考前冲刺：九年级数学二次函数顶点坐标公式大全及压轴题训练 | 星火网专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：考点：二次函数顶点坐标 核心考点速记
【开篇语：二次函数的顶点坐标是九年级上学期期末考试的核心与基石。它不仅是填空、选择的必考题（通常占3-6分），更是后面解答压轴大题（如最值问题、动态几何）的解题关键。掌握它，等于拿到了打开二次函数大门的钥匙。】
- 必背概念：顶点就是二次函数图像（抛物线）的“最高点”或“最低点”。它有两个“身份证”：① 顶点式 \( y = a(x-h)^2 + k \) 直接看：顶点是 \((h, k)\)；② 一般式 \( y = ax^2+bx+c \) 靠公式算：顶点是 \(\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a} \right) \)。对称轴是穿过顶点的垂直线：\( x = -\frac{b}{2a} \)。
- 阿星顺口溜：“顶点坐标不用慌，先找对称轴再想。横坐标，负b除以2a；纵坐标，有公式往里装。顶点式里更简单，(h, k)就是它模样。”
- 万能公式：
- 顶点坐标（公式法）：\( \left( \color{red}{\mathbf{-\frac{b}{2a}}}, \color{blue}{\mathbf{\frac{4ac-b^2}{4a}}} \right) \)
- 顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \)， 顶点为 \((h, k)\)
- 对称轴方程：\( x = \color{red}{\mathbf{-\frac{b}{2a}}} \) 或 \( x = h \)
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
陷阱一：顶点横坐标公式符号错误
- ❌ 常见错解：求 \( y=2x^2-4x+5 \) 的顶点时，写成 \( x = \frac{b}{2a} = \frac{-4}{2\times2} = -1 \)。
- ✅ 满分规范：公式是 \( x = -\frac{b}{2a} \)，负号是整个分数前的。正确应为 \( x = -\frac{-4}{2\times2} = 1 \)。计算时先把 \( b \)（含符号）代入，再算负号。
陷阱二：顶点纵坐标公式与判别式混淆
- ❌ 常见错解：误用 \( \frac{b^2-4ac}{4a} \) 或 \( \frac{4ac-b^2}{2a} \) 求纵坐标。
- ✅ 满分规范：死记硬背唯一公式：\( \frac{4ac-b^2}{4a} \)。 口诀：“4ac减b方，底下是4a”。也可将横坐标 \( x = -\frac{b}{2a} \) 代入原函数求 \( y \)，但速度慢易算错，考场上直接套公式更稳。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：抛物线 \( y = -2(x+1)^2 - 3 \) 的顶点坐标是（ ）。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 题目已是顶点式 \( y = a(x-h)^2 + k \) 形式，直接读坐标。
- 第二步：[快速求解] 注意标准形式是 \( (x-h)^2 \)，本题是 \( (x+1)^2 = (x-(-1))^2 \)，所以 \( h = -1 \)，\( k = -3 \)。顶点为 \((-1, -3)\)。
✅ 答案：\( (-1, -3) \)
模型 2：公式应用与最值问题（解答题）
题目：某网店销售一款商品，每件进价20元。经调查发现，当售价为每件50元时，每天可售出200件；售价每降低1元，每天可多售出10件。设降价 \( x \) 元，每天总利润为 \( y \) 元。
- 求 \( y \) 与 \( x \) 的函数关系式。
- 求该商品每天的销售总利润 \( y \) 的最大值，并指出此时每件商品的售价。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[建模列式] 售价 \( (50-x) \) 元，销量 \( (200+10x) \) 件，单件利润 \( (50-x-20) \) 元。∴ \( y = (30-x)(200+10x) = -10x^2 + 100x + 6000 \)。
- 第二步：[求顶点最值] 这是一个开口向下的抛物线，最大值在顶点处。直接用顶点横坐标公式：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 \times (-10)} = 5 \)。代入公式求纵坐标：\( y_{max} = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4\times(-10)\times6000 - 100^2}{4\times(-10)} = 6250 \)。此时售价为 \( 50-5=45 \) 元。
✅ 答案：a) \( y = -10x^2 + 100x + 6000 \)； b) 最大利润为6250元，此时售价45元。
模型 3：综合与数形结合（选择/填空压轴）
题目：若抛物线 \( y = x^2 - 2mx + m^2 + 2m - 1 \) 的顶点在直线 \( y = 2x + 1 \) 上，则 \( m \) 的值为______。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[用公式表示顶点] 已知一般式，先求出含 \( m \) 的顶点坐标。横坐标：\( x_v = -\frac{-2m}{2\times1} = m \)。纵坐标：代入 \( x_v = m \) 到原式更简单：\( y_v = m^2 - 2m \cdot m + m^2 + 2m - 1 = 2m - 1 \)。顶点为 \( (m, 2m-1) \)。
- 第二步：[代入直线方程] 顶点在直线上，满足 \( y_v = 2x_v + 1 \)。即 \( 2m - 1 = 2m + 1 \)。
- 第三步：[求解判断] 化简得 \( -1 = 1 \)，矛盾。这说明……？阿星提示：检查第一步！顶点纵坐标用公式 \( y_v = \frac{4ac-b^2}{4a} \) 核对：\( a=1, b=-2m, c=m^2+2m-1 \)，则 \( y_v = \frac{4\cdot1\cdot(m^2+2m-1) - (-2m)^2}{4} = \frac{4m^2+8m-4-4m^2}{4} = \frac{8m-4}{4} = 2m-1 \)。计算无误。那矛盾意味着？陷阱警示：这意味着无论 \( m \) 取何值，顶点都不在给定的直线上！但题目问“若顶点在直线上”，说明我们可能设错了顶点？再想想：顶点坐标是 \( (m, 2m-1) \)，它本身就在一条直线 \( y=2x-1 \) 上。要让它在 \( y=2x+1 \) 上，必须 \( 2m-1 = 2m+1 \)，确实无解。所以，答案是不存在这样的 \( m \) 。
✅ 答案：无解（或不存在这样的实数 \( m \)）
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 抛物线 \( y = 3(x-2)^2 + 4 \) 的顶点坐标是______。
- 抛物线 \( y = -x^2 + 4x \) 的对称轴是直线______。
- 二次函数 \( y = 2x^2 - 8x + 1 \) 写成顶点式 \( y = a(x-h)^2 + k \) 的形式为______。
- 若点 \( (2, 5) \) 是二次函数 \( y = x^2 + bx + c \) 的顶点，则 \( b = \) ______, \( c = \) ______。
- 二次函数 \( y = -2x^2 + 4x + 6 \) 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 已知抛物线 \( y = x^2 - 4x + m \) 的顶点在 \( x \) 轴上，则 \( m = \) ______。
- 将抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \) 绕其顶点旋转180°，所得新抛物线的解析式为______。
- 已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) (\( a \neq 0 \)) 的图像如图所示，对称轴为直线 \( x=1 \)，则下列结论正确的是（ ）。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)A. \( abc > 0 \) B. \( 2a + b = 0 \) C. \( 4a - 2b + c > 0 \) D. \( 3b < 2c \)
- 飞机着陆后滑行的距离 \( s \)（单位：m）关于滑行时间 \( t \)（单位：s）的函数解析式是 \( s = 60t - 1.5t^2 \)。飞机着陆后滑行______米才能停下来。
- 已知抛物线 \( y = ax^2 + 2ax + c \) (\( a > 0 \)) 经过点 \( A(-3, y_1) \) 和点 \( B(1, y_2) \)，则 \( y_1 \) ______ \( y_2 \)（填“>”、“<”或“=”）。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 在平面直角坐标系中，抛物线 \( y = mx^2 - 2mx + m - 1 \) (\( m \neq 0 \)) 的顶点为 \( P \)。求证：点 \( P \) 在一条定直线上运动。
- 已知抛物线 \( y = x^2 + (2m-1)x + m^2 - m \)。当 \( m \) 取不同实数时，其顶点的运动轨迹是（ ）。
A. 一条直线 B. 一条抛物线 C. 双曲线的一支 D. 一个圆 - 若函数 \( y = (x-h)^2 + 3 \) 在 \( 1 \leq x \leq 3 \) 上的最小值为4，则 \( h \) 的值为______。
- 已知抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 的顶点为 \( D(1, 4) \)，且与直线 \( y = 2x \) 交于 \( A \)， \( B \) 两点（\( A \) 在 \( B \) 左侧），与 \( y \) 轴交于点 \( C(0, 3) \)。求 \( \triangle ABD \) 的面积。
- （动点与最值）如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=6cm \)， \( BC=12cm \)。点 \( P \) 从点 \( A \) 出发，沿 \( AB \) 向点 \( B \) 以 \( 1cm/s \) 的速度移动；点 \( Q \) 从点 \( B \) 出发，沿 \( BC \) 向点 \( C \) 以 \( 2cm/s \) 的速度移动。如果 \( P \)， \( Q \) 同时出发，设运动时间为 \( t \) s (\( 0 < t < 6 \))，连接 \( DQ \)， \( PQ \)， \( DP \)。设 \( \triangle DPQ \) 的面积为 \( S \, cm^2 \)，求 \( S \) 与 \( t \) 的函数关系式，并求 \( S \) 的最小值。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：① 代回验证：求出顶点坐标后，将其横坐标代入对称轴公式 \( x = -\frac{b}{2a} \) 看是否一致；将其代入原函数，看得到的纵坐标是否一致。② 图像判断：根据 \( a \) 的正负判断开口方向，顶点是最高点(\( a<0 \))还是最低点(\( a>0 \))，心里有个大致图像，能帮你发现离谱的计算错误。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：应急方案：现场“配凑”顶点式！对于 \( y = ax^2+bx+c \)：
- 提：\( y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \)
- 配：\( y = a\left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right] + c \)
- 化：\( y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \)
此时顶点 \( (-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}) \) 就出来了。虽然慢，但能救命，而且推导过程能帮你理解公式本质。
参考答案
第一关：1. (2, 4)； 2. \( x=2 \)； 3. \( y=2(x-2)^2 -7 \)； 4. \( b=-4, c=9 \)； 5. 大， 8。
第二关：1. 4； 2. \( y=-2(x-1)^2+3 \)（或 \( y=-2x^2+4x+1 \)）； 3. B（解析：对称轴 \( -\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow 2a+b=0 \)）； 4. 600； 5. > （解析：对称轴 \( x=-1 \)，\( A(-3, y_1) \) 比 \( B(1, y_2) \) 离对称轴更远，\( a>0 \) 开口向上，故 \( y_1 > y_2 \)）。
第三关：1. 提示：顶点 \( P(1, -1) \)，恒在直线 \( y=-1 \) 上； 2. B； 3. 0 或 4 （需分类讨论 \( h<1 \)， \( 1\leq h \leq3 \)， \( h>3 \) 三种情况）； 4. 提示：由顶点和C点可求解析式 \( y=-x^2+2x+3 \)，联立直线求 \( A(-1,-2) \)， \( B(3,6) \)，面积 \( S_{\triangle ABD} = 8 \)； 5. \( S = t^2 - 6t + 36 \) (\( 0
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