余数性质可加性与可乘性详解：原理、例题及练习题PDF下载

💡 阿星精讲：余数性质：可加可乘 原理

• 核心概念：想象一下，两个数 \(a\) 和 \(b\) 要除以同一个数 \(m\)。它们各自都会带一个“小跟班”——余数。当 \(a\) 和 \(b\) 要手拉手相加（或肩并肩相乘）时，阿星发现：根本不用劳烦 \(a\) 和 \(b\) 这两个“大老板”亲自出马，只需要让它们的“小跟班”（余数）去相加（或相乘），然后把得到的结果再向 \(m\) “汇报”一下（即再除以 \(m\) 取余），得到的最终余数，和“大老板”们亲自算完再取余的结果一模一样！这就是“余数也可以做运算”的奇妙之处。
• 计算秘籍：
  1. 设除数为 \(m\)。
  2. 对于加法：计算 \(a \div m\) 的余数 \(r_a\)，计算 \(b \div m\) 的余数 \(r_b\)。
  3. 那么，\( (a + b) \mod m = (r_a + r_b) \mod m \)。用严谨的公式表达就是：
     \((a + b) \mod m = [(a \mod m) + (b \mod m)] \mod m\)。
  4. 对于乘法：同理，\( (a \times b) \mod m = (r_a \times r_b) \mod m \)。用公式表达：
     \((a \times b) \mod m = [(a \mod m) \times (b \mod m)] \mod m\)。
• 阿星口诀：大数运算太麻烦，余数代替它来干；加减乘后莫要忘，最后再除取余算。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算 \( (23 + 19) \mod 4 \) 时，直接用 \(23 \mod 4 = 3\) 和 \(19 \mod 4 = 3\) 相加得到 \(6\)，然后就写答案是 \(6\)。
  ✅ 正解：余数“运算”后，必须再次对除数取余！\( (3 + 3) \mod 4 = 6 \mod 4 = 2 \)。所以最终余数是 \(2\)。
• ❌ 错误2：认为减法和除法也有完全相同的性质，直接套用。
  ✅ 正解：减法性质类似：\( (a - b) \mod m = [(a \mod m) - (b \mod m)] \mod m \)，但要注意结果可能为负，通常调整为非负。除法没有普遍的“可余性”，不能直接让余数相除。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求 \( (47 + 68) \mod 3 \)。
2. 求 \( (91 + 25) \mod 4 \)。
3. 求 \( (123 \times 4) \mod 5 \)。
4. 求 \( (56 \times 29) \mod 10 \)。
5. 求 \( (17 + 24 + 35) \mod 6 \)。
6. 求 \( (8 \times 13 \times 22) \mod 7 \)。
7. 今天是星期三，\(25\) 天后是星期几？
8. 一个数除以 \(9\) 余 \(4\)，另一个数除以 \(9\) 余 \(7\)，两数之和除以 \(9\) 余几？
9. \( (132 - 79) \mod 11 \) 的余数是多少？（注意调整结果非负）
10. 验证：\( (19 \mod 5) + (37 \mod 5) \) 与 \( (19+37) \mod 5 \) 最终结果是否相等？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 求 \(2^{10} \mod 7\) 的余数。（提示：\(2^3=8\)）
2. 求 \(1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 \mod 4\)。
3. \(123456789 \times 987654321\) 的个位数字是多少？
4. 一个整数，除以 \(5\) 余 \(2\)，除以 \(7\) 余 \(3\)，这个数除以 \(35\) 余多少？
5. 求 \( (1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 99^3) \mod 4 \)。
6. 今天是星期五，那么 \(3^{100}\) 天后是星期几？
7. \(11 + 22 + 33 + ... + 99\) 除以 \(4\) 的余数。
8. \(777^{777}\) 的个位数字是多少？
9. 是否存在整数 \(n\)，使得 \(n^2 + n + 1\) 能被 \(5\) 整除？
10. 求 \(2024^{2024} \mod 9\) 的余数。（提示：数字和与模 \(9\) 的关系）

第三关：生活应用（5道）

1. （AI数据分片） 训练一个AI模型需要处理 \(2025\) 条数据，为了并行加速，需要均匀分给 \(8\) 个GPU核心处理。最后会剩下几条数据无法平均分配？
2. （航天轨道） 一颗人造卫星绕地球一周需要 \(7\) 小时 \(23\) 分钟（即 \(443\) 分钟）。如果它于今天 \(12:00\) 整经过某地上空，请问 \(1000\) 分钟后（约 \(16.7\) 小时后），它是否正好经过该地上空？
3. （网购满减） 某电商平台满 \(300\) 减 \(50\)。你的购物车里有三件商品，价格分别除以 \(300\) 的余数是 \(120\)、\(80\)、\(110\) 元。通过计算总价余数，快速判断是否达到满减门槛？
4. （密码校验） 一种简单的校验码算法是将身份证前17位数字，分别乘以权重 \(7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2\) 后求和，再对 \(11\) 取余。已知前17位和权重分别取余后的“余数和”为 \(38\)，请问最终的校验码余数是多少？
5. （循环赛制） 有 \(n\) 支队伍进行单循环赛（每两队赛一场），总共比赛场数为 \(S = \frac{n(n-1)}{2}\)。如果已赛完的总场次除以 \(4\) 的余数是 \(1\)，请问 \(n\) 除以 \(4\) 的余数可能为多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (47 \mod 3=2) + (68 \mod 3=2) = 4, \quad 4 \mod 3 = 1 \)。
2. \( (91 \mod 4=3) + (25 \mod 4=1) = 4, \quad 4 \mod 4 = 0 \)。
3. \( (123 \mod 5=3) \times (4 \mod 5=4) = 12, \quad 12 \mod 5 = 2 \)。
4. 求个位即 \(\mod 10\)：\( (56 \mod 10=6) \times (29 \mod 10=9)=54, \quad 54 \mod 10 = 4 \)。
5. \( (17 \mod 6=5)+(24 \mod 6=0)+(35 \mod 6=5)=10, \quad 10 \mod 6=4 \)。
6. \( (8 \mod 7=1)\times(13 \mod 7=6)\times(22 \mod 7=1) = 1\times6\times1=6, \quad 6 \mod 7=6 \)。
7. 星期三对应 \(3\)，求 \( (3+25) \mod 7 = 28 \mod 7 = 0 \)，对应星期日。
8. \( (4+7) \mod 9 = 11 \mod 9 = 2 \)。
9. \( (132 \mod 11=0) - (79 \mod 11=2) = -2\)，调整：\(-2 + 11 = 9\)。
10. 左边：\(4+2=6\)；右边：\(56 \mod 5 = 1\)。最终结果都是 \(1\)（注意左边 \(6\) 不是最终结果，需再取余）。

第二关：奥数挑战

1. \(2^3=8 \equiv 1 \pmod 7\)，所以 \(2^{10} = (2^3)^3 \times 2 \equiv 1^3 \times 2 = 2 \pmod 7\)。
2. 每个奇数 \(\mod 4\) 只能是 \(1\) 或 \(3\)。乘积中只要有一个余数为 \(3\)（奇数），另一个 \(3\) 就会使其变为 \(9 \mod 4 = 1\)。分析知，结果等价于 \(1\times3\times1\times3\times1 \mod 4 = 9 \mod 4 = 1\)。
3. 个位即 \(\mod 10\)：\( (123456789 \mod 10=9) \times (987654321 \mod 10=1) = 9 \)。
4. 设数为 \(n=5a+2=7b+3\)。枚举：除以 \(5\) 余 \(2\) 的数：\(2,7,12,17,22,27,\ldots\)。其中除以 \(7\) 余 \(3\) 的最小数是 \(17\)。则 \(n=35k+17\)，余数为 \(17\)。
5. 任何整数 \(n\)，\(n^3 \mod 4\) 与 \(n \mod 4\) 相同（可验证 \(0^3=0,1^3=1,2^3=8\equiv0,3^3=27\equiv3\)）。原式等价于 \( (1+2+3+\ldots+99) \mod 4 \)。求和 \(4950\)，\(4950 \mod 4 = 2\)。
6. 星期问题即模 \(7\)。\(3^1 \mod 7=3, 3^2\mod7=2, 3^3\mod7=6, 3^4\mod7=4, 3^5\mod7=5, 3^6\mod7=1\)。周期为 \(6\)。\(100 \mod 6 = 4\)，所以 \(3^{100} \equiv 3^4 = 81 \equiv 4 \pmod 7\)。星期五（5）过 \(4\) 天是星期二（5+4=9, 9\mod7=2）。
7. 原式=\(11(1+2+\ldots+9)=11\times45\)。\(45 \mod 4 = 1\)，所以余数为 \( (11 \mod 4=3) \times 1 = 3\)。
8. 找 \(7^n\) 个位周期：\(7,9,3,1\)，周期 \(4\)。\(777 \mod 4 = 1\)，所以个位同 \(7^1\)，为 \(7\)。
9. 试 \(n \mod 5\) 分别为 \(0,1,2,3,4\)，代入 \(n^2+n+1\) 得余数 \(1,3,2,3,1\)，均不为 \(0\)，故不存在。
10. 一个数模 \(9\) 的余数等于其数字和模 \(9\)。\(2024\) 的数字和 \(2+0+2+4=8\)，所以 \(2024 \equiv 8 \pmod 9\)。问题转为 \(8^{2024} \mod 9\)。\(8 \equiv -1 \pmod 9\)，\(2024\) 为偶数，所以 \((-1)^{2024} = 1\)。

第三关：生活应用

1. 求 \(2025 \mod 8\)。\(8\times253=2024\)，余 \(1\)。剩 \(1\) 条。
2. 判断 \(443\) 能否整除 \(1000\)？即求 \(1000 \mod 443\)。\(443\times2=886\)，\(1000-886=114\)。余数 \(114 \neq 0\)，所以不在同一位置。
3. 总价余数 \( (120+80+110) \mod 300 = 310 \mod 300 = 10\)。总价余数仅为 \(10\) 元，远小于 \(300\)，说明总价刚超过 \(300\) 一点，达到满减门槛。
4. 最终余数为 \(38 \mod 11 = 5\)。
5. \(S = \frac{n(n-1)}{2}\)。已知 \(S \equiv 1 \pmod 4\)，即 \(n(n-1) \equiv 2 \pmod 8\)。枚举 \(n \mod 4\)：若 \(n\equiv0\)，则 \(n(n-1)\equiv0\)；若 \(n\equiv1\)，则 \(n(n-1)\equiv0\)；若 \(n\equiv2\)，则 \(n(n-1)\equiv2\)；若 \(n\equiv3\)，则 \(n(n-1)\equiv6\equiv2 \pmod 4\) 但模8为6。满足模8余2的条件是 \(n \equiv 2 \pmod 4\)。