期末复习：六年级数学上册圆环面积考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
六年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-24
💡 期末突击：圆环面积 核心考点速记
【开篇语：圆环面积是六年级上册期末试卷的高频考点，常在填空题、选择题中出现，也容易结合生活实际（如跑道、管壁）在解决问题的大题里考查，务必熟练掌握！】
- 必背概念：想象一个甜甜圈，它就是最典型的圆环！计算面积就是算外圈大圆面积减去内圈小圆面积。“阿星”提示：公式是 \(S = \pi R^2 - \pi r^2\)，化简后得到万能公式。千万别记成\((R-r)^2\)，也
千万不要写成 \(\pi (R - r)^2\)，这两者天差地别！计算时，先算\(R^2 - r^2\)，再乘以\(\pi\)，或者提取公因数\(\pi\)，能让计算简便很多。 - 阿星顺口溜：“圆环像甜甜圈，面积计算很简单。大圆半径R，小圆半径r，公式π乘（大R方减小r方）记心间。”
- 万能公式：
- 圆环面积：$$S_{环} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$$
- （其中 \(R\) 表示外圆半径，\(r\) 表示内圆半径，且 \(R > r\)）
📐 图形解析（圆环面积 可视化记忆）
【配合图形讲解考点逻辑】如图所示，一个圆环由两个同心圆组成。解题时，关键在于从题目文字或图形中准确识别出哪一个是外圆半径 \(R\)，哪一个是内圆半径 \(r\)。有时题目给出的是直径，一定要
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1：公式混淆。 学生易记错为 \(S = \pi (R - r)^2\)。例如，当 \(R=5cm, r=3cm\) 时，错误计算： $$S = 3.14 \times (5-3)^2 = 3.14 \times 4 = 12.56(cm^2)$$
- ✅ 满分规范： 正确公式是 \(S = \pi (R^2 - r^2)\)。扣分原因：
公式记忆错误，导致结果完全错误 。标准计算应为： $$S = 3.14 \times (5^2 - 3^2) = 3.14 \times (25-9) = 3.14 \times 16 = 50.24(cm^2)$$ - ❌ 常见错解2：半径直径傻傻分不清。 题目说“外圆直径10cm，内圆直径6cm”，学生直接代入： $$S = 3.14 \times (10^2 - 6^2) = ...$$
- ✅ 满分规范： 所有直径必须首先除以2得到半径！标准步骤：\(R = 10 \div 2 = 5(cm), \quad r = 6 \div 2 = 3(cm)\)，再代入公式计算。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是5厘米，这个圆环的面积是______平方厘米。(取 \(π = 3.14\))
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 直接套用圆环面积公式，考的是最基础的应用。
- 第二步：快速求解。 直接代入公式 \(S = π(R^2 - r^2)\)，计算 \(5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21\)，再乘以 \(3.14\)。
✅ 答案： \(3.14 \times (25-4) = 3.14 \times 21 = 65.94\)（平方厘米）
模型 2：半圆环问题
题目：一个半圆形的环（如图，由两个同心半圆组成），外半圆直径是12厘米，内半圆直径是8厘米。这个半圆环的面积是多少？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 先求整个圆环面积，再除以2。关键在于
直径转半径 。 - 第二步：快速求解。 外半径 \(R = 12 \div 2 = 6 cm\)，内半径 \(r = 8 \div 2 = 4 cm\)。先求整圆环面积，再取一半。
✅ 答案： 整圆环面积 \(S = π(6^2-4^2)= π \times 20 = 20π\)，半圆环面积为 \(10π\) 或 \(31.4 cm^2\) (取 \(π=3.14\))。
模型 3：管状/环形跑道问题
题目：一根钢管的横截面是环形。内圆直径是6厘米，外圆直径是10厘米。横截面的面积是多少平方厘米？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 “横截面是环形”就是圆环面积问题。题目给的是直径，务必先求半径。
- 第二步：快速求解。 \(R = 10 \div 2 = 5 cm\)， \(r = 6 \div 2 = 3 cm\)。代入公式 \(S = π(5^2 - 3^2)\)。
✅ 答案： \(S = 3.14 \times (25-9) = 3.14 \times 16 = 50.24\)（平方厘米）
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，10道）
- 圆环的外圆半径是8m，内圆半径是5m，求圆环面积。(\(π=3.14\))
- 一个圆环，外圆直径是14分米，内圆直径是10分米，它的面积是多少平方分米？
- 已知一个圆环的面积是 \(50.24 cm^2\)，内圆半径是3cm，求外圆半径。(\(π=3.14\))
- 判断题：圆环的面积公式可以写成 \(S=π(R-r)^2\)。 （ ）
- 一个圆环，内圆周长是12.56厘米，外圆周长是31.4厘米。这个圆环的宽度（即 \(R-r\)）是多少厘米？(\(π=3.14\))
- 填空题：计算圆环面积时，已知外圆直径 \(D\)，内圆直径 \(d\)，公式可以写成 \(S =\) ______________。
- 一个圆环，外圆半径比内圆半径长2厘米，已知内圆半径是4厘米，求圆环面积。
- 直接写出公式：用外圆直径 \(D\) 和内圆直径 \(d\) 表示的圆环面积公式 \(S=\) ______ 。
- 一个圆形水池，池面半径是5米，在它周围有一条宽1米的环形小路。求小路的内圆半径和外圆半径。
- 一个圆环，\(R=7.5cm, r=2.5cm\)，计算时先算 \(R^2 - r^2\) 更简便，还是先算 \(πR^2\) 和 \(πr^2\) 更简便？为什么？
第二关：高频考题（拉开差距的关键，10道）
- 一个环形铁片，外圆半径是6厘米，内圆半径是4厘米。这个铁片的面积是多少？（结果保留π）
- 公园里有一个圆形花坛，半径是4米。现在要在花坛周围铺一条宽2米的环形石子路。这条石子路的面积是多少平方米？
- 光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米。它的面积是多少？
- 一个环形，外圆周长是37.68厘米，内圆周长是25.12厘米。这个环形的面积是多少平方厘米？
- 将一个半径是3厘米的圆形纸片，剪去一个半径是1厘米的同心圆，剩下部分的面积是多少？
- 一个环形垫圈，内直径是8毫米，外直径是12毫米。这个垫圈的面积是多少平方毫米？
- 运动场的跑道（中间是矩形，两端是半圆组成的环形）最内圈跑道的长度为200米，已知直道长50米，求跑道的宽度（即环形部分的宽度）。(提示：先求半圆部分半径)
- 已知圆环面积是 \(100π\) 平方厘米，外圆半径是内圆半径的2倍，求内圆半径。
- 求阴影部分面积（图为一个正方形，里面挖去一个最大的圆，即圆环的变形）。已知正方形边长为10厘米。
- 一个圆环，如果它的外圆半径增加1厘米，内圆半径减少1厘米，那么圆环的面积会如何变化？（变大、变小、不变）请说明理由。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 如图，大圆的半径是10厘米，在它的内部有四个同样大小的相互重叠的小圆，且四个小圆的圆心都在大圆的一条直径上。求阴影部分（大圆内四个小圆之外的部分）的总面积。
- 一个零件截面如图，由一个大半圆环和一个小半圆组成。已知 \(AB=8cm\) (大半圆直径)，\(CD=4cm\) (小半圆直径)，求这个零件截面的面积。
- “方中圆，圆中方”问题变式：在一个边长为12厘米的正方形纸片上，剪去一个最大的圆，再在剩下的四个角上各剪去一个相同的最大的小圆（小圆与大圆内切）。求剩余纸片的面积。
- 综合题：一个圆形池塘，周长是62.8米。池塘周围有一条2米宽的水泥路。
- 求水泥路的面积。
- 如果每平方米水泥路需要花费80元，铺满这条路一共需要多少钱？
- 探究题：证明当圆环的宽度（即 \(R-r\) ）固定为 \(a\) 时，圆环的面积 \(S = π a (2r + a)\)。并利用此公式计算：一个宽度为2厘米的圆环，已知内圆半径为3厘米，求其面积。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 查单位： 结果是否带了面积单位（平方xx）。2. 查合理性： 圆环面积肯定比内圆面积大，比外圆面积小，心算一下看看结果是否在这个合理范围内。3. 公式对比： 检查自己用的是否是 \(π(R^2 - r^2)\)，而不是 \((R-r)^2\)。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：记住“大减小”这个核心！圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积。在草稿纸上分别写出 \(πR^2\) 和 \(πr^2\)，然后相减。这本身就是最根本的推导过程，绝对不会错。
参考答案
第一关： 1. 122.46 m² 2. 75.36 dm² 3. 5 cm 4. × 5. 3 cm 6. \(π[(\frac{D}{2})^2 - (\frac{d}{2})^2]\) 或 \(\frac{π}{4}(D^2-d^2)\) 7. 62.8 cm² 8. \(\frac{π}{4}(D^2-d^2)\) 9. 内圆半径5米，外圆半径6米。 10. 先算 \(R^2 - r^2\) 更简便，因为 \(7.5^2 - 2.5^2 = (7.5+2.5)(7.5-2.5)=10×5=50\)，计算简便。
第二关： 1. \(20π cm²\) 2. 62.8 m² 3. 100.48 cm² 4. 100.48 cm² 5. 25.12 cm² 6. 62.8 mm² 7. 约15.9米（半圆部分半径= (200-50×2)/(2π) ≈ 15.9米，此即内半径，宽度需另求内外半径差）【此题需图示，宽度非直接等于此半径】 8. \(5\sqrt{2} cm\) 或约7.07cm 9. 21.5 cm² (100 - 25π ≈ 21.5) 10. 变大。因为外圆半径增加1cm带来的面积增量 (\(2πR+π\)) 大于内圆半径减少1cm带来的面积减量 (\(2πr-π\))。
第三关： 1. 【需图示，假设四个小圆两两相切且与大圆内切，阴影面积=大圆面积-4×小圆面积，具体数值依图形而定】。2. 【需图示，面积=大半圆环面积(\(π(4^2-2^2)/2\))+小半圆面积(\(π(2^2)/2\))=\(6π+2π=8π cm²\)】。 3. 剩余面积=正方形面积-大圆面积-4×小圆面积。大圆半径6cm，小圆半径(正方形中心到顶角距离减大圆半径)=\(6\sqrt{2}-6\) cm，具体计算略。 4. a) 池塘半径=10m，路外圆半径=12m，路面积=\(π(12²-10²)=138.16 m²\)。 b) 138.16×80=11052.8元。 5. 证明：\(S=π(R^2-r^2)=π[(r+a)^2 - r^2]=π[r^2+2ar+a^2 - r^2]=π a(2r+a)\)。应用：S=3.14×2×(2×3+2)=3.14×2×8=50.24 cm²。
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