期末复习：八年级数学上册实数比较大小考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：实数比较大小核心考点速记
【开篇语：实数比较大小是必考点，几乎100%会出现在期末试卷的选择题或填空题中，有时也会融合在几何、代数的大题中作为比较大小的一个步骤。掌握了方法，这就是送分题！】
- 必背概念：比较实数大小的核心就是把它化繁为简。比如，不好直接比较√10和π谁大？那就估算一下！√9=3，√16=4，所以√10≈3.1多一点；而π≈3.14。一下就比出来了，π更大。记住阿星的“作差法”铁律：若 a - b > 0，则 a > b；若 a - b = 0，则 a = b；若 a - b < 0，则 a < b。这是所有比较法的底层逻辑。
- 阿星顺口溜：“无理数不用慌，估算平方找邻邦。正数平方比大小，负数绝对要记牢。”（注：正数比较，平方后大的原数就大；负数比较，绝对值大的反而小。）
- 万能公式：
- 作差法（根本）：若 \( a - b > 0 \)，则 \( a > b \)。
- 平方法（用于含根号的正数）：若 \( a > 0, b > 0 \)，且 \( a^2 > b^2 \)，则 \( a > b \)。
- 倒数法（特殊情况）：两个同号且不等于0的数，倒数大的反而小。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1：比较负数大小时，误认为数字“大”的就大。例如：判断 -2.5 和 -3 的大小，错误认为 -2.5 > -3，因为2.5比3小。
- ✅ 满分规范：比较两个负数，绝对值大的那个反而小。正确做法：∵ \(|-2.5|=2.5， |-3|=3， 且 2.5 < 3\)，∴ \(-2.5 > -3\)。必须在脑中过一遍数轴，右边的数永远大于左边的数。
- ❌ 常见错解2：估算无理数时记忆混淆。例如：误记 √2≈1.414，√3≈1.732，但考试紧张记成了√2>√3。
- ✅ 满分规范：考前必须熟记几个关键无理数的近似值：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，π≈3.1416。或者用平方法：比较√2和√3，因为 \((√2)^2=2\)，\((√3)^2=3\)，且2<3，所以√2<√3。直接平方法更可靠！
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：下列四个数中，最小的数是（ ）
A. \( -\pi \) B. \( -3 \) C. \( -\sqrt{10} \) D. \( -3.1 \)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——比较负数的大小。
- 第二步：快速求解——先估算或转换正数值：π≈3.14，√10≈3.16。所以它们的相反数绝对值大小顺序为：|-\pi|≈3.14， |-3|=3， |-\√{10}|≈3.16， |-3.1|=3.1。
- 第三步：负数比大小，绝对值大的反而小。因此绝对值最大的是 -√10 (约3.16)，所以它最小。
✅ 答案：C
模型 2：公式运用题（选择/填空）
题目：比较大小：\( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) ______ \( \frac{1}{2} \)。（填 >, < 或 =）
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——含无理数的式子与有理数比较。优先考虑作差法。
- 第二步：快速求解——令 \( a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}, b = \frac{1}{2} \)。计算 \( a - b = \frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}-2}{2} \)。
- 第三步：判断 \( \sqrt{5}-2 \) 的符号。∵ √4=2， √5>√4，∴ √5>2，即 √5-2 > 0。∴ a - b > 0，故 a > b。
✅ 答案：>
模型 3：综合推理题（稍难填空/大题步骤）
题目：已知实数 \(a\), \(b\) 在数轴上的位置如图所示，请比较下列各组式子的
大小：
(1) \(a\) ______ \(b\)； (2) \(a\) ______ \( -b \)； (3) \( |a| \) ______ \( |b| \)。
（图注：数轴上，原点左侧，点a在点b的左边，且a、b均为负数。）
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——数形结合。根据数轴位置，判断数的正负和绝对值大小。
- 第二步：快速求解——(1) 数轴上右边大于左边，所以 a < b。
(2) 因为a、b都是负数，所以-b是正数。任何正数>负数，所以 a < -b。
(3) 数轴上，点a离原点更远，所以|a| > |b|。
✅ 答案：(1) < (2) < (3) >
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 比较大小：-5 ______ -3。（直接考查负数比较）
- 比较大小：√4 ______ 2。（考查算术平方根概念）
- 比较大小：| -2.7 | ______ 2.7。（考查绝对值）
- 在 -1, 0, 1, √2 这四个数中，最小的数是______。
- π ______ 3.14。（填 >, < 或 =）
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 比较大小：√7 ______ 2.5。（考查估算或平方法）
- 比较大小：\( -\frac{22}{7} \) ______ \( -\pi \)。（考查两个负无理数的比较）
- 比较大小：\( \frac{\sqrt{3}}{2} \) ______ 0.866。（考查无理数近似值）
- 若实数 \(a\) 满足 \(1 < a < 2\)，则比较：\(a\) ______ \(a^2\)。（考查范围与大小）
- 比较大小：\( \sqrt{12} - \sqrt{11} \) ______ \( \sqrt{11} - \sqrt{10} \)。（考查倒数法或平方差公式）
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 已知 \(x = \sqrt{5} + 1, y = \sqrt{6} + \sqrt{2}\)，比较 \(x\) 和 \(y\) 的大小。（提示：平方后比较）
- 设 \(m = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}, n = \sqrt{n} - \sqrt{n-2} (n>2)\)，比较 \(m\) 和 \(n\) 的大小。
- 已知 \(a, b\) 是正整数，且 \(a + \sqrt{2}b = 3 + 2\sqrt{2}\)，比较 \(a\) 和 \(b\) 的大小。
- 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 \(S_1=2, S_2=3\)。比较线段 \(AB\) 的长度与 \(2.5\) 的大小。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图) - 阅读材料：若 \(a-b>0\)，则 \(a>b\)。请利用这种方法比较 \( \frac{\sqrt{2024}-1}{2023} \) 与 \( \frac{\sqrt{2023}-1}{2022} \) 的大小。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 回归数轴：在脑中画出简易数轴，把要比较的数大概标上去，看左右关系。
2. 特殊值代入：对于含字母的比大小（如第三关第4题），如果允许，可以代入一个符合条件的特殊值快速验证。
3. 反向验证：得出a>b的结论后，快速想想a-b是不是一定大于0。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：记住两大法宝：
1. 作差法：这是最根本、最万能的方法，永远成立。就算计算稍复杂，也能保证做对。
2. 举例法：对于抽象的规律题，试着举1-2个具体的、符合题意的数字，往往能一眼看出规律，帮你找到思路。
参考答案
第一关： 1. < 2. = 3. = 4. -1 5. >
第二关： 1. > (√7≈2.646) 2. < (∵ π≈3.1416 < 22/7≈3.1429， 负数的绝对值大的反而小) 3. ≈ (√3/2≈0.8660，可填≈或>) 4. > (∵ 1
第三关： 1. x < y (提示：平方后x^2=6+2√5≈10.47， y^2=8+2√12≈8+6.93=14.93) 2. m < n (提示：取倒数或平方差后比较) 3. a=3, b=2, 故 a > b 4. AB = √2 + √3 ≈ 1.414+1.732=3.146 > 2.5 5. 作差后判断符号，前者 < 后者。