浓度问题：稀释

知识要点

💡 核心概念

“稀释”就像往一杯很咸的盐水里加清水。盐（溶质）的量没有变，但水的量变多了，所以盐水（溶液）的总量也变多了，味道就变淡了，也就是浓度降低了。解决这类问题的关键是抓住：稀释前后，溶质的质量保持不变。

📝 计算法则（三步法）

抓住不变的量：找到稀释前溶液中的溶质质量。公式：溶质 = 原溶液质量 × 原浓度。
确定新的总量：稀释后的溶液总质量 = 原溶液质量 + 加入的溶剂（通常是水）质量。
计算新的浓度：新浓度 = (第一步算出的溶质质量) ÷ (第二步算出的新溶液总质量) × 100%。

🎯 记忆口诀

“溶质不变是关键，先抓溶质再算全，总液质量要算对，浓度立马就出现。”

🔗 知识关联

本题需要运用到之前学过的：分数与百分数的意义及计算、方程思想（用字母表示未知量）、以及质量单位的换算。

易错点警示

❌ 错误1：浓度直接相加减

→ ✅ 正解：浓度是比值，不能直接相加减。必须通过溶质质量这个桥梁来建立等量关系。

❌ 错误2：认为溶质也增加了

→ ✅ 正解：稀释过程只增加溶剂（水），溶质的质量在过程中保持不变。

❌ 错误3：单位不统一就计算

→ ✅ 正解：计算前务必检查单位，如把千克换算成克，或把升（针对溶液）根据密度换算成质量单位，确保单位一致。

三例题精讲

🔥 例题1：实验室有一杯 \( 100g \) 浓度为 \( 20\% \) 的糖水。要把它稀释成浓度为 \( 10\% \) 的糖水，需要加入多少克清水？

📌 第一步：抓住不变。稀释前后，糖（溶质）的质量不变。原糖水中糖的质量为：\( 100 \times 20\% = 20 \, (g) \)。

📌 第二步：设未知量，建立等式。设需要加入清水 \( x \) 克。稀释后，糖水总质量为 \( (100 + x) \) 克，其中含糖仍是 \( 20 \) 克。新浓度是 \( 10\% \)，所以得到方程：\( 20 \div (100 + x) = 10\% \)。

📌 第三步：解方程。\( 20 = 0.1 \times (100 + x) \) → \( 20 = 10 + 0.1x \) → \( 0.1x = 10 \) → \( x = 100 \)。

✅ 答案：需要加入 \( 100 \) 克清水。

💬 总结：核心是“溶质守恒”，用“原溶质 = 新溶质”来列方程。

🔥 例题2：一瓶 \( 300ml \) 的消毒液，浓度是 \( 75\% \)。使用说明要求将其稀释为浓度 \( 15\% \) 的溶液用于擦拭。需要加入多少毫升水？（假设消毒液密度近似于水）

📌 第一步：抓住不变。消毒液中原液（溶质）的质量不变。原液中溶质体积为：\( 300 \times 75\% = 225 \, (ml) \)。

📌 第二步：设未知量，建立等式。设加入水 \( x \) ml。稀释后总体积为 \( (300 + x) \) ml，其中溶质体积仍为 \( 225 \) ml。新浓度 \( 15\% \) 可列方程：\( 225 \div (300 + x) = 15\% \)。

📌 第三步：解方程。\( 225 = 0.15 \times (300 + x) \) → \( 225 = 45 + 0.15x \) → \( 0.15x = 180 \) → \( x = 1200 \)。

✅ 答案：需要加入 \( 1200 \) 毫升水。

💬 总结：当题目涉及液体体积且密度相近时，可近似用体积代替质量进行计算，方法不变。

🔥 例题3：有 \( 120g \) 浓度为 \( 30\% \) 的盐水，先蒸发掉 \( 40g \) 水，再加入多少克纯盐，能使盐水浓度变为 \( 50\% \)？

📌 第一步：分析过程，分段抓住不变量。

过程1：蒸发。蒸发掉 \( 40g \) 水，盐（溶质）的质量不变。蒸发前盐的质量：\( 120 \times 30\% = 36 \, (g) \)。蒸发后盐水总质量：\( 120 - 40 = 80 \, (g) \)。此时浓度变为：\( 36 \div 80 \times 100\% = 45\% \)。

过程2：加盐。加入纯盐，水的质量不变。蒸发后，水的质量：\( 80 - 36 = 44 \, (g) \)。

📌 第二步：设未知量，对“加盐过程”建立等式。设加入 \( y \) 克纯盐。加盐后，新溶液总质量：\( 80 + y \) 克，其中盐的质量变为 \( 36 + y \) 克。最终浓度要求为 \( 50\% \)，即盐占一半。我们可以用水不变来列式更简单：最终溶液中，水占 \( 1 - 50\% = 50\% \)，所以最终溶液总质量 = 水的质量 ÷ 水的百分比 = \( 44 \div 50\% = 88 \, (g) \)。

📌 第三步：求解。最终总质量 \( 88g \)，原来加盐前是 \( 80g \)，所以加入的盐为：\( 88 - 80 = 8 \, (g) \)。

✅ 答案：需要加入 \( 8 \) 克纯盐。

💬 总结：对于多步骤操作的问题，要“分段处理，抓住每段中不变的核心量”（溶质不变或溶剂不变），逐步计算。

练习题（10道）

有 \( 200g \) 浓度为 \( 15\% \) 的糖水，加入 \( 50g \) 水后，浓度变为百分之几？
要把 \( 80g \) 浓度为 \( 25\% \) 的盐水稀释到 \( 10\% \)，需要加水多少克？
一瓶 \( 500ml \) 的果汁，原汁含量为 \( 40\% \)，喝掉 \( 100ml \) 后，用水加满。这时瓶中果汁的浓度是多少？
现有 \( 150g \) 浓度为 \( 8\% \) 的盐水和 \( 50g \) 水混合，混合后的盐水浓度是多少？
一种农药，用药液和水按 \( 1:1500 \) 的质量比配制而成。要配制这种农药 \( 3003kg \)，需要药液多少千克？
有含盐 \( 12\% \) 的盐水 \( 60kg \)，需要蒸发掉多少千克水，才能得到含盐 \( 20\% \) 的盐水？
在 \( 100g \) 浓度为 \( 35\% \) 的酒精溶液中，加入多少克水，可以得到浓度为 \( 20\% \) 的酒精溶液？
有浓度 \( 6\% \) 的盐水 \( 900g \)，要使其浓度加大到 \( 10\% \)，需要加盐多少克？
现有浓度为 \( 10\% \) 的糖水 \( 400g \，要得到浓度为 \( 8\% \) 的糖水，需加水多少克？
一桶水，第一次用去它的 \( 30\% \)，第二次用去 \( 10 \) 升，还剩 \( 15 \) 升。这桶水原来有多少升？

奥数挑战（10道）

一个容器内装有浓度为 \( 25\% \) 的糖水，若再加入 \( 20 \) 千克水，则糖水的浓度变为 \( 15\% \)。这个容器内原来有糖水多少千克？
有甲、乙两种浓度不同的盐水，取 \( 120g \) 甲种盐水和 \( 240g \) 乙种盐水混合，得到浓度为 \( 8\% \) 的盐水；取 \( 200g \) 甲种盐水和 \( 140g \) 乙种盐水混合，得到浓度为 \( 9\% \) 的盐水。求甲、乙两种盐水的浓度。
从装满 \( 100g \) 浓度为 \( 80\% \) 的酒精溶液的杯中倒出 \( 40g \) 酒精溶液，再倒入清水将杯装满，搅拌均匀后再倒出 \( 40g \) 酒精溶液，然后再倒入清水将杯装满。如此反复三次后，杯中酒精溶液的浓度是多少？
有 A、B、C 三种盐水，按 A 与 B 数量比为 \( 2:1 \) 混合，得到浓度为 \( 13\% \) 的盐水；按 A 与 B 数量比为 \( 1:2 \) 混合，得到浓度为 \( 14\% \) 的盐水。如果 A、B、C 数量比为 \( 1:1:3 \) 混合，得到浓度为 \( 10.2\% \) 的盐水。问盐水 C 的浓度是多少？
甲瓶中有浓度为 \( 6\% \) 的糖水 \( 300 \) 克，乙瓶中有浓度为 \( 9\% \) 的糖水 \( 120 \) 克。现分别从甲、乙两瓶中取出等量的糖水交换倒入另一瓶中，使得两瓶糖水的浓度相同。问需要交换多少克？
在浓度为 \( 40\% \) 的酒精溶液中加入 \( 5 \) 千克水，浓度变为 \( 30\% \)，再加入多少千克纯酒精，浓度变为 \( 50\% \)？
有浓度为 \( 30\% \) 的溶液若干，加了一定量的水后稀释成浓度为 \( 24\% \) 的溶液。如果再加入同样多的水，浓度将变为多少？
两个容量相同的瓶子装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是 \( 3:1 \)，另一个瓶中酒精与水的体积比是 \( 4:1 \)。如果把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积比是多少？
一盆水中放入 \( 10 \) 克盐，再倒入浓度为 \( 5\% \) 的盐水 \( 200 \) 克，配成浓度为 \( 2.5\% \) 的盐水。原来这盆水有多少克？
有浓度分别为 \( 60\% \) 和 \( 30\% \) 的 A、B 两种糖水，现要配制 \( 50\% \) 的糖水 \( 120 \) 克。若将 A 种糖水全部用完，B 种糖水还剩多少克？若将 B 种糖水全部用完，则 A 种糖水还差多少克？

生活应用（5道）

（环保） 环保小组需要将浓度为 \( 95\% \) 的酒精 \( 500ml \) 稀释成浓度为 \( 75\% \) 的消毒酒精用于器械消毒。他们需要加入多少毫升蒸馏水？
（高铁） 高铁列车水箱中储存了浓度为 \( 10\% \) 的环保清洁剂溶液 \( 80 \) 升。到站后，地勤人员需要将其稀释为浓度 \( 0.5\% \) 的工作液用于清洗车身。需要往水箱中加入多少升水？
（AI数据处理） 在模拟实验中，一种“数据清洗液”的初始浓度为 \( 32\% \)。工程师先取出一部分，并用清水补满，使其浓度降为 \( 24\% \)。接着又用同样的方法操作一次。最终，“数据清洗液”的浓度变成了多少？
（网购） 小东网购了一瓶 \( 1000ml \) 的浓缩洗洁精，说明上写着“按 \( 1:20 \) (洗洁精：水) 稀释使用”。如果他想装满一个容量为 \( 630ml \) 的挤压瓶用于日常洗碗，需要取多少毫升的浓缩洗洁精？
（航天） 航天器燃料舱中某种推进剂的浓度为 \( 98\% \)。在进入预定轨道前，需加入纯水将其精确调节至浓度为 \( 85\% \)。已知燃料舱总容积为 \( 1000 \) 升，目前装有浓度为 \( 98\% \) 的推进剂 \( 600 \) 升。问最多还能加入多少升纯水进行调节？（假设混合后体积无变化）

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 200 \times 15\% = 30 \, (g) \)，新总质量 \( 200+50=250 \, (g) \)，新浓度 \( 30 \div 250 \times 100\% = 12\% \)。

溶质：\( 80 \times 25\% = 20 \, (g) \)，新溶液总质量：\( 20 \div 10\% = 200 \, (g) \)，加水：\( 200 - 80 = 120 \, (g) \)。

喝掉部分不影响剩余的原汁浓度。剩余原汁：\( (500-100) \times 40\% = 160 \, (ml) \)，加满后总体积 \( 500ml \)，新浓度 \( 160 \div 500 \times 100\% = 32\% \)。

溶质：\( 150 \times 8\% = 12 \, (g) \)，新总质量 \( 150+50=200 \, (g) \)，新浓度 \( 12 \div 200 \times 100\% = 6\% \)。

药液占农药的 \( 1 \div (1+1500) = \frac{1}{1501} \)，需要药液 \( 3003 \times \frac{1}{1501} = 2 \, (kg) \)。

溶质：\( 60 \times 12\% = 7.2 \, (kg) \)，新溶液总质量：\( 7.2 \div 20\% = 36 \, (kg) \)，蒸发水：\( 60 - 36 = 24 \, (kg) \)。

溶质：\( 100 \times 35\% = 35 \, (g) \)，新溶液总质量：\( 35 \div 20\% = 175 \, (g) \)，加水：\( 175 - 100 = 75 \, (g) \)。

抓住水不变。原水：\( 900 \times (1-6\%) = 846 \, (g) \)。加盐后水占 \( 1-10\% = 90\% \)，新溶液总质量：\( 846 \div 90\% = 940 \, (g) \)。加盐：\( 940 - 900 = 40 \, (g) \)。

溶质不变：\( 400 \times 10\% = 40 \, (g) \)，新溶液总质量：\( 40 \div 8\% = 500 \, (g) \)，加水：\( 500 - 400 = 100 \, (g) \)。

设原水 \( x \) 升。\( x - 30\%x - 10 = 15 \) → \( 0.7x = 25 \) → \( x = \frac{250}{7} \) 升（或约 \( 35.71 \) 升）。

【奥数挑战答案】

答案：\( 30 \) 千克。解析：设原糖水 \( x \) 千克。溶质不变：\( 25\%x = 15\%(x+20) \)，解得 \( x=30 \)。

答案：甲 \( 6\% \)，乙 \( 9\% \)。解析：设甲浓度 \( a \)，乙浓度 \( b \)。列方程组：\( 120a+240b = 8\% \times (120+240) \)，\( 200a+140b = 9\% \times (200+140) \)。化简：\( a+2b=0.24 \)，\( 10a+7b=0.306 \)。解得 \( a=0.06, b=0.09 \)。

答案：\( 17.28\% \)。解析：每次操作都倒出 \( 40/100 = 40\% \) 的溶液，相当于剩下 \( 60\% \) 的原溶液。酒精初始量为 \( 100 \times 80\% = 80 \, (g) \)。反复三次后，剩余酒精量：\( 80 \times 60\% \times 60\% \times 60\% = 80 \times 0.216 = 17.28 \, (g) \)。总质量仍为 \( 100g \)，浓度 \( 17.28\% \)。

答案：\( 8\% \)。解析：设 A 浓度 \( a \)，B 浓度 \( b \)，C 浓度 \( c \)。由前两个条件得：\( (2a+b)/3 = 13\% \)，\( (a+2b)/3 = 14\% \)。解得 \( a=12\%, b=15\% \)。代入第三个条件：\( (1\times12\% + 1\times15\% + 3c) / (1+1+3) = 10.2\% \)，解得 \( c=8\% \)。

答案：\( 120 \) 克。解析：交换后浓度相同，等于混合总浓度。总糖：\( 300\times6\%+120\times9\% = 18+10.8=28.8 \, (g) \)。总溶液：\( 300+120=420 \, (g) \)。最终浓度：\( 28.8/420 = 48/700 = 24/350 \)。设交换 \( x \) 克。甲瓶换后糖：\( (300-x)\times6\% + x\times9\% \)，其浓度也为 \( 24/350 \)。列方程：\( [ (300-x)\times0.06 + 0.09x ] / 300 = 24/350 \)，解得 \( x=120 \)。

答案：\( 8 \) 千克。解析：第一步求原溶液：设原溶液 \( m \) 千克，\( 40\%m = 30\%(m+5) \)，解得 \( m=15 \) (kg)。原酒精：\( 15\times40\%=6 \, (kg) \)。第一步加水后溶液 \( 20kg \)，酒精仍 \( 6kg \)。设再加酒精 \( n \) kg，\( (6+n) / (20+n) = 50\% \)，解得 \( n=8 \)。

答案：\( 20\% \)。解析：设原溶液 \( 100 \) 份，溶质 \( 30 \) 份。第一次加水后总质量：\( 30 \div 24\% = 125 \) 份，故加水 \( 25 \) 份。再加同样多水 (\( 25 \) 份)，总质量 \( 150 \) 份，浓度 \( 30 \div 150 \times 100\% = 20\% \)。

答案：\( 31:9 \)。解析：设每个瓶子容积为 \( 1 \)。第一瓶酒精 \( \frac{3}{4} \)，水 \( \frac{1}{4} \)；第二瓶酒精 \( \frac{4}{5} \)，水 \( \frac{1}{5} \)。混合后酒精：\( \frac{3}{4}+\frac{4}{5} = \frac{31}{20} \)，水：\( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} = \frac{9}{20} \)。体积比：\( \frac{31}{20} : \frac{9}{20} = 31:9 \)。

答案：\( 590 \) 克。解析：最终溶液总盐：\( 10 + 200\times5\% = 20 \, (g) \)。最终溶液总质量：\( 20 \div 2.5\% = 800 \, (g) \)。原来盆中水：\( 800 - 10 - 200 = 590 \, (g) \)。

答案：还剩 \( 40 \) 克，还差 \( 40 \) 克。解析：设用 A 种 \( x \) 克，B 种 \( y \) 克。若 A 用完，\( x=120 \)，则 \( 120\times60\% + y\times30\% = 120\times50\% \)，解得 \( y=80 \)，B 种需用 \( 80 \) 克，原有 \( 120 \) 克，故剩 \( 40 \) 克。若 B 用完，\( y=120 \)，则 \( x\times60\% + 120\times30\% = 120\times50\% \)，解得 \( x=80 \)，A 种需用 \( 80 \) 克，原有 \( 120 \) 克，故差 \( 40 \) 克。

【生活应用答案】

溶质：\( 500 \times 95\% = 475 \, (ml) \)，新溶液总体积：\( 475 \div 75\% \approx 633.33 \, (ml) \)，加水：\( 633.33 - 500 \approx 133.33 \, (ml) \)。

溶质：\( 80 \times 10\% = 8 \, (升) \)，新溶液总体积：\( 8 \div 0.5\% = 1600 \, (升) \)，加水：\( 1600 - 80 = 1520 \, (升) \)。

同奥数挑战题3思路。设初始为“1”，每次操作剩 \( (V-取出的)/V \) 部分。题目可理解为每次倒出部分又补满水。设每次倒出比例为 \( p \)，则 \( 32\% \times (1-p) = 24\% \)，得 \( 1-p = 0.75 \)。操作两次后浓度：\( 32\% \times (0.75)^2 = 32\% \times 0.5625 = 18\% \)。

稀释比例为 \( 1:20 \)，即浓缩液占稀释后溶液的 \( 1 \div (1+20) = \frac{1}{21} \)。需要浓缩液：\( 630 \times \frac{1}{21} = 30 \, (ml) \)。

舱内原有推进剂溶质：\( 600 \times 98\% = 588 \, (升) \)。设最多加水 \( x \) 升，使浓度刚好为 \( 85\% \)。有方程：\( 588 \div (600 + x) = 85\% \)。解得 \( x \approx 588 \div 0.85 - 600 \approx 691.76 - 600 = 91.76 \, (升) \)。但总容积为 \( 1000 \) 升，已有 \( 600 \) 升，最多还能加 \( 400 \) 升。\( 91.76 < 400 \)，因此可按计算加水，即约 \( 91.76 \) 升（或 \( \frac{5880}{17} - 600 \) 升）。

浓度稀释应用题解题技巧与易错点解析（含PDF下载）