin{cases} (1-2a)+(3a-2) > 4 \\ (1-2a)+4 > 3a-2 \\ (3a-2)+4 > 1-2a \end{cases}\) 解不等式组得 \(\frac{1}{2} < a < \frac{7}{5}\)。
8. \(7-5 < L < 7+5\)，即 \(2 < L < 12\) (单位：dm)。
9. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(8-5 < BC < 8+5\)，即 \(3 < BC < 13\)。在 \(\triangle OAB\) 中，\(OB > |AB - OA|\)。又 \(AO = AC/2 = 4\)，所以 \(OB > |5-4| = 1\)，且 \(OB < 5+4=9\)。所以 \(BD = 2OB\) 的取值范围是 \(2 < BD < 18\)。
10. 在 \(\triangle ABD\) 和 \(\triangle AEC\) 中，\(AB+AD > BD = DE\)，\(AC+AE > EC = DE\)。两式相加得 \(AB+AC+AD+AE > 2DE\)。又 \(AD+AE > DE\) (在 \(\triangle ADE\) 中)，所以结论成立（此题为经典几何不等式，可用面积法或构造辅助线证明更强结论）。

第三关：生活应用
1. 能。\(3+5=8>7\)，可直接使用。
2. 设第三边为 \(x\) m，则 \(15-8 < x < 15+8\)，即 \(7 < x < 23\)。周长 \(C = 8+15+x = 23+x \le 40\)，得 \(x \le 17\)。综合得 \(7 < x \le 17\)，且 \(x\) 为整数，故 \(x\) 可取 \(8,9,10,11,12,13,14,15,16,17\)，共10种方案。
3. 作点 \(A\) 关于直线 \(l\) 的对称点 \(A'\)，连接 \(A'B\) 交 \(l\) 于 \(P\)，则 \(P\) 点即为所求。理由：在 \(l\) 上任取另一点 \(P'\)，连接 \(AP', BP', A'P'\)。则 \(AP' = A'P'\)。在 \(\triangle A'P'B\) 中，\(A'P' + P'B > A'B = A'P + PB = AP + PB\)。即 \(AP' + P'B > AP + PB\)，故 \(AP+PB\) 最短。
4. 根据三角形三边关系，第三边 \(L\) 需满足：\(3-2 < L < 3+2\)，即 \(1 < L < 5\)。因此长度范围是 \(1.1\text{m} \le L \le 4.9\text{m}\)（按工程精度 \(0.1\text{m}\) 计）。
5. 不可能准确。如果 \(CA=30\), \(CB=25\), 那么在 \(\triangle CAB\) 中，边 \(AB\) 必须满足 \(|CA - CB| < AB < CA + CB\)，即 \(5 < AB < 55\)。虽然 \(10\) 在这个范围内，但这是数学上的可能性。问题在于“测得 \(AB\) 约为 \(10m\)”，说明 \(AB\) 是直接测量或估算的，这里是用三边关系检验测量数据的内在一致性。仅凭这三个数，数学上可以构成三角形（\(10\) 在 \(5\) 和 \(55\) 之间），所以单从数学原理无法断定测量不准。但若实际中 \(AB\) 的测量值接近 \(5\) 或 \(55\)，则可能因测量误差导致构不成三角形。本题旨在让学生应用范围进行判断，原题设若改为“测得 \(AB=3m\)”，则数学上可直接判断数据必有问题。