全等图形全解：从完全重合原理到中考证明题通关秘籍专项练习题库

💡 阿星精讲：全等图形 原理

• 核心概念：想象一下，你和你的双胞胎兄弟站在一起。你们长相一模一样，高矮胖瘦也完全相同。现在，让你们俩精确地站到同一个位置，你会发现自己被“完美覆盖”了，连一根头发丝都不会露出来！在数学世界里，两个或多个图形，如果它们的形状和大小都完全一样，能够像这样“完美覆盖”、“完全重合”，它们就是全等图形。阿星说：形状相同、大小相等，叠在一起分毫不差，这就是全等。它就像图形的“分身术”，或者是一面绝对完美的镜子里的映像。
• 计算秘籍：判断全等，核心是比较“形状”和“大小”。对于最简单的多边形（如三角形），我们通过比较它们的边和角来实现。
  1. 形状：对应角必须相等。例如，对于 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\)，需要有 \(\angle A = \angle D\)， \(\angle B = \angle E\)， \(\angle C = \angle F\)。
  2. 大小：对应边必须相等。即 \(AB = DE\)， \(BC = EF\)， \(CA = FD\)。

  当两个图形满足以上两点，我们就可以记作 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)，那个“\(\cong\)”就是全等符号，代表“完全重合”。

• 阿星口诀：形状大小两相同，叠合起来无隙缝。对应边角全相等，全等符号记心中。

📐 图形解析

看下面这两个三角形，它们就像用同一个模子刻出来的。我们可以通过“移动”（平移、旋转、翻转）让其中一个与另一个完全重合。

通过测量或已知条件可以证明：\(AB = DE\)， \(BC = EF\)， \(CA = FD\)，且 \(\angle A = \angle D\)， \(\angle B = \angle E\)， \(\angle C = \angle F\)。因此，\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到图形形状一样，就认为是全等图形。
  ✅ 正解：全等必须同时满足“形状相同”和“大小相等”。一个放大后的图形，形状一样，但大小不同，不是全等图形（叫相似图形）。
• ❌ 错误2：在判断三角形全等时，随意找边角对应。
  ✅ 正解：必须严格按照“对应”关系。顶点A对应顶点D，那么A对的边BC才对应D对的边EF。口诀是：“对应顶点写对齐，对应边角自然明。”

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 你的两本完全相同的数学课本的封面是全等图形吗？为什么？
2. 判断题：所有的等边三角形都全等。 （ ）
3. 在方格纸中画出两个全等的直角三角形。
4. 已知 \(\triangle ABC \cong \triangle PQR\)，且 \(AB=5\)，\(\angle C=30^\circ\)。求 \(PQ\) 的长度和 \(\angle R\) 的度数。
5. 观察下图，有几对全等的三角形？
   
6. 两个周长相等的长方形一定全等吗？请举例说明。
7. 用“全等”或“不全等”填空：一面国旗和它照片上的国旗是______图形。
8. 如果两个图形全等，那么它们的面积一定______。
9. 找出生活中三个全等图形的例子。
10. 将一张长方形纸片对折，剪出一个图形后展开。得到的两个图形有什么关系？

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题风格）如图，\(AC\) 和 \(BD\) 相交于点 \(O\)，\(OA=OC\)， \(OB=OD\)。求证：\(AB \parallel CD\)。
2. 已知 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)，且 \(\triangle DEF\) 的周长为 \(20\) cm， \(AB=8\) cm， \(BC=7\) cm， 求 \(AC\) 的长。
3. 在四边形 \(ABCD\) 中，\(AB=CD\)， \(AD=BC\)。求证：\(\triangle ABC \cong \triangle CDA\)。
4. （易错题）满足下列条件的两个三角形，不一定全等的是（ ）。
   • A. 两边及其中一边的对角对应相等
   • B. 两角及其中一角的对边对应相等
   • C. 三边对应相等
   • D. 两边及其夹角对应相等
5. 如图，\(AD\) 是 \(\triangle ABC\) 的中线，\(E\)， \(F\) 分别在 \(AB\)， \(AC\) 上，且 \(DE \perp AB\)， \(DF \perp AC\)， \(DE=DF\)。求证：\(BE=CF\)。
6. 尺规作图：已知 \(\triangle ABC\)， 求作一个 \(\triangle A‘B’C‘\)， 使 \(A'B’=AB\)， \(B‘C’=BC\)， \(\angle B‘=\angle B\)。 （作出草图并说明依据的判定定理）
7. 两个全等三角形叠放在一起，重合部分的面积是原三角形面积的 \(\frac{1}{4}\)。若小三角形的周长为 \(12\)， 求大三角形的周长。
8. 在 \(\triangle ABC\) 中， \(\angle C=90^\circ\)， \(AC=BC\)， 过点 \(C\) 在 \(\triangle ABC\) 外作直线 \(MN\)， \(AM \perp MN\) 于 \(M\)， \(BN \perp MN\) 于 \(N\)。求证：\(MN = AM + BN\)。
9. 探究：若两个多边形边数相同，且对应边都相等，它们一定全等吗？对于四边形，请画图说明。
10. 综合题：将 \(\triangle ABC\) 绕顶点 \(B\) 顺时针旋转 \(60^\circ\) 得到 \(\triangle DBE\)， 点 \(C\) 的对应点为 \(E\)。连接 \(AD\)， 若 \(\angle DCB=30^\circ\)， 求证：\(\triangle ABD\) 为等边三角形。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量） 为了测量一个池塘两端A， B的距离，小聪设计如下方案：在平地上取一个能直接到达A和B的点O，连接AO并延长到C，使 \(OC=OA\)；连接BO并延长到D，使 \(OD=OB\)。测量CD的长度，它就是AB的长度。请用全等三角形的知识解释其中的道理。
2. （工程） 工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如图：在 \(\angle AOB\) 的边OA， OB上分别取 \(OM=ON\)， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M， N重合，过角尺顶点C的射线OC便是 \(\angle AOB\) 的平分线。为什么？
3. （建筑） 古老的赵州桥（拱桥）的桥拱是圆弧形，它的每块拱石都是全等的吗？为什么这样的设计有利于建筑的稳固和施工？
4. （艺术） 艺术家埃舍尔（M.C. Escher）的许多版画作品利用了图形的平移、旋转来构成全等图案，形成强烈的韵律感。请尝试用全等的等腰三角形设计一个简单的连续图案。
5. （科技） 在3D建模和打印中，“镜像”功能本质上就是创建了一个与原模型全等但方位相反的模型。如果一个零件的设计图需要左右对称的两个相同部件，利用全等思想可以如何高效完成？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 是。 因为两本相同的课本，封面形状相同（都是长方形），大小相等（长宽一样），可以完全重合。
2. 错。 等边三角形形状相同，但边长可能不同。边长为 \(2\) 和边长为 \(3\) 的等边三角形不全等。
3. （略，合理即可）
4. 因为全等三角形对应边相等，对应角相等。所以 \(PQ = AB = 5\)， \(\angle R = \angle C = 30^\circ\)。
5. 有3对。 \(\triangle ABD \cong \triangle CBD\)； \(\triangle ADC \cong \triangle BDC\)； \(\triangle ADB \cong \triangle CBD\) (与第一对相同)。实际上，中线将大三角形分成的两个小三角形全等（SSS），它们各自再被高线分成的两对直角三角形也分别全等（HL或SAS）。
6. 不一定。 例如，长 \(6\) 宽 \(4\) 的长方形（周长 \(20\)）和长 \(7\) 宽 \(3\) 的长方形（周长 \(20\)）不全等。
7. 不全等。 照片上的国旗是实物国旗的相似图形，大小被改变了。
8. 相等。
9. 例如：同一盒月饼里的每个月饼、教室里的同款椅子坐垫、地板上的全等地砖。
10. 关于折痕对称，且是全等图形。

第二关：中考挑战（提供关键思路）

1. 解析：先证 \(\triangle AOB \cong \triangle COD\) (SAS: \(OA=OC\)， 对顶角 \(\angle AOB=\angle COD\)， \(OB=OD\))。得到 \(\angle A=\angle C\)， 从而内错角相等，两直线平行 \(AB \parallel CD\)。
2. 解析：由全等知 \(EF=AB=8\)， \(FD=BC=7\)。 \(\triangle DEF\) 周长 = \(DE+EF+FD=20\)， 代入得 \(DE+8+7=20\)， 故 \(DE=5\)。所以对应边 \(AC=DE=5\) cm。
3. 解析：连接 \(AC\)。在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle CDA\) 中， \(AB=CD\)， \(BC=DA\)， \(AC=CA\) (公共边)。根据 SSS， 两三角形全等。
4. A. “边边角”(SSA)不能作为三角形全等的判定定理。
5. 解析：先证 \(\triangle AED \cong \triangle AFD\) (HL: \(AD=AD\)， \(DE=DF\))。得 \(AE=AF\)。又 \(AB=AC\) (\(AD\)是中线，且由全等可推)， 两式相减得 \(BE=CF\)。
6. 解析：依据 SAS 定理。作图步骤：1. 作射线 \(B'X\)；2. 以 \(B'\) 为顶点作角等于 \(\angle B\)；3. 在角的两边上截取 \(B'A'=BA\)， \(B'C'=BC\)；4. 连接 \(A'C‘\)。
7. 解析：设重合部分（小三角形）边长为原三角形对应边长的 \(k\) 倍，则面积比为 \(k^2 = \frac{1}{4}\)， 得 \(k = \frac{1}{2}\)。所以大三角形边长是小三角形对应边长的 \(2\) 倍，周长也是 \(2\) 倍。大三角形周长为 \(12 \times 2 = 24\)。
8. 解析：证 \(\triangle ACM \cong \triangle CBN\) (AAS: \(\angle A=\angle BCN\)， \(\angle AMC=\angle CNB=90^\circ\)， \(AC=BC\))。得 \(CM=BN\)， \(AM=CN\)。所以 \(MN=CM+CN=BN+AM\)。
9. 不一定。 举例：一个正方形和一个菱形，可以四条边都相等，但形状不同（内角不等），不全等。全等多边形需要对应边相等且对应角相等。
10. 解析：由旋转知 \(AB=DB\)， \(\angle ABD=60^\circ\)。所以 \(\triangle ABD\) 是有一个角为 \(60^\circ\) 的等腰三角形，故为等边三角形。\(\angle DCB=30^\circ\) 是用于证明其他结论的冗余条件。

第三关：生活应用（提供关键思路）

1. 解析：在 \(\triangle AOB\) 和 \(\triangle COD\) 中， \(OA=OC\)， \(OB=OD\)， 对顶角 \(\angle AOB=\angle COD\) (SAS)。所以 \(AB=CD\)。全等实现了“把不可直接测量的长度 \(AB\)”转化到“可方便测量的位置 \(CD\)”。
2. 解析：连接 \(MC\)， \(NC\)。在 \(\triangle OMC\) 和 \(\triangle ONC\) 中， \(OM=ON\)， \(MC=NC\) (角尺同刻度)， \(OC=OC\) (公共边)， 根据 SSS， \(\triangle OMC \cong \triangle ONC\)， 所以 \(\angle MOC=\angle NOC\)， 即 OC 平分 \(\angle AOB\)。
3. 解析：在理想的圆弧拱桥中，每块拱石的上下面是与拱弧相切的，形状是扇环形的一部分，并非简单全等。但在许多石拱桥中，拱石在长度方向（沿桥宽）的截面形状和大小是设计成相同或高度标准化的，这类似于全等思想，可以批量生产、互换使用、均匀受力，极大地提高了施工效率和结构稳定性。
4. （略，鼓励创作）
5. 解析：只需精细建模出其中一个部件，然后使用软件的“镜像”复制功能，以对称轴为参照，生成另一个全等部件。这保证了两个部件的绝对一致性和对称性，避免了重复劳动和可能的人为误差。