三角形的高怎么求？锐角三角形垂心与面积法深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：高(锐角) 原理

• 核心概念：阿星说：想象一下，三角形是一个王国，它的三条边是城墙。从每个“顶点将军”（顶点）出发，要向对面的“城墙”（对边）派遣一位最忠诚的“侍卫”，这位侍卫走的路必须绝对垂直于对面的城墙。这条垂直的线段，就是“高”！在锐角三角形这个内部和谐的王国里，三位侍卫的巡逻路线全都在城墙内部，并且它们一定会在一个点碰头开会，这个秘密指挥部就叫“垂心”。
• 计算秘籍：
  1. 定义法：先确定以哪条边为底 \( a \)，然后找到这条底所对的顶点，从该顶点向底边 \( a \) 所在直线作垂线，垂足之间的线段长度就是高 \( h \)。
  2. 面积法（万能钥匙）：已知三角形面积 \( S \) 和某条底边长 \( a \)，其对应的高 \( h_a \) 可通过公式逆推：\( S = \frac{1}{2} \times a \times h_a \) ⇒ \( h_a = \frac{2S}{a} \)。这是求高最常用的方法！
  3. 勾股定理法：当高将原三角形分割成两个直角三角形时，可利用勾股定理列方程求解。例如，若已知三边 \( a, b, c \)，设 \( a \) 边上的高为 \( h \)，将底边 \( a \) 分成的两段为 \( x \) 和 \( a-x \)，则有 \( b^2 - x^2 = h^2 = c^2 - (a-x)^2 \)，先解出 \( x \)，再求 \( h \)。
• 阿星口诀：“锐角三角形，高在内部藏。顶点向对边，作垂线度量。三高必相交，垂心是中央。面积公式熟，计算不用慌。”

📐 图形解析

下面是一个锐角 \( \triangle ABC \)，让我们画出它的三条高，看看“侍卫”们如何在内部的“垂心” \( H \) 处会师。

如图所示，在锐角 \( \triangle ABC \) 中：

从 \( A \) 到 \( BC \) 作垂线得高 \( AD = h_a \)，

从 \( B \) 到 \( AC \) 作垂线得高 \( BE = h_b \)，

从 \( C \) 到 \( AB \) 作垂线得高 \( CF = h_c \)。

三条高 \( AD, BE, CF \) 相交于一点 \( H \)，即垂心。并且，因为它们都在三角形内部，所以垂心 \( H \) 也一定在三角形内部。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“高”就是从顶点到对边中点的连线。
  ✅ 正解：高是顶点到对边所在直线的垂线段，与对边是否被平分无关。中线才是连中点的线。
• ❌ 错误2：认为任意三角形的三条高都在三角形内部。
  ✅ 正解：只有锐角三角形的三条高全在内部。直角三角形两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部。
• ❌ 错误3：用面积公式求高时，底和高不对应。
  ✅ 正解：牢记公式 \( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 该底边上的高 \)。若已知面积 \( S \) 和边 \( a \)，求的是 \( a \) 边上的高 \( h_a = \frac{2S}{a} \)，不能除以 \( b \) 或 \( c \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：锐角三角形的垂心一定在三角形内部。（ ）
2. 填空：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和____之间的线段叫做三角形的高。
3. 一个锐角三角形的面积是 \( 24 \text{ cm}^2 \)，其中一条底边长 \( 6 \text{ cm} \)，求这条底边上的高。
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，画出 \( AC \) 边上的高。
5. 一个锐角三角形有 ____ 条高，它们（一定/不一定）相等。
6. 已知等腰锐角三角形底边长为 \( 10 \)，腰长为 \( 13 \)，求底边上的高。
7. 若直角三角形两条直角边分别为 \( 3 \) 和 \( 4 \)，则斜边上的高为 ____。
8. 填空：三角形的三条高线交于一点，这一点叫做三角形的 ____。
9. \( \triangle ABC \) 中，\( AB=5 \), \( BC=12 \), \( AB \)边上的高 \( h_c=4.8 \)，求 \( BC \) 边上的高 \( h_a \)。
10. 简答：为什么说钝角三角形中“高”的作法容易出错？请画图说明。

第二关：中考挑战（10道）

1. （面积比）在 \( \triangle ABC \) 中，\( D、E、F \) 分别是三条高线的垂足。若 \( BC=6 \), \( CA=8 \), \( AB=10 \)，求 \( \triangle DEF \) 与 \( \triangle ABC \) 的周长比。
2. （勾股定理综合）已知锐角 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 是 \( BC \) 边上的高，\( AB=15 \), \( AC=13 \), \( AD=12 \)，求 \( BC \) 的长度。
3. （方程思想）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 \( 40^\circ \)，求这个等腰三角形顶角的度数。
4. （网格作图）在 \( 4 \times 4 \) 的正方形网格中，找出所有格点 \( P \)，使得 \( \triangle ABP \) 是以 \( AB \) 为底边的锐角三角形，且面积等于 \( 3 \)（给定 \( A、B \) 点）。
5. （阅读理解）材料：三角形中，连接垂心与顶点的线段，并延长至对边，这条线称为“欧拉线”的一部分… 问题：求证锐角三角形的垂心到顶点的距离等于该顶点到对边距离的 \( 2 \) 倍？这个结论正确吗？如不正确，请说明理由。
6. （最值问题）在锐角 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=4 \)，\( AC=5 \)，求 \( BC \) 边上高的取值范围。
7. （坐标系）在平面直角坐标系中，\( A(0,3), B(4,0), C(m, 0) \) 且 \( m>4 \)。若 \( \triangle ABC \) 是锐角三角形，求 \( m \) 的取值范围。
8. （相似三角形）如图，锐角 \( \triangle ABC \) 的高 \( AD、BE \) 交于 \( H \)。求证：\( AH \cdot HD = BH \cdot HE \)。
9. （实际测算）小星想测量一个锐角三角形公园 \( ABC \) 中 \( BC \) 边上的观景台 \( A \) 的高度（即 \( A \) 到 \( BC \) 的垂直距离）。他在 \( B、C \) 两点测得 \( AB=150m \), \( AC=200m \), \( BC=180m \)。请你帮他计算这个高度。
10. （规律探究）画出等边三角形、等腰直角三角形和一般的锐角三角形，分别作出它们的所有高，观察并总结垂心位置与三角形形状的关系。

第三关：生活应用（5道）

1. 屋顶测量：一个屋顶的侧面是锐角三角形，木工师傅需要知道从屋脊（顶点）到横梁（底边）的垂直高度来订购材料。已知屋顶两面斜坡的长度分别是 \( 4.5 \) 米和 \( 6 \) 米，横梁跨度是 \( 7 \) 米。请问这个垂直高度是多少米？
2. 帆船设计：一面船帆的形状近似为锐角三角形。为了计算受风面积，需要知道帆的高度。现测得帆底边长 \( 3.2 \) 米，帆的面积是 \( 5.76 \) 平方米。求帆的高度。
3. 土地规划：一块形状为锐角三角形的土地，三边长度分别为 \( 50m, 70m, 80m \)。规划师需要从最长边所对的顶点引一条垂直于最长边的路，将土地分成两部分。求这条路的长度，并计算两部分土地的面积。
4. 物理中的力分解：一个物体静止在斜面上，其重力 \( G \) 可以分解为沿斜面向下的分力 \( F_1 \) 和垂直于斜面的压力 \( F_2 \)。若斜面倾角（锐角）为 \( \theta \)，斜面长度为 \( L \)，斜面底边水平长度为 \( l \)。试用三角形高的概念，表示出分力 \( F_2 \) 的大小与 \( G、\theta、L、l \) 中相关量的关系。
5. 艺术构图：在摄影或绘画中，常将主体放在画面的“视觉中心”。有人提出，将画面四个顶点两两连接，其两条对角线的交点是最稳定的中心；也有人提出，对于矩形画面，连接对边中点得到“十字线”，其交点更合适。请你从“三角形垂心”的角度构思：在一个锐角三角形的构图区域内，如何确定一个“自然”的视觉焦点位置？并解释其合理性。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅ 正确。
2. 垂足。
3. \( h = \frac{2 \times 24}{6} = 8 \text{ cm} \)。
4. (图略) 从顶点B向对边AC所在直线作垂线，垂足在线段AC上。
5. 3，不一定。
6. 底边上的高分底边为两段各长5。高 \( h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \)。
7. 斜边长 \( c = \sqrt{3^2+4^2}=5 \)，面积 \( S=\frac{1}{2}\times3\times4=6 \)，斜边高 \( h = \frac{2\times6}{5} = 2.4 \)。
8. 垂心。
9. 先由 \( S = \frac{1}{2} \times AB \times h_c = \frac{1}{2} \times 5 \times 4.8 = 12 \)。再求 \( h_a = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 12}{12} = 2 \)。
10. 钝角三角形中，从一个钝角顶点向对边作高时，垂足落在对边的延长线上，高在三角形外部，容易画错位置。（需配简图）

（注：第二、三关多为综合题，解析较长，此处仅提供关键思路或答案。）

第二关：中考挑战

1. 提示：\( \triangle DEF \) 是 \( \triangle ABC \) 的垂足三角形，其周长与 \( \triangle ABC \) 的面积和外接圆半径有关。本题中，可证 \( \triangle ABC \) 是直角三角形（\( 6^2+8^2=10^2 \)），其垂心为直角顶点，垂足三角形退化成一条线段，周长比为0。但需注意，此题为一般锐角三角形时，周长比等于原三角形三内角余弦值的和除以2，本题仅为特例。
2. \( BD = \sqrt{15^2-12^2}=9 \)，\( CD = \sqrt{13^2-12^2}=5 \)，\( BC = BD + CD = 14 \)。
3. 分两种情况：当高在内部时，顶角为 \( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \)；当高在外部时（等腰钝角三角形），顶角为 \( 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \)。由于是锐角三角形，顶角为 \( 50^\circ \)。
4. （网格作图，答案略）
5. 不正确。垂心到顶点的距离不等于该顶点到对边距离的2倍。正确的关系是：重心分中线为2:1，与垂心无关。
6. 由面积法 \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \)，且 \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin A \)。又由余弦定理及锐角条件可求 \( BC \) 范围，进而求 \( h \) 范围。答案：\( \frac{12\sqrt{5}}{5} < h < 5 \)。
7. 需满足 \( \angle A, \angle B, \angle C \) 均为锐角。由 \( AB^2+AC^2>BC^2 \) 等条件解得 \( 4 < m < \frac{25}{4} \) 或 \( m > 7 \)，结合 \( m>4 \)，得 \( 4 < m < \frac{25}{4} \) 或 \( m > 7 \)。但还需验证每个角为锐角，最终得 \( 4 < m < \frac{25}{4} \)。
8. 提示：证明 \( \triangle AHE \sim \triangle BHD \)（AA：直角和对顶角）。
9. 用海伦公式。半周长 \( p = (150+200+180)/2 = 265 \)，面积 \( S = \sqrt{265 \times 115 \times 65 \times 85} \)（具体数值计算略），高度 \( h = \frac{2S}{180} \)。
10. 等边三角形：垂心、重心、内心、外心合一。等腰直角三角形：垂心在直角顶点。一般锐角三角形：垂心在内部。

第三关：生活应用

1. 用海伦公式求面积 \( S \)，再求高。半周长 \( p=(4.5+6+7)/2=8.75 \)，\( S=\sqrt{8.75\times4.25\times2.75\times1.75} \approx 13.23 \)，高 \( h=2S/7 \approx 3.78 \) 米。
2. \( h = \frac{2 \times 5.76}{3.2} = 3.6 \) 米。
3. 最长边为80m。先用海伦公式求总面积 \( S \)。再求该边上的高 \( h = \frac{2S}{80} \)。两部分面积分别为 \( \frac{1}{2} \times 50 \times h \times \frac{x}{80} \) 和 \( \frac{1}{2} \times 70 \times h \times \frac{y}{80} \)（需先解出高分80m的两段x, y）。
4. 将重力 \( G \)、分力 \( F_1 \) 和 \( F_2 \) 构成一个矢量直角三角形，其中 \( G \) 为斜边，\( F_2 \) 垂直于斜面。斜面三角形中，高 \( h = l \sin \theta = L \sin \alpha \)（α为另一个角）。在力三角形中，\( \frac{F_2}{G} = \cos \theta \)，所以 \( F_2 = G \cos \theta \)。与斜面三角形的高类比，\( F_2 \) 相当于“重力三角形”中，以 \( G \) 为“斜边”，在“垂直斜面方向”上的“高”。
5. 视觉焦点可以取为这个锐角三角形的垂心。因为垂心是三条“最平衡的线”（高）的交点，它到三条边的“视觉距离”（垂直于各边的距离）的分配，与三角形的形状（各角大小、各边长度）有内在的、均衡的数学关系，相比重心（中点交点）或外心（中垂线交点），垂心更能反映三角形的“垂直方向”的稳定性，可能给观者一种隐蔽而和谐的感觉。