还原问题解题技巧：画图法专项练习与答案解析-PDF下载

💡 阿星精讲：还原问题：画图 原理

• 核心概念：想象一下，你有一个神秘的原始数字，就像一个小精灵。它偷偷溜进了一个“运算迷宫”，在里面经历了加、减、乘、除的考验，最后在出口处，你看到它变成了 \(10\)。你的任务就是：沿着它走过的路，倒着走回去，把它救出来！ 怎么倒着走呢？阿星有妙招：加变减，减变加；乘变除，除变乘。 把每一步逆运算连起来画成流程图，就是一张“寻宝倒推地图”。
• 计算秘籍：
  1. 定终点：明确最后的结果是多少（比如 \(10\)）。
  2. 画流程图（顺向）：用方框代表数字，箭头代表运算，画出事情发生的顺序。
     
     
  3. 逆向倒推：从结果 \(10\)（或已知终点）开始，倒着走，遇到顺向的“加”就逆向“减”，遇到“乘”就逆向“除”。
     
     
  4. 写出算式：把倒推过程写成算式：\(10 \rightarrow ?\) 变成 \( (10 \div 2) + 5 = ?\)，但更规范的是从最后一步开始列式：若“某数 \( \times 3 = 36\)”，则某数为 \(36 \div 3 = 12\)。
• 阿星口诀：还原问题像迷宫，顺着结果往回冲。加减乘除变方向，答案就在倒影中。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：顺序搞错，顺着算。 看到题目就急着从前往后猜数字。
  → ✅ 正解：一定要“倒着走”！ 先找到最终结果，作为起点，再一步步逆推回原点。
• ❌ 错误2：逆运算符号搞反。 倒推时，把“加 \(5\)”逆运算成“加 \(5\)”或“减 \(5\)”凭感觉。
  → ✅ 正解：牢记“逆运算口诀”。 顺向是“+5”，逆向一定是“-5”；顺向是“×3”，逆向一定是“÷3”。像照镜子一样完全相反。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个数减去 \(5\) 后是 \(12\)，这个数是多少？
2. 一个数乘 \(4\) 再加 \(7\) 得 \(35\)，求这个数。
3. 某数先加上 \(9\)，再除以 \(4\)，结果是 \(5\)，求某数。
4. 一个数先扩大 \(5\) 倍，再减去 \(15\)，等于 \(30\)，这个数是多少？
5. 小明的年龄乘以 \(2\)，再加 \(10\)，正好是 \(30\)。小明几岁？
6. 一盒糖，吃了一半还多 \(3\) 颗，还剩 \(7\) 颗。这盒糖原来有多少颗？
7. 一个数先除以 \(6\)，再乘 \(5\)，结果是 \(15\)，这个数是多少？
8. 树上有一群鸟，飞走 \(6\) 只，又飞来剩下的一半，现在有 \(10\) 只。最初有多少只？
9. 一个数减去它的一半，差是 \(8\)，这个数是多少？
10. 钱包里有些钱，买东西花去 \(25\) 元后，剩下的钱是原来的一半。原来有多少钱？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 甲、乙、丙三堆棋子，先从甲堆取一部分放入乙、丙，使乙、丙棋子数各增加一倍；再从乙堆取一部分放入甲、丙，使甲、丙现有棋子数各增加一倍；最后从丙堆取一部分放入甲、乙，使甲、乙现有棋子数各增加一倍。此时三堆棋子都是 \(16\) 枚。最初甲堆有多少枚？
2. 一根电线，第一次用去全长的一半多 \(5\) 米，第二次用去余下的一半少 \(3\) 米，第三次用去 \(8\) 米，最后剩下 \(4\) 米。这根电线原长多少米？
3. 一个数的小数点向右移动一位后，得到的数比原数大 \(18.9\)，原数是多少？
4. 仓库里有一批粮食，第一次运出全部的一半少 \(2\) 吨，第二次运出余下的一半多 \(1\) 吨，第三次运出 \(5\) 吨，还剩 \(4\) 吨。仓库原有粮食多少吨？
5. 三个盒子共有 \(90\) 颗糖。从第一盒拿出 \(12\) 颗放入第二盒，从第二盒拿出 \(18\) 颗放入第三盒，从第三盒拿出 \(8\) 颗放入第一盒后，三盒糖一样多。原来第二盒有多少颗？
6. 一个数，把它加上 \(24\)，再乘以 \(4\)，减去 \(20\)，得到的结果除以 \(10\)，最后等于 \(6\)。这个数是多少？
7. 一桶油，第一次倒出全部的一半多 \(1\) 升，第二次倒出余下的一半多 \(2\) 升，第三次倒出余下的一半多 \(3\) 升，这时桶里还剩 \(1\) 升。桶原有多少升油？
8. 某人从甲地到乙地，第一天走了全程的一半多 \(12\) 千米，第二天走了剩下的一半多 \(5\) 千米，这时还剩 \(18\) 千米。甲乙两地相距多少千米？
9. 一个数，它的 \(3\) 倍加上 \(6\)，再除以 \(5\)，商是 \(9\)，余数是 \(3\)。求这个数。
10. 甲、乙共有 \(60\) 元，甲给乙 \(10\) 元后，乙的钱是甲的一半。甲原来有多少钱？

第三关：生活应用（5道）

1. （AI训练） 一个AI模型在训练时，权重参数先进行了“加 \(0.5\)”的偏置调整，再经过了“乘以学习率 \(0.1\)”的更新，最终输出值是 \(0.75\)。请问调整前的原始权重参数是多少？
2. （航天控制） 地面指挥中心向火星探测器发送一个指令代码。探测器收到后，先将其数值乘以 \(2\) 再减去地球与火星的通讯延迟系数 \(18\)，得到执行码 \(100\)。请问地面发送的原始指令代码是多少？

（网购优惠） 小星网购一件商品，先用了一张“满 \(200\) 减 \(30\)”的券，又享受了“八折”优惠，最后支付了 \(136\) 元。请问这件商品的原价是多少元？（提示：倒推时，先复原打折前价格，再复原用券前价格）。

3. （数据加密） 一个简单的加密程序：对原始数据先“加 \(7\)”，再“与 \(5\) 相乘”，最后“对 \(20\) 取模（求余数）”得到密文 \(3\)。已知原始数据是一个 \(0\) 到 \(10\) 之间的整数，求它。
4. （游戏攻略） 在游戏中，小星的英雄生命值先被怪物攻击减少了 \(30\%\)，她使用一个血瓶恢复了固定 \(50\) 点生命值后，总生命值变为 \(210\) 点。请问她的英雄满血时是多少点生命值？（提示：减少 \(30\%\) 意味着剩下 \(70\%\)）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(12 + 5 = 17\)
2. \((35 - 7) \div 4 = 28 \div 4 = 7\)
3. \(5 \times 4 - 9 = 20 - 9 = 11\)
4. \((30 + 15) \div 5 = 45 \div 5 = 9\)
5. \((30 - 10) \div 2 = 20 \div 2 = 10\) (岁)
6. \((7 + 3) \times 2 = 10 \times 2 = 20\) (颗) (解析：“吃一半多 \(3\) 颗”，则剩的比一半少 \(3\) 颗，所以一半是 \(7+3=10\) 颗)
7. \(15 \div 5 \times 6 = 3 \times 6 = 18\)
8. 倒推：“飞来剩下的一半”后是 \(10\) 只，则飞来前是 \(10 \div (1 + 0.5) = ?\) 更易理解：飞走 \(6\) 只后为 \(A\) 只，飞来 \(A \div 2\) 只，有 \(A + A/2 = 10\)，所以 \(1.5A=10\), \(A=20/3\) 非整数，题有歧义。标准倒推：第二次变化前（即飞走6只后）为 \(B\)，则 \(B + B/2 = 10\)， \(3B/2=10\), \(B=20/3\)。原题意图应为“飞来剩下的鸟的一半”，即飞来 \(B/2\) 只，故 \(B + B/2 = (3/2)B = 10\), \(B=20/3\)，不符合整数只。此处题目有误，改为“飞走6只，又飞来6只，现在有10只”，则最初为 \(10 - 6 + 6 = 10\) 只。本题答案暂略。
9. \(8 \times 2 = 16\) (解析：减去一半，差就是一半，所以原数是一半的 \(2\) 倍)
10. \(25 \times 2 = 50\) (元) (解析：花去 \(25\) 元后剩一半，说明 \(25\) 元就是另一半)

第二关 & 第三关解析 因篇幅所限，仅提供关键步骤或最终答案。鼓励学生画图自证。

11. （甲堆棋子）从最后一步往前倒推。最终甲乙丙均为 \(16\)。第三次操作（丙给甲乙）前：甲 \(16 \div 2 = 8\)，乙 \(16 \div 2 = 8\)，丙 \(16 + 8+8 = 32\)。第二次操作（乙给甲丙）前：甲 \(8 \div 2 = 4\)，丙 \(32 \div 2 = 16\)，乙 \(8 + 4+16 = 28\)。第一次操作（甲给乙丙）前：乙 \(28 \div 2 = 14\)，丙 \(16 \div 2 = 8\)，甲 \(4 + 14+8 = 26\)。答：甲最初 \(26\) 枚。
12. （电线）倒推：第三次用前：\(4 + 8 = 12\) 米。第二次用前（“一半少3米”后剩12米）：\( (12 - 3) \times 2 = 9 \times 2 = 18\) 米。第一次用前（“一半多5米”后剩18米）：\((18 + 5) \times 2 = 23 \times 2 = 46\) 米。
13. （小数点移动）向右移一位是原数的 \(10\) 倍，比原数大 \(9\) 倍。原数：\(18.9 \div 9 = 2.1\)。
14. （仓库粮食）倒推：第三次运出前：\(4 + 5 = 9\) 吨。第二次运出前（“一半多1吨”后剩9吨）：\((9 + 1) \times 2 = 20\) 吨。第一次运出前（“一半少2吨”后剩20吨）：\((20 - 2) \times 2 = 18 \times 2 = 36\) 吨。
15. （三盒糖）最后每盒：\(90 \div 3 = 30\) 颗。从最后状态向前还原操作：从第三盒拿 \(8\) 颗给第一盒前：第一盒 \(30 - 8 = 22\)，第三盒 \(30 + 8 = 38\)。从第二盒拿 \(18\) 颗给第三盒前：第三盒 \(38 - 18 = 20\)，第二盒 \(30 + 18 = 48\)。从第一盒拿 \(12\) 颗给第二盒前：第二盒 \(48 - 12 = 36\)，第一盒 \(22 + 12 = 34\)。答：第二盒原有 \(36\) 颗。
16. （综合运算）\([ (6 \times 10) + 20 ] \div 4 - 24 = [60 + 20] \div 4 - 24 = 80 \div 4 - 24 = 20 - 24 = -4\)。
17. （桶油）倒推：第三次倒前：(\(1 + 3\)) × 2 = 8 升。第二次倒前：(\(8 + 2\)) × 2 = 20 升。第一次倒前：(\(20 + 1\)) × 2 = 42 升。
18. （路程）倒推：第二天走前：(\(18 + 5\)) × 2 = 46 千米。第一天走前（全程）：(\(46 + 12\)) × 2 = 116 千米。
19. （带余除法）倒推：除以5之前是：\(9 \times 5 + 3 = 48\)。它的3倍加6是48，所以它的3倍是 \(48 - 6 = 42\)，它是 \(42 \div 3 = 14\)。
20. （和倍问题）最后：乙是甲的一半，设甲最后为 \(2\) 份，乙为 \(1\) 份，总和 \(60\) 元，所以 \(1\) 份是 \(60 \div 3 = 20\) 元。最后甲有 \(40\) 元，乙有 \(20\) 元。还原：甲给乙 \(10\) 元前，甲有 \(40 + 10 = 50\) 元，乙有 \(20 - 10 = 10\) 元。答：甲原有 \(50\) 元。
21. （AI训练）倒推：乘以 \(0.1\) 后是 \(0.75\)，之前是 \(0.75 \div 0.1 = 7.5\)。加 \(0.5\) 后是 \(7.5\)，之前是 \(7.5 - 0.5 = 7.0\)。
22. （航天控制）倒推：减去 \(18\) 后是 \(100\)，之前是 \(100 + 18 = 118\)。乘以 \(2\) 后是 \(118\)，之前是 \(118 \div 2 = 59\)。
23. （网购优惠）倒推：八折后是 \(136\) 元，打折前为 \(136 \div 0.8 = 170\) 元。满200减30后是 \(170\) 元，则用券前原价至少 \(200\) 元，且满足：原价 \(-30 = 170\)，所以原价是 \(170 + 30 = 200\) 元。
24. （数据加密）设原始数据为 \(x\)。加密过程：\(( (x + 7) \times 5 ) \mod 20 = 3\)。即 \((5x + 35) \mod 20 = 3\)。由于 \(35 \mod 20 = 15\)，所以 \((5x + 15) \mod 20 = 3\)。尝试 \(x\) 从 \(0\) 到 \(10\)：\(x=4\) 时，\(5*4+15=35\)， \(35 \mod 20 = 15\)；\(x=8\) 时，\(5*8+15=55\)， \(55 \mod 20 = 15\)；发现 \(5x+15\) 末位是0或5，模20后只能是0,5,10,15，无法得到3。题设或理解有误。若将“取模”放在最后一步理解正确，则可能为 \(( (x+7)*5 ) = 20k + 3\)，因x小，取k=1, 则 (x+7)*5=23, x+7=4.6，非整数；k=2, 得 x+7=8.6；k=3，得 x+7=12.6。皆非0-10整数解。此题作为开放思考。
25. （游戏生命值）设满血为 \(H\)。被攻击后剩下 \(H \times (1 - 30\%) = 0.7H\)。加 \(50\) 后：\(0.7H + 50 = 210\)。所以 \(0.7H = 160\)， \(H = 160 \div 0.7 \approx 228.57\)，通常游戏数值为整数，可能为 \(229\) 点或设计为 \(0.7H=160\) 有精确解 \(H=1600/7\)。按题目，\(H = (210 - 50) \div 0.7 = 160 \div 0.7 = 228\frac{4}{7}\)，取近似或题目数据需调整。