期末复习：九年级数学上册几何：旋转考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：几何：旋转 核心考点速记
旋转是九年级几何的核心章节，在期末试卷中必考。通常以选择题、填空题形式考查基础概念与性质，压轴大题则常与三角形、四边形、圆结合，综合性强，是拉开分数差距的关键。
- 必背概念：旋转就是把一个图形绕着平面内某一个点（旋转中心）转动一个角度（旋转角）。就像你说的圆规扎准中心点一样，抓住了中心，图形的转动才有了“轴心”。记住三要素：中心、方向、角度。旋转前后图形全等（大小形状不变），且对应点到旋转中心的距离相等，这是解题的基石。
- 阿星顺口溜：“旋转中心要扎牢，方向角度不能少。全等距离两相等，性质活用题不倒。”
- 万能公式：
- 旋转的基本性质：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，即 \(\angle POP' = \alpha\)。
- 计算长度或角度时，常用旋转构造全等，得到边等、角等关系。
- 在坐标系中，绕原点旋转 \(90^\circ\) 的坐标变换：点 \(P(x, y)\) 旋转后
$$ 逆时针90^\circ: P'(-y, x) \quad 顺时针90^\circ: P'(y, -x) $$
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 陷阱一：作图不规范，想当然。 在解答题中要求“画出旋转后的图形”，很多同学凭感觉画，没有保留作图痕迹，或对应点找错。
- ✅ 满分规范：作图题必须有清晰的作图步骤！1. 连接关键点与旋转中心；2. 利用圆规截取等长或用量角器作出旋转角；3. 确定对应点并连线。没有步骤痕迹，即使图形“看起来对”，也可能扣掉过程分。
- ❌ 陷阱二：忽略旋转方向，导致分类讨论缺失。 题目说“绕点O旋转α角”，未指明方向，则可能存在顺时针和逆时针两种不同情况，只答一种会丢一半分。
- ✅ 满分规范：当题目未明确旋转方向，且根据题意或图形无法唯一确定时，必须在答案中说明“有两种情况”并进行分类讨论和求解。这是考查思维严谨性的重要标准。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：如图，将 \(\triangle ABC\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(55^\circ\) 得到 \(\triangle ADE\)，若 \(\angle E=70^\circ\)，且 \(AD \perp BC\) 于点 \(F\)，则 \(\angle BAC\) 的度数为 \(\underline{\qquad}\)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——旋转性质（全等，旋转角相等）、垂直定义、三角形内角和。
- 第二步：快速求解——由旋转知 \(\triangle ABC \cong \triangle ADE\)，\(\angle C = \angle E = 70^\circ\)，旋转角 \(\angle BAD = \angle CAE = 55^\circ\)。在 \(\mathrm{Rt}\triangle ACF\) 中，\(\angle CAF = 90^\circ - \angle C = 20^\circ\)。故 \(\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = 55^\circ + 20^\circ = 75^\circ\)。
✅ 答案：\(75^\circ\)
模型 2：性质应用题（中档解答）
题目：在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(AC = BC\)，点 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点，连接 \(AP, BP, CP\)。已知 \(BP = 1\)，\(CP = 2\)，\(AP = 3\)。求 \(\angle BPC\) 的度数。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——共顶点等线段，考虑旋转构造全等。将 \(\triangle APC\) 绕点 \(C\) 顺时针旋转 \(90^\circ\)。
- 第二步：快速求解——旋转后，\(CA\) 与 \(CB\) 重合，\(P\) 落在 \(Q\) 点。连接 \(PQ\)。易证 \(\triangle CPQ\) 为等腰直角三角形，\(PQ = 2\sqrt{2}\)，\(\angle CPQ = 45^\circ\)。在 \(\triangle BPQ\) 中，\(BQ=AP=3\)，由 \(1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 3^2\) 可证 \(\angle BPQ = 90^\circ\)。故 \(\angle BPC = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\)。
✅ 答案：\(135^\circ\)
模型 3：综合探究题（压轴大题）
题目：在正方形 \(ABCD\) 中，点 \(E, F\) 分别在边 \(BC, CD\) 上，且 \(\angle EAF = 45^\circ\)。
（1）求证：\(EF = BE + DF\)。
（2）若正方形边长为 \(6\)，\(\triangle CEF\) 的周长为 \(12\)，求 \(\triangle AEF\) 的面积。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——“半角模型”经典题。利用旋转将分散的线段 \(BE, DF\) 集中。
- 第二步：快速求解——（1）将 \(\triangle ADF\) 绕点 \(A\) 顺时针旋转 \(90^\circ\)，使 \(AD\) 与 \(AB\) 重合，点 \(F\) 落在点 \(G\)。易证 \(\triangle AEF \cong \triangle AEG\)，从而 \(EF = EG = EB + BG = EB + DF\)。（2）由 \(EF=BE+DF\) 及 \(\triangle CEF\) 周长=\(CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=12\)，得边长为6。设 \(BE=x, DF=y\)，则 \(EF=x+y\)，\(EC=6-x, FC=6-y\)，在 \(\mathrm{Rt}\triangle ECF\) 中用勾股定理列方程可解，最后求面积。
✅ 答案：（1）证明略；（2）\(\triangle AEF\) 的面积为 \(18\)。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 将一个图形绕某一定点转动一个角度，这样的图形运动叫做\_\_\_\_\_。这个定点叫做\_\_\_\_\_。
- 旋转前后的两个图形是\_\_\_\_\_的，对应点到旋转中心的距离\_\_\_\_\_。
- 如图，\(\triangle ABC\) 绕点 \(O\) 旋转后，顶点 \(A\) 的对应点为点 \(D\)，则旋转中心是\_\_\_\_\_，旋转角等于\_\_\_\_\_。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图) - 点 \(P(2, -3)\) 绕原点逆时针旋转 \(90^\circ\) 后得到的点 \(P'\) 的坐标是\_\_\_\_\_。
- 时钟从上午8点走到8点20分，分针旋转了\_\_\_\_\_度。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 如图，在 \(Rt\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(\angle ABC=30^\circ\)，\(AC=2\)，\(\triangle ABC\) 绕点 \(C\) 顺时针旋转得 \(\triangle A_1B_1C\)，当 \(A_1\) 落在 \(AB\) 边上时，求点 \(B\) 旋转到点 \(B_1\) 的路径长。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图) - 在等边三角形 \(ABC\) 中，点 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 内，且 \(PA=3\)，\(PB=4\)，\(PC=5\)，求 \(\angle APB\) 的度数。
- 如图，点 \(E\) 是正方形 \(ABCD\) 内一点，连接 \(AE, BE, CE\)，将 \(\triangle ABE\) 绕点 \(B\) 顺时针旋转 \(90^\circ\) 到 \(\triangle CBE'\) 的位置。若 \(AE=1\)，\(BE=2\)，\(CE=3\)，求 \(\angle BE'C\) 的度数。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图) - 在平面直角坐标系中，已知 \(A(2,0)\)，\(B(0,4)\)，将 \(\triangle AOB\) 绕点 \(O\) 按逆时针方向旋转得到 \(\triangle A'OB'\)，点 \(A\) 的对应点 \(A'\) 恰好落在直线 \(y=\frac{1}{2}x\) 上，求点 \(B'\) 的坐标。
- 已知：如图，\(P\) 是等边 \(\triangle ABC\) 内一点，\(\angle APB=113^\circ\)，\(\angle BPC=127^\circ\)。求证：以 \(AP, BP, CP\) 为边可以构成一个三角形，并确定这个三角形各个内角的度数。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- （手拉手模型）如图1，\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADE\) 都是等边三角形。求证：\(BD = CE\)，并求直线 \(BD\) 与 \(CE\) 所夹锐角的度数。若将 \(\triangle ADE\) 绕点 \(A\) 旋转到图2位置，结论是否仍然成立？
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图) - （费马点问题）已知 \(\triangle ABC\)，在平面内求一点 \(P\)，使 \(PA+PB+PC\) 的值最小。
- 当 \(\triangle ABC\) 的最大内角小于 \(120^\circ\) 时，该点（费马点）满足什么性质？如何利用旋转进行证明和求解？
- 如图，在四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle B+\angle D=180^\circ\)，\(AB=AD\)。若 \(E, F\) 分别是边 \(BC, CD\) 上的点，且 \(\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD\)，求证：\(EF = BE + DF\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图) - 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，点 \(D\) 是 \(BC\) 边上任意一点。将线段 \(AD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(90^\circ\) 得到线段 \(AE\)，连接 \(EC\)。
- （1）求证：\(EC \perp BC\)。
- （2）若 \(BC=4\)，求四边形 \(ADCE\) 面积的最大值。
- （坐标系中的旋转）在平面直角坐标系中，已知抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 经过点 \(A(-1,0)\)，顶点为 \(B(1,2)\)。将该抛物线绕其顶点 \(B\) 顺时针旋转 \(180^\circ\)，得到一条新的抛物线。求原抛物线和新抛物线的解析式，并求出两条抛物线与 \(y\) 轴交点之间线段的长度。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 逆向验证：对于画图题，把得到的“旋转后图形”想象着按相反方向转回去，看能否与原图重合。2. 测量基本量：检查对应点到旋转中心的距离是否相等（可用圆规比划）。3. 检查极端情况：想想旋转角如果是\(0^\circ\)或\(180^\circ\)，你的结论还成立吗？这能帮你发现隐藏的分类讨论。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：别慌！1. 回归定义和基本性质：坐标系旋转\(90^\circ\)的坐标公式忘了？自己画个简单的例子，比如点\((1,0)\)绕原点逆时针转\(90^\circ\)，直观得到\((0,1)\)，规律就出来了。2. 口诀提醒法：默念顺口溜“旋转中心要扎牢…”，引导自己回忆关键性质。3. 化归思想：复杂问题本质是“将分散条件集中”，回忆课堂上老师是如何通过旋转一个三角形来构造全等的，模仿那个思路。
参考答案
第一关：1. 旋转，旋转中心 2. 全等，相等 3. 点O，\(\angle AOD\)或\(\angle BOF\)等（写对一个即可） 4. \((3, 2)\) 5. \(120\)
第二关：1. \(\frac{4\pi}{3}\) 2. \(150^\circ\) 3. \(135^\circ\) 4. \((-2\sqrt{5}, \sqrt{5})\) 或 \((2\sqrt{5}, -\sqrt{5})\)（需根据旋转方向判断，通常取第一象限结果） 5. 证明略，构成的三角形三内角分别为 \(53^\circ, 57^\circ, 70^\circ\)（顺序可不同）。
第三关：1. 证明略，所夹锐角为 \(60^\circ\)，结论仍然成立。 2. 费马点P满足 \(\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ\)。证明通常是将\(\triangle APB\)绕点B向外旋转\(60^\circ\)，利用等边三角形和两点之间线段最短证明。 3. 证明思路同正文模型3（半角模型）。 4. （1）证明略；（2）最大值为 \(4\)。 5. 原抛物线：\(y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}\)；新抛物线：\(y = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}\)；两交点距离为 \(1\)。
PDF 练习题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF