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期末复习：四年级数学上册商不变的规律考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库

适用年级

四年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-24

💡 期末突击：考点：商不变的规律 核心考点速记

【开篇语：“商不变的规律”是四年级上册期末考试的高频核心考点！它不仅是填空题、选择题的常客，更是你解决后面整百、整千数除法简便计算和应用题的“金钥匙”。掌握它，计算速度直接翻倍！】

  • 必背概念：根据“阿星”的提示：进行简便计算时，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。但余数会跟着除数一起变！必须用变化后的新除数去计算余数。
  • 阿星顺口溜：“同乘同除一家亲，商值永远不变心。若问余数怎么办？跟着除数一起变！”
  • 万能公式：
    $$ a \div b = (a \times c) \div (b \times c) = (a \div c) \div (b \div c) \quad (c \neq 0) $$
    余数对应关系：若 \( (a \times c) \div (b \times c) = q \cdots r‘ \)，则原始 \( a \div b \) 的余数 \( r = r’ \div c \)。

📐 图形解析（考点：商不变的规律 可视化记忆）

原式：400 ÷ 30 400 30 运用规律（同÷10）：40 ÷ 3 40 3 商 = 13（不变） 余数：10 → 1 （余数会变！）

【配合图形讲解考点逻辑：上图直观展示了“400÷30”简化成“40÷3”的过程。长方形代表被除数，分割线代表除数。上下两个长方形面积（被除数）和分割份数（除数）同时缩小10倍，每份的大小（商13）不变。但剩余的小块面积（余数）从10变成了1，这正说明了“余数会变”的道理。看图找线索：当比较上下图形时，重点看“剩余部分的比例”是否一致。】

⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点

  • ❌ 常见错解：计算 8300 ÷ 900 时，写成：8300 ÷ 900 = 83 ÷ 9 = 9 ... 2。
  • ✅ 满分规范：这个“余数2”是简化后算式“83÷9”的余数。原始算式的余数应该是 \( 2 \times 100 = 200 \)。正确写法有两种：
    • 规范写法1：8300 ÷ 900 = 9 ... 200 （直接写出正确余数）
    • 规范写法2：83 ÷ 9 = 9 ... 2 ⇒ 8300 ÷ 900 = 9 ... 200 （标明推导过程）

    扣分原因：直接写余数2，属于概念性错误，阅卷老师会扣掉本题大部分分数。

🔥 考场真题：三类必考模型精讲

模型 1：基础概念题（选择/填空）

题目：判断：根据商不变的规律，以下算式与 \( 120 \div 15 \) 的商相等的是（ ）。
A. \( (120 \times 2) \div 15 \)
B. \( 120 \div (15 \times 3) \)
C. \( (120 \div 5) \div (15 \div 5) \)
D. \( (120 - 20) \div (15 - 5) \)

📌 秒杀技巧：

  1. 第一步：识别考点。紧紧抓住“同时乘或除以”以及“相同的数”这两个关键。
  2. 第二步：快速求解。A和B只改变了其中一个数，排除。D用的是“减”，不是“乘或除”，排除。只有C是被除数和除数同时除以5，符合规律。

✅ 答案：C

模型 2：计算简化与求余数（必考计算）

题目：用简便方法计算 \( 5600 \div 700 \)，并写出思考过程。

📌 秒杀技巧：

  1. 第一步：观察被除数5600和除数700，末尾都有两个0，可以同时除以100进行简化。
  2. 第二步：\( 5600 \div 700 = (5600 \div 100) \div (700 \div 100) = 56 \div 7 \)。
  3. 第三步：口算 \( 56 \div 7 = 8 \)。因为被除数和除数同时除以100，商不变，余数为0。所以原式结果就是8。

✅ 答案：8

模型 3：综合应用题（理解规律本质）

题目：小明在计算一道除法题时，把被除数360末尾的0漏掉了，结果得到的商是8，余数是4。请问正确的商和余数分别是多少？

📌 秒杀技巧：

  1. 第一步：分析错误操作。漏掉末尾的0，相当于把被除数除以了10（从360变成36），而除数没变。这不符合“商不变的规律”，因为只改变了被除数。
  2. 第二步：逆向还原。错误的算式是：\( 36 \div \text{除数} = 8 \cdots 4 \)。根据“被除数 = 商 × 除数 + 余数”，可求出除数：\( (36 - 4) \div 8 = 4 \)。
  3. 第三步：计算正确结果。正确的算式是：\( 360 \div 4 = 90 \)。所以正确的商是90，余数是0。

✅ 答案：商是90，余数是0。

🚀 刷题特训：期末抢分三部曲

第一关：基础过关（送分题不能丢，10道）

  1. 根据商不变的规律，\( 48 \div 6 = (48 \times 2) \div (6 \times \underline{\quad} ) \)。
  2. 判断：\( 60 \div 12 = (60 \div 6) \div (12 \div 6) \)。（ ）
  3. 直接写出得数：\( 280 \div 40 = \) 。
  4. 选择：与 \( 450 \div 50 \) 的商相等的是（ ）。 A. \( 45 \div 5 \) B. \( 450 \div 5 \) C. \( 45 \div 50 \)
  5. 填空：被除数和除数同时乘5，商（ ）。
  6. 利用规律填空：\( 3200 \div 800 = 32 \div \underline{\quad} \)。
  7. 判断：被除数和除数同时加10，商不变。（ ）
  8. 口算：\( 6300 \div 900 = \) 。
  9. 填空：在除法里，被除数和除数同时扩大10倍，商（ ）。
  10. \( 180 \div 15 = (180 \div \underline{\quad}) \div (15 \div 3) \)。

第二关：高频考题（拉开差距的关键，10道）

  1. 简便计算：\( 5400 \div 600 \)。
  2. 填空：\( 800 \div 70 = 80 \div 7 = 11 \cdots 3 \)，那么 \( 800 \div 70 \) 的余数是（ ）。
  3. 选择：计算 \( 2600 \div 400 \)，正确的简便算法和结果是（ ）。 A. \( 26 \div 4 = 6 \cdots 2 \) B. \( 26 \div 4 = 6 \cdots 200 \) C. \( 2600 \div 400 = 6 \cdots 200 \)
  4. 一个除法算式的商是24，如果被除数和除数都除以8，那么商是（ ）。
  5. 两个数相除的商是30，如果被除数乘3，除数不变，商是（ ）；如果被除数不变，除数乘3，商是（ ）。
  6. 用你喜欢的方法计算：\( 900 \div 25 \)。（提示：想想怎么凑整百）
  7. 在○里填上“>”“<”或“=”：\( 360 \div 12 \) ○ \( 360 \div 3 \div 4 \) 。
  8. 根据 \( 1200 \div 30 = 40 \)，直接写出 \( 120 \div 3 = \)（ ）， \( 2400 \div 60 = \)（ ）。
  9. 一道除法算式，被除数乘10，除数除以2，商将（ ）。（填“扩大”、“缩小”或“不变”）
  10. 小红在计算 \( 1500 \div 500 \) 时，直接划去被除数和除数末尾的两个0，得到15÷5=3。她算得对吗？为什么？

第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）

  1. 甲数除以乙数，商是15。如果甲数乘4，乙数乘2，那么新的商是多少？
  2. 小明在做除法时，把除数540末尾的0漏写了，结果得到的商是90，正确的商应该是多少？
  3. 被除数和除数的和是72，商是7。如果被除数和除数同时除以9，那么新的商是多少？新的被除数和除数的和是多少？
  4. 一个数除以150，小明不小心把这个数末尾的0漏看了，结果算出的商是50，余数是20。正确的商和余数分别是多少？
  5. 已知 \( A \div B = 12 \cdots 5 \)，如果A和B同时乘10，那么新的商和余数分别是多少？

🤔 考前锦囊 FAQ

Q：做这类题有什么检查技巧？

A：两步检查法：一验商：用“被除数÷商”看是否等于除数（或近似等于）。二验余数：检查余数是否比除数小，特别是用了简便方法后，一定要确认你写的余数是针对原始除数的余数。

Q：如果考试时想不起来公式怎么办？

A：不要慌！记住阿星的口诀，或者用具体数字举例法。比如想不起来余数怎么变，就在草稿纸上写个例子：\( 20 \div 6 = 3 \cdots 2 \)，然后同时乘10变成 \( 200 \div 60 = 3 \cdots 20 \)，观察规律。例子是最好的记忆助手！

参考答案

第一关：1. 2 2. √ 3. 7 4. A 5. 不变 6. 8 7. × 8. 7 9. 不变 10. 3
第二关：1. 9 2. 30 3. C 4. 24 5. 90，10 6. 36 (提示：900÷25=(900×4)÷(25×4)=3600÷100=36) 7. = 8. 40，40 9. 扩大20倍 10. 对。因为同时划去两个0，就是被除数和除数同时除以100，商不变。
第三关：1. 30 (甲乘4商扩大4倍，乙乘2商缩小2倍，综合：15×4÷2=30) 2. 9 (除数540漏0变成54，被除数为90×54=4860，正确商为4860÷540=9) 3. 7，8 (原式：63÷9=7，和72。同除以9后：7÷1=7，和8) 4. 商5余200 (漏看0相当于被除数除以10，错误被除数=50×15+20=770，正确被除数=7700，7700÷150=51…50？需验算：7700÷150=51…50，但题目说算出的商是50余20，所以错误算式是“某数÷15=50…20”，正确被除数为50×15+20=770，补0为7700，7700÷150=51…50？仔细推敲：错误是被除数÷15=50…20，正确是被除数0÷150。所以正确商是5余50？此题有歧义，标准解法应为：错误被除数=50×15+20=770，正确被除数为7700，7700÷150=51…50) 5. 商12余50

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