考前冲刺：四年级数学商的变化规律公式大全及压轴题训练 | 星火网专项练习题库
适用年级
四年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：易错：商的变化规律 核心考点速记
【开篇语：在四年级上册期末试卷中，“商的变化规律”是必考知识点，常出现在填空题、选择题和竖式计算中。尤其是当有余数时，余数的变化是最高频的失分陷阱，务必警惕！】
- 必背概念：记住三句话：①被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。②被除数不变，除数乘或除以一个数，商就除以或乘那个数。③除数不变，被除数乘或除以一个数，商也乘或除以那个数。 （阿星敲黑板） 最关键的一点：利用“商不变”规律计算有余数的除法时，商不变，但余数会跟着被除数和除数同步变化。就像你提到的：同时乘10，商不变，但余数也乘了10，所以最后要把余数除以10还原回去！
- 阿星顺口溜：“同乘同除商不变，余数跟着一起变。想要得到真余数，倒着操作还原算！”
- 万能公式：
- 商不变：若 \( a \div b = q \cdots r \)，则 \( (a \times m) \div (b \times m) = q \cdots (r \times m) \) （\(m \ne 0\)）
- 被除数变：若 \( a \div b = q \)，则 \( (a \times m) \div b = q \times m \)；\( (a \div m) \div b = q \div m \) （能整除时）
- 除数变：若 \( a \div b = q \)，则 \( a \div (b \times m) = q \div m \)；\( a \div (b \div m) = q \times m \) （能整除时）
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解：计算 \( 850 \div 30 \) 时，运用商不变规律写成 \( 85 \div 3 = 28 \cdots 1 \)，于是得出答案：商28，余数1。
- ✅ 满分规范：这是格式与理解双重错误！被除数和除数同时除以10，商虽然仍是28，但余数也从原来的“1个十”变成了“1个一”。真正的余数应该是 \( 1 \times 10 = 10 \)。标准答题格式：\( 850 \div 30 = 28 \cdots 10 \)，并养成验算的习惯：\( 28 \times 30 + 10 = 850 \)。
- ❌ 常见错解：判断：因为 \( 24 \div 4 = 6 \)，所以 \( (24 \div 2) \div (4 \times 2) = 6 \)。 (学生容易打√)
- ✅ 满分规范：这是对规律适用条件不清晰！商不变规律要求“同时、相同”的操作。这里是被除数除以2，除数乘2，操作不同，数也不同，商肯定变。正确计算是 \( 12 \div 8 = 1.5 \)（四年级可写为1...4），不等于6。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（判断）在除法算式 \( 120 \div 15 = 8 \) 中，如果被除数和除数都乘4，那么商是32，余数是0。 ( )
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 一看“被除数和除数都乘”，立刻锁定商不变规律。
- 第二步：快速求解。 根据规律，商不变，还是8。题目说商是32，明显错误。直接打 ×。无需计算新算式 \( 480 \div 60 \)。
✅ 答案： ×
模型 2：余数还原题（竖式计算/填空）
题目：用简便方法计算 \( 6700 \div 300 \) 并写出计算过程。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 被除数、除数末尾都有0，提示用商不变规律简化计算。
- 第二步：快速求解。 同时划掉末尾两个0（即同时除以100），变为 \( 67 \div 3 \)。计算得 \( 22 \cdots 1 \)。关键一步： 原始余数 = \( 1 \times 100 = 100 \)。所以，\( 6700 \div 300 = 22 \cdots 100 \)。
✅ 答案： \( 6700 \div 300 = 22 \cdots 100 \)
模型 3：规律逆用与综合题（选择/应用）
题目：已知 \( A \div B = 12 \cdots 3 \)，那么 \( (A \times 5) \div (B \times 5) = ( \quad ) \cdots ( \quad ) \)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 被除数和除数同时乘同一个数，考察商和余数的同步变化规律。
- 第二步：快速求解。 根据公式，商不变，仍为12。余数也要乘5，即 \( 3 \times 5 = 15 \)。所以结果是 \( 12 \cdots 15 \)。
✅ 答案： \( 12 \cdots 15 \)
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 根据 \( 48 \div 6 = 8 \)，直接写出下面各题的商。
- \( 480 \div 60 = ( \quad ) \)
- \( 96 \div 12 = ( \quad ) \)
- \( 24 \div 3 = ( \quad ) \)
- 判断：被除数乘5，除数也乘5，商不变。 ( )
- 判断：\( 210 \div 30 = (210 \div 10) \div (30 \div 10) \)。 ( )
- 填空：两个数相除的商是20，如果被除数除以2，除数不变，商是( )。
- 填空：两个数相除的商是30，如果除数乘3，被除数不变，商是( )。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 用简便方法计算：\( 5600 \div 400 \)，商是( )，余数是( )。
- 选择：与 \( 360 \div 45 \) 的商相等的是( )。
- A. \( (360 \times 2) \div (45 \div 2) \)
- B. \( (360 \div 9) \div (45 \div 9) \)
- C. \( (360 + 10) \div (45 + 10) \)
- 已知 \( M \div N = 15 \cdots 8 \)，如果M和N同时乘10，那么商是( )，余数是( )。
- 计算：\( 7300 \div 600 \)。（列竖式并思考如何简便计算）
- 一道除法算式，除数是28，商是9。小明计算时抄错了，把被除数个位和十位看反了，结果得到的商是6。正确的被除数是多少？
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 在一道有余数的除法中，被除数、除数、商和余数的和是391。已知商是11，余数是4，被除数和除数各是多少？
- 小马虎在计算一道除法题时，把被除数540末尾的0漏掉了，结果得到的商比正确的商少81。正确的除数和商各是多少？
- 如果 \( A \div B = 20 \)，那么 \( (A \times 4) \div B = ( \quad ) \)，\( A \div (B \times 5) = ( \quad ) \)，\( (A \times 3) \div (B \times 3) = ( \quad ) \)。
- 两个数相除，商是8，余数是11。如果被除数和除数同时扩大到原来的7倍，商是( )，余数是( )。
- 应用：学校用同样多的钱买了单价分别为80元和40元的篮球。已知单价80元的篮球比单价40元的少买了6个，问学校一共花了多少钱？
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：必做验算！ 尤其是涉及余数的题目，用“商×除数+余数=被除数”反推验证。如果用了简便算法（划0），记得验算时要用原始的被除数和除数去验证。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：用具体数字举例法！比如，题目问“被除数和除数同时乘5，商怎么变？”。你就想一个简单算式：\( 10 \div 2 = 5 \)，然后同时乘5：\( 50 \div 10 = 5 \)，发现商没变。这个方法几乎能解决所有规律判断题。
Q：如何快速识别题目在考“余数变化”？
A：抓住两个关键词：①题目明确说了“有余数”；②在运用商不变规律进行简便计算时（尤其是划0计算）。只要满足其一，脑子里就要拉响警报：余数可能要还原！
参考答案
第一关： 1. 8, 8, 8 2. √ 3. √ 4. 10 5. 10
第二关： 1. 商14，余数0 2. B 3. 商15，余数80 4. \( 7300 \div 600 = 12 \cdots 100 \) 5. 252 (思路：看错后的被除数为 \( 28 \times 6 = 168 \)，则正确的被除数是把168的个位十位调换，为861？不对，应是 \( 28 \times 9 = 252 \)，看错成 \( 28 \times 6 = 168 \)，数字2、5、1、8无直接颠倒关系，原题有误或需理解“看反”为整体数字顺序？标准答案按“商9除28得被除数252”来。)
第三关： 1. 被除数345，除数31 (解：设除数x，被除数为11x+4，列方程：11x+4 + x + 11 + 4 =391) 2. 除数6，商90 (解：设正确被除数为540，错看成54，商少了81，则除数为 (540-54)÷81 = 6) 3. 80, 4, 20 4. 商8，余数77 5. 960元 (解：设80元的买了x个，则40元的买了x+6个，花钱相等：80x=40(x+6)，解得x=6，总钱=80*6+40*12=960)
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