期末复习：九年级数学上册正多边形考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：考点：正多边形 核心考点速记
【开篇语：本考点是期末几何部分的“常客”，会以选择题、填空题的形式直接考查公式计算，更常作为圆与多边形综合题或几何证明题的关键一步出现，务必掌握其核心性质。】
- 必背概念：所有边相等、所有角相等的多边形叫正多边形。它都有一个外接圆（所有顶点在同一个圆上）和一个内切圆（所有边与同一个圆相切），这个共同的圆心就是正多边形的中心。
- 阿星顺口溜：“正n边形分中心，中心角是360除以n；正六边形是王牌，六个等边拼起来，半径边长一家亲，解题用它最省心！”
- 万能公式：
- 中心角（外接圆中对着一边的圆心角）：$$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$$
- 每个内角：$$\theta = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$$
- 每个外角：$$\beta = \frac{360^\circ}{n}$$（恒等于中心角！）
- 边长 \(a\) 与半径 \(R\)：这是期末大题的命脉！ 直角三角形模型（由中心、半径、边心距、一半边长构成）中用勾股定理解决。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 陷阱一：混淆“中心角”、“内角”、“外角”。
常见错解：问正五边形的中心角度数，学生误用内角公式计算：$$\frac{(5-2)\times180}{5} = 108^\circ$$。 - ✅ 满分规范：牢记中心角和外角的公式相同，都是$$\frac{360^\circ}{n}$$。所以正五边形中心角是$$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$$。画个中心与顶点相连的图，一目了然。
- ❌ 陷阱二：求半径或边长时，用错“n”的值或忽略“一半”。
常见错解：已知正八边形的边心距 \(r=4\)，求半径 \(R\)。学生直接构造三角形但忘记中心角是$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$$的一半才是直角三角形中的锐角，导致计算错误。 - ✅ 满分规范：在由中心、半径 \(R\)、边心距 \(r\)、半边长 \(\frac{a}{2}\) 构成的直角三角形中，中心角的一半才是这个直角三角形的顶角。必须写出关键步骤：$$中心角 \alpha = \frac{360^\circ}{n}, \quad 半中心角 = \frac{\alpha}{2}$$，再用三角函数或勾股定理求解。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：若一个正多边形的中心角为 \(45^\circ\)，则这个正多边形是正______边形。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 直接考查中心角公式：$$\frac{360^\circ}{n} = 中心角$$。
- 第二步：快速求解。 由$$\frac{360}{n}=45$$，得$$n=8$$。
✅ 答案：八
模型 2：计算题（求半径/边长/面积）
题目：已知正六边形 \(ABCDEF\) 的边长为 \(4\)，求它的外接圆半径 \(R\) 和面积 \(S\)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别模型。 看到“正六边形”，立刻启动“六个等边三角形”模型！这是最快路径。
- 第二步：快速求解。
- 半径 \(R\) = 边长 = \(4\)。
- 面积 \(S\)：可看作6个边长为4的等边三角形面积之和。等边三角形面积公式：$$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$。所以 $$S = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 24\sqrt{3}$$。
✅ 答案：外接圆半径 \(R=4\)，面积 \(S=24\sqrt{3}\)。
模型 3：圆与正多边形综合题（大题）
题目：如图，\(\odot O\) 的内接正五边形 \(ABCDE\)，对角线 \(AD\) 与 \(BE\) 相交于点 \(P\)。求证：\(AP = AB\)。
📌 解题思路：
- 第一步：分析已知。 正五边形所有边相等，所有内角相等（每个 $$108^\circ$$）。在圆中，弧相等则对应弦、圆周角相等。
- 第二步：寻找等量关系。
- 因为 \(AB = BC = CD = DE = EA\)，所以弧 \(AB =\) 弧 \(BC = ...\)。
- 观察 \(\triangle ABP\)，要证 \(AP=AB\)，即证 \(\angle ABP = \angle APB\)。
- \(\angle APB\) 是弧 \(AB\) 和弧 \(ED\) 所对圆周角之和的一半（外角定理在圆中的应用）。利用正五边形的弧相等关系，可以推导出这些角都与 \(36^\circ\) 有关（正五边形对角线分割出的黄金三角形）。
- 最终可证得 \(\angle ABP = \angle APB = 72^\circ\)，从而 \(AP=AB\)。
✅ 答案：证明略（关键在于利用正五边形的等弧性质推导等角）。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 正九边形的中心角是 ______ 度。
- 正十二边形的每个外角是 ______ 度。
- 若一个正多边形的内角是 \(140^\circ\)，则它是正 ______ 边形。
- 正六边形的边心距与半径的比是 ______。（提示：构造含 \(30^\circ\) 的直角三角形）
- 判断题：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆。（ ）
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 已知正 \(\triangle ABC\) 内接于 \(\odot O\)，其边心距为 \(\sqrt{3}\)，则 \(\odot O\) 的半径为 ______。
- 同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的边长比为 ______。
- 已知一个正多边形的半径 \(R=10\)，边心距 \(r=5\sqrt{3}\)，则该正多边形的边数是 ______。
- 如图，正八边形 \(ABCDEFGH\) 的边长为 \(2\)，求对角线 \(AC\) 的长。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 正五边形 \(ABCDE\) 中，连接 \(AC\)，则 \(\angle BAC =\) ______ 度。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 如图，\(\odot O\) 是正五边形 \(ABCDE\) 的外接圆，\(P\) 是弧 \(AB\) 上一点，连接 \(PC, PE\)。探究 \(PA, PC, PE\) 三条线段的数量关系，并证明。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 定义：若一个正 \(n\) 边形可以分割成 \(n-2\) 个三角形，则称其为“三角形可分割多边形”。请问：正六边形是否是“三角形可分割多边形”？若是，请画出至少两种分割方案；若不是，请说明理由。
- 已知正 \(n\) 边形的边长为 \(a\)，其内切圆半径为 \(r\)。求证：$$\frac{a}{2r} = \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$$。
- 要用边长相等的正六边形和正方形地砖密铺地面（无缝隙、不重叠），则在每个顶点周围，正六边形地砖和正方形地砖的块数分别是多少？
- （动点问题）如图，点 \(P\) 是半径为 \(2\) 的 \(\odot O\) 上一个动点，以 \(P\) 为顶点作该圆的内接正三角形 \(PAB\)。求线段 \(AB\) 长度的最大值。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 代回验证：算出的边数 \(n\) 必须是大于等于3的整数。2. 画草图判断：求出的半径、边长、角度大小是否符合直观（如半径应大于边心距）。3. 特殊值检验：对于正六边形，一定记住“半径=边长”，这是最快的检验标准。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：千万不要慌！现场推导： 1. 画一个正多边形（从三角形、四边形、六边形入手）。2. 连接中心与各顶点，会自动分割出 \(n\) 个全等的等腰三角形。3. 中心角是 $$360^\circ / n$$，然后利用这个等腰三角形的顶角和底角关系，用三角形内角和、勾股定理、三角函数，完全可以现场推出所有你需要的关系式！
参考答案
第一关： 1. 40 2. 30 3. 九 4. \(\sqrt{3} : 2\) 5. √
第二关： 1. 2 2. \(\sqrt{3} : 2\) 3. 六 4. \(2\sqrt{2+\sqrt{2}}\) 或 \(2\sqrt{2}+2\)（因分割方法不同，形式可能不同） 5. 36
第三关： 1. \(PE = PA + PC\)（提示：在 \(PE\) 上截取 \(PF=PA\)，证 \(\triangle PAF \cong \triangle CAB\)，再证 \(FC=PC\)） 2. 是，有多种分割方案（例如从同一顶点出发连所有对角线；或从中心向各顶点连线再适当组合）。 3. 提示：连接中心与一边的两个端点及切点，构成直角三角形，半边长 \(a/2\) 对边为内切圆半径 \(r\)，半中心角为 \(180^\circ / n\)。 4. 正六边形1块，正方形2块。 5. 最大值是 \(2\sqrt{3}\)（当 \(P\) 位于弦 \(AB\) 的中垂线上时取得）。