众数是什么？出现次数最多的数怎么找？初中统计热度知识点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：热度 原理

• 核心概念：你好呀！我是阿星。今天我们来聊聊数据的“热度榜”。想象一下，你们班要选班服颜色，大家投票。最后，得票数“最多”的那个颜色，就是“最热”的选项，它就是这群数据的“热度王”，数学上叫“众数”（Mode）。但是注意啦！就像一部电影可能有两个主演一样，数据里也可能有并列的“热度王”。比如票数最高的颜色有两个，那它们就都是“众数”。所以，记住阿星的比喻：“热度”就是出现次数最多的数，而且可能不止一个哦！
• 计算秘籍：
  1. 列队点名：把数据按顺序（从小到大）排列好。
  2. 计数统计：挨个数一数每个数据出现的次数。
  3. 寻找冠军：找出那个“出现次数”最大的数（或几个数）。
  4. 宣告结果：这个（些）数就是这组数据的“热度”——众数。

  用数学语言说，对于数据集 \( X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} \)，众数 \( M_o \) 满足：出现次数 \( f(M_o) = \max(f(x_i)) \)。

• 阿星口诀：“数据排队点清数，谁家粉丝最突出？不止一个也同路，热度最高是众数。”

📐 图形解析

虽然“热度”本身不是几何图形，但我们用一个“数据热度条形图”来可视化这个概念，它能帮你一眼看出谁是“热度王”！

假设我们统计了10位同学最喜欢的运动，数据为：{足球， 篮球， 篮球， 游泳， 足球， 篮球， 跑步， 篮球， 足球， 篮球}。我们计算频数：足球出现 \( 3 \) 次，篮球出现 \( 5 \) 次，游泳出现 \( 1 \) 次，跑步出现 \( 1 \) 次。

从图中一目了然，“篮球”对应的柱子最高，出现次数为 \( 5 \)，热度最高，所以众数就是“篮球”。阴影和斜线填充的柱子，标志着它就是本组数据的“热度冠军”！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为一组数据只能有一个“热度王”。
  ✅ 正解：当两个或以上的数据出现次数并列最多时，它们都是众数。例如数据 \( \{2, 3, 3, 4, 4\} \)，\( 3 \) 和 \( 4 \) 都出现了 \( 2 \) 次，所以众数是 \( 3 \) 和 \( 4 \)。
• ❌ 错误2：把所有数据都写下来，却不统计次数，凭感觉猜哪个最多。
  ✅ 正解：必须严格按照“计算秘籍”的步骤，尤其是“计数统计”一步不能省。对于大数据集，建议画“正”字或列频数分布表来帮助计数。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一组数据为：\( 5, 6, 7, 5, 4, 5 \)。求其众数。
2. 一组数据为：\( 2, 2, 3, 3, 4, 4 \)。求其众数。
3. 一组数据为：\( 10, 20, 30, 40, 50 \)。求其众数。
4. 一组数据为：\( a, b, a, c, b, a, b \)。如果字母代表类别，求其众数。
5. 某次听写，10个单词的正确个数记录为：8, 9, 10, 8, 7, 9, 8, 10, 9, 8。出现次数最多的正确个数是几个？
6. 数据 \( 1.5, 2.0, 1.5, 3.0, 2.0, 1.5 \) 的众数是？
7. 一组数据的众数是 \( 12 \)，这表示什么？
8. 判断：一组数据的众数一定比平均数大。（ ）
9. 数据 \( \{ 红色, 蓝色, 红色, 黄色, 蓝色, 红色 \} \) 的众数是？
10. 已知数据 \( 3, x, 5, 4, 3 \) 的众数是 \( 3 \)，那么 \( x \) 可能是多少？（写出一个可能值）

第二关：中考挑战（10道）

1. （频数分布表）某班级40名学生每周课外阅读时间的频数分布表如下，求阅读时间的众数所在的组别。
   

   时间(小时)	0-2	2-4	4-6	6-8
   人数	5	12	18	5

2. 一组数据 \( 2, 4, 6, x, 8 \) 的唯一众数是 \( 6 \)，则这组数据的中位数是？
3. 若数据 \( 4, 5, 6, m, n \) 的众数是 \( 5 \)，平均数是 \( 5.4 \)，则这组数据的中位数是？
4. 五名同学投篮，每人投10次，命中次数分别为：6, 7, 7, 8, x。若这组数据的众数和中位数相等，求 \( x \) 的值。
5. 一组数据：\( -1, 0, 2, 3, a \) 的众数是 \( 2 \)，则这组数据的方差是？
6. （条形统计图）观察给出的某小区家庭用电量条形统计图（假设图显示“150-200度”的户数最高），直接写出用电量众数所在的区间。
7. 数据 \( 2, 3, 5, 5, 6 \) 中加入一个数字 \( y \) 后，新数据出现两个众数 \( 5 \) 和 \( 6 \)，求 \( y \)。
8. 一组数据从小到大排列为 \( 1, 2, 2, 3, 4, 5 \)，若加入一个数字后，众数变为只有 \( 2 \)，则加入的数字不能是下列哪个？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 若一组数据中每个值都不同，则这组数据的众数________。
10. 数据 \( a, a, b, c, d, e \) 的众数是 \( a \)，则数据 \( a, b, c, d, e \) 的众数是什么？

第三关：生活应用（5道）

1. （产品质量控制）某工厂抽检10个螺丝的直径（mm）：10.0, 10.1, 10.0, 9.9, 10.2, 10.0, 10.1, 10.0, 9.9, 10.0。哪个直径尺寸出现得最频繁？这反映了生产线哪个尺寸最稳定？
2. （市场营销）一家冰淇淋店统计了一周内最受欢迎的三种口味销售额（份）：巧克力150，香草120，草莓90。为了决定下周的主推口味，店主应该看平均数、中位数还是众数？为什么？
3. （选举模拟）一个社团选主席，有A、B、C三位候选人，30名会员投票（每人一票），得票情况未知。请问，在什么情况下，这次选举的“热度王”（众数）会有两个或三个？
4. （体育比赛）在跳水比赛中，7位裁判打分：9.0, 9.0, 9.5, 8.5, 9.0, 9.5, 9.0。现行规则是去掉一个最高分、一个最低分后取平均。如果改用“众数”代表裁判的普遍看法，得分是多少？这与平均分规则下的结果可能有何不同？
5. （气候学）某地过去10年每年的年降雨量（mm）如下：800, 850, 800, 900, 780, 800, 820, 850, 800, 830。该地典型的年降雨量大约是多少？（用众数来描述）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 数据 \( 5, 6, 7, 5, 4, 5 \)。排序：\( 4, 5, 5, 5, 6, 7 \)。\( 5 \) 出现 \( 3 \) 次，最多。众数：\( 5 \)。
2. 数据 \( 2, 2, 3, 3, 4, 4 \)。\( 2, 3, 4 \) 各出现 \( 2 \) 次，并列最多。众数：\( 2, 3, 4 \)。
3. 数据 \( 10, 20, 30, 40, 50 \)。所有数均出现 \( 1 \) 次，没有出现次数最多的数。这组数据没有众数。
4. 数据 \( a, b, a, c, b, a, b \)。\( a \) 出现 \( 3 \) 次，\( b \) 出现 \( 3 \) 次，\( c \) 出现 \( 1 \) 次。众数：\( a \) 和 \( b \)。
5. 正确个数：8, 9, 10, 8, 7, 9, 8, 10, 9, 8。\( 8 \) 出现 \( 4 \) 次，最多。答：\( 8 \) 个。
6. 数据 \( 1.5, 2.0, 1.5, 3.0, 2.0, 1.5 \)。\( 1.5 \) 出现 \( 3 \) 次，最多。众数：\( 1.5 \)。
7. 表示在这组数据中，\( 12 \) 这个数值出现的次数最多。
8. 错误。众数可能大于、等于或小于平均数。
9. “红色”出现 \( 3 \) 次，最多。众数：红色。
10. 众数是 \( 3 \)，所以 \( 3 \) 的出现次数必须最多。已知已有两个 \( 3 \)，\( x \) 可以是 \( 3 \)（这样 \( 3 \) 有3次），或者可以是任何不等于 \( 5 \) 或 \( 4 \) 且出现次数不超过2的数，例如 \( 2 \)。一个可能值：\( 3 \)。

第二关：中考挑战

1. 频数最大的是 \( 18 \) 人，对应“4-6小时”组。所以众数所在的组别是“4-6小时”。（注意：这里不能具体说出众数值，只能说是这个区间。）
2. 唯一众数是 \( 6 \)，则 \( x = 6 \)。数据为 \( 2, 4, 6, 6, 8 \)。中位数是 \( 6 \)。
3. 众数是 \( 5 \)，则 \( m, n \) 中至少有一个是 \( 5 \)。设 \( m=5 \)，平均数为 \( (4+5+6+5+n)/5 = 5.4 \)，解得 \( n = 6 \)。数据为 \( 4, 5, 5, 6, 6 \)。中位数是 \( 5 \)。
4. 原数据排序：\( 6, 7, 7, 8, x \)。众数和中位数相等。若众数是 \( 7 \)，则中位数也是 \( 7 \)，此时 \( x \) 需满足排序后中位数为 \( 7 \)，可得 \( x \ge 7 \)。又因为众数为 \( 7 \)，所以 \( x \) 不能是 \( 7 \)（否则众数还有 \( 8 \) 或不变？）。若 \( x=7 \)，则数据为 \( 6, 7,7,7,8 \)，众数只有 \( 7 \)，中位数是 \( 7 \)，成立。若 \( x=8 \)，数据为 \( 6,7,7,8,8 \)，众数为 \( 7 \) 和 \( 8 \)，中位数为 \( 7 \)，不相等。若 \( x=6 \)，数据为 \( 6,6,7,7,8 \)，众数为 \( 6 \) 和 \( 7 \)，中位数为 \( 7 \)，不相等。若 \( x>8 \)，中位数为 \( 7 \)，众数为 \( 7 \)，成立（如 \( x=9 \)）。但通常考察唯一性，结合选项，常见解为 \( x=7 \)。
5. 众数是 \( 2 \)，则 \( a = 2 \)。数据为 \( -1, 0, 2, 2, 3 \)。平均数 \( \mu = (-1+0+2+2+3)/5 = 1.2 \)。方差 \( s^2 = [(-1-1.2)^2+(0-1.2)^2+(2-1.2)^2+(2-1.2)^2+(3-1.2)^2]/5 = (4.84+1.44+0.64+0.64+3.24)/5 = 10.8/5 = 2.16 \)。
6. 看图，频数最高的条形对应的区间即为众数所在区间。答案依图而定，例如：“150-200度”。
7. 原数据众数是 \( 5 \)。加入 \( y \) 后，新数据众数为 \( 5 \) 和 \( 6 \)，说明 \( 6 \) 的出现次数和 \( 5 \) 一样且都是最多的。原数据中 \( 5 \) 有2次，\( 6 \) 有1次。所以 \( y \) 必须是 \( 6 \)，这样 \( 6 \) 也出现2次。\( y = 6 \)。
8. 原数据众数是 \( 2 \)。加入数字后，众数变为只有 \( 2 \)，即 \( 2 \) 的频次要唯一最大。加入 \( 1 \): 数据为 \( 1,1,2,2,3,4,5 \)， \( 1 \) 和 \( 2 \) 都出现2次，众数是 \( 1 \) 和 \( 2 \)，不符合。加入 \( 2 \): 数据为 \( 1,2,2,2,3,4,5 \)，众数只有 \( 2 \)（3次），符合。加入 \( 3 \): 数据为 \( 1,2,2,3,3,4,5 \)， \( 2 \) 和 \( 3 \) 都出现2次，不符合。加入 \( 4 \): 数据为 \( 1,2,2,3,4,4,5 \)， \( 2 \) 和 \( 4 \) 都出现2次，不符合。所以加入的数字不能是 \( 1, 3, 4 \)。选 A, C, D。
9. 若每个值都不同，则每个数出现次数都是 \( 1 \)，没有“出现次数最多”的数，因此没有众数。
10. 原数据众数是 \( a \)，说明 \( a \) 至少出现2次。新数据 \( a, b, c, d, e \) 中，每个数只出现1次，所以没有众数。

第三关：生活应用

1. 统计直径：10.0出现5次，最多。这反映了生产线生产出的螺丝，尺寸为 \( 10.0 \) mm 的最多，说明这个尺寸控制得最稳定、最普遍。
2. 应该看众数。因为这里的数据是分类数据（口味），平均数和中位数对分类数据没有意义。众数（销量最高的口味）能直接告诉店主哪种口味最受欢迎，从而决定主推口味。
3. 当出现平票时，“热度王”就会有多个。例如：A、B各得10票，C得10票（三人平票）；或A、B各得15票，C得0票（两人平票）。即最高得票数并列。
4. 裁判打分：9.0, 9.0, 9.5, 8.5, 9.0, 9.5, 9.0。众数是 \( 9.0 \)（出现4次）。如果改用众数代表，得分为 \( 9.0 \)。现行规则：去掉最高分 \( 9.5 \) 和最低分 \( 8.5 \)，剩下5个分数的平均值为 \( (9.0+9.0+9.0+9.5+9.0)/5 = 45.5/5 = 9.1 \)。不同点：众数法忽略了极端高分 \( 9.5 \) 的影响，结果更“保守”；平均法在去极值后，仍会受到剩余高分 \( 9.5 \) 的拉升。
5. 年降雨量：800, 850, 800, 900, 780, 800, 820, 850, 800, 830。 \( 800 \) 出现 \( 4 \) 次，最多。所以该地典型的年降雨量众数是 \( 800 \) mm。可以用“大约 \( 800 \) mm”来描述。