考前冲刺：九年级数学二次函数最值易错点剖析与常考模型精讲 | 星火网专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：易错：二次函数最值 核心考点速记
【开篇语：二次函数最值问题是九年级上册期末考的绝对核心，100%会出现。它不仅会以选择题或填空题单独考查，更是压轴大题（函数综合、几何最值、利润问题）的解题基石。掌握它，就是掌握了一把打开高分的钥匙。】
- 必背概念：求二次函数 \(y=ax^2+bx+c\) (\(a \neq 0\)) 的最大值或最小值，首要任务是看清自变量 \(x\) 的取值范围（题目里找“当...时”、“在...范围内”）。可以想象成在一段“河岸”（x范围）上找山的最高或最低点（函数值）：如果山的顶点（抛物线顶点）在这段河岸上，顶点就是最值点；如果顶点不在这段河岸上，那最值点就在河岸的两端（范围的端点）取到。
- 阿星顺口溜：最值问题别慌张，先看范围在哪方。顶点在内取顶点，顶点在外看端详。区间端点比大小，答案轻松手中藏。
- 万能公式：
- 抛物线顶点坐标公式：\((\ -\frac{b}{2a}, \ \frac{4ac-b^2}{4a}\ )\)
- 设顶点横坐标为 \(x_0 = -\frac{b}{2a}\)，则：
- 若 \(a>0\)，函数有最小值 \(y_{min} = f(x_0)\)；若 \(a<0\)，函数有最大值 \(y_{max} = f(x_0)\)。
- 在区间 \([m, n]\) 上求最值时，必须比较 \(x_0\)、\(m\)、\(n\) 三者的位置关系。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1：不看范围，直接套顶点公式。
例：求 \(y=x^2-4x+5\) 在 \(1 \leq x \leq 3\) 上的最小值。错误解法：直接算出顶点(2,1)，答最小值为1。【错因：虽然顶点横坐标x=2在范围内，但未验证端点值，也未说明理由。严谨性丢分。】 - ✅ 满分规范：必须明确写出判断过程。
解：∵ \(a=1>0\)，对称轴为 \(x=-\frac{-4}{2\times1}=2\)，且 \(2 \in [1,3]\)。
∴ 当 \(x=2\) 时，\(y_{min}=2^2-4\times2+5=1\)。
- ❌ 常见错解2：实际问题中忽略自变量的实际意义限制。
例：用20米篱笆围矩形，求面积最大值。列出面积 \(S=x(10-x)\) 后，直接取顶点 \(x=5\) 得 \(S_{max}=25\)。【错因：矩形边长 \(x\) 必须满足 \(0 - ✅ 满分规范：必须“先定范围，再求最值”。
解：设一边长为 \(x\) 米，则另一边为 \((10-x)\) 米，面积 \(S=x(10-x)=-x^2+10x\)。
由题意，\(x>0\) 且 \(10-x>0\)，故自变量取值范围为 \(0 < x < 10\)。
∵ 抛物线开口向下，对称轴 \(x=5\) 在区间 \((0,10)\) 内。
∴ 当 \(x=5\) 时，\(S\) 取最大值，\(S_{max}=25\)。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：二次函数 \(y = -2(x-1)^2 + 3\)，当 \(x\) 满足 ______ 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小；该函数在 \(-1 \leq x \leq 2\) 上的最大值是 ______。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（看开口，定增减）：\(a=-2<0\)，开口向下。对称轴 \(x=1\)。∴ 当 \(x > 1\) 时，y随x增大而减小。
- 第二步（看范围，定最值）：给定范围 \([-1, 2]\)，对称轴 \(x=1\) 在范围内。开口向下，∴ 在顶点处取最大值。即当 \(x=1\) 时，\(y_{max}=3\)。
✅ 答案：\(x > 1\)；\(3\)
模型 2：对称轴与区间位置讨论题（解答题）
题目：已知二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\)。
(1) 求它的顶点坐标。
(2) 当 \(m \leq x \leq m+2\) 时，函数的最小值为 \(1\)，求 \(m\) 的值。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（求顶点）：配方或公式法得顶点 \((1, -4)\)。
- 第二步（“动”范围最值讨论-阿星四步法）：
- 确定对称轴 \(x=1\)，开口向上，有最小值。
- 画数轴，标出对称轴。设动区间为 \([m, m+2]\)。
- 分类讨论区间与对称轴的位置：
- 情况一：对称轴在区间左侧，即 \(m+2 < 1\)（即 \(m < -1\)）。最小值在右端点 \(x=m+2\) 取到，令 \(f(m+2)=1\)，解出 \(m\)，并验证是否满足 \(m < -1\)。
- 情况二：对称轴在区间内部，即 \(m \leq 1 \leq m+2\)（即 \(-1 \leq m \leq 1\)）。最小值在顶点 \(x=1\) 取到，此时最小值为 \(-4\)，与题设 \(1\) 矛盾，故此情况无解。
- 情况三：对称轴在区间右侧，即 \(m > 1\)。最小值在左端点 \(x=m\) 取到，令 \(f(m)=1\)，解出 \(m\)，并验证是否满足 \(m > 1\)。
- 综合所有符合范围条件的 \(m\)。
✅ 答案：(1) \((1, -4)\)；(2) 由 \(f(m)=m^2-2m-3=1\) 得 \(m=1\pm\sqrt{5}\)，结合 \(m>1\) 得 \(m=1+\sqrt{5}\)；由 \(f(m+2)=...=1\) 得 \(m=-1\pm\sqrt{2}\)，结合 \(m<-1\) 得 \(m=-1-\sqrt{2}\)。∴ \(m=1+\sqrt{5}\) 或 \(m=-1-\sqrt{2}\)。
模型 3：实际应用（几何图形、利润）最值题（压轴题）
题目：如图，用长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 \(a=10\) 米），围成一个中间隔有一道篱笆的矩形花园（共三道篱笆垂直于墙）。设垂直于墙的一边长为 \(x\) 米，矩形花园的面积为 \(S\) 平方米。
(1) 求 \(S\) 关于 \(x\) 的函数表达式，并写出 \(x\) 的取值范围。
(2) 求面积 \(S\) 的最大值。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（建模列式）：垂直于墙的边为 \(x\) 米，则平行于墙的边为 \((24-3x)\) 米。∴ \(S = x(24-3x) = -3x^2+24x\)。
- 第二步（确定实际范围，这是核心！）：
- 几何限制：\(x > 0\) 且 \(24-3x > 0\) ⇒ \(x < 8\)。
- 墙长限制：平行于墙的边 \(24-3x \leq 10\) ⇒ \(x \geq \frac{14}{3}\)。
∴ \(x\) 的实际取值范围是 \(\frac{14}{3} \leq x < 8\)。必须写出此步！
- 第三步（在“实际范围”内求最值）：
- 对称轴 \(x = -\frac{24}{2\times(-3)} = 4\)。
- 判断：∵ \(a=-3<0\)，开口向下。对称轴 \(x=4\) 是否在范围 \([\frac{14}{3}, 8)\) 内？∵ \(\frac{14}{3} \approx 4.67 > 4\)，∴ 对称轴不在自变量取值范围内，且位于区间左侧。
- ∴ 函数在 \([\frac{14}{3}, 8)\) 上，y随x增大而减小。最大值在左端点 \(x=\frac{14}{3}\) 处取得。代入计算即可。
✅ 答案：(1) \(S=-3x^2+24x\)，\(\frac{14}{3} \leq x < 8\)。(2) 当 \(x=\frac{14}{3}\) 时，\(S_{max} = \frac{196}{3}\) 平方米。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 抛物线 \(y=(x-3)^2 - 5\) 的顶点坐标是_______，当 \(x=\) _______ 时，y有最_______值（填“大”或“小”），是_______。
- 函数 \(y=-x^2+4x\)，在 \(0 \leq x \leq 3\) 上的最大值是_______，最小值是_______。
- 二次函数 \(y=2x^2-4x+1\)，若 \(y\) 随 \(x\) 的增大而增大，则 \(x\) 的取值范围是_______。
- 已知点 \(A(2， y_1)\)， \(B(3， y_2)\) 在抛物线 \(y=-(x-1)^2+4\) 上，则 \(y_1\) _______ \(y_2\) (填“>”或“<”)。
- 矩形周长为20cm，设一边长为 \(x\) cm，面积为 \(y \text{ cm}^2\)，则 \(y\) 关于 \(x\) 的函数式为_______，面积最大值为 _______ cm²。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 已知二次函数 \(y=x^2-4x+3\)，当 \(0 \leq x \leq a\) 时，函数的最小值为 \(-1\)，则 \(a\) 的取值范围是 _______ 。
- 当 \(-2 \leq x \leq 1\) 时，二次函数 \(y=-(x-m)^2+m^2+1\) 有最大值 \(4\)，则实数 \(m\) 的值为 _______ 。
- 函数 \(y=|x^2-2x-3|\) 在 \(-2 \leq x \leq a\) 上的最大值为 \(4\)，则 \(a\) 的取值范围是 _______ 。
- 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每周可卖出300件。市场调查发现：每降价1元，每周可多卖出20件。在确保盈利的前提下，设每件降价 \(x\) 元（\(x\) 为整数），每周利润为 \(y\) 元。求 \(y\) 关于 \(x\) 的函数关系式，并求每周最大利润。
- 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B=90^\circ\)， \(AB=6\text{cm}\)， \(BC=8\text{cm}\)。点 \(P\) 从 \(A\) 出发沿 \(AB\) 向 \(B\) 以 \(1\text{cm/s}\) 移动，点 \(Q\) 从 \(B\) 出发沿 \(BC\) 向 \(C\) 以 \(2\text{cm/s}\) 移动。设运动时间为 \(t\) 秒 (\(0 < t < 4\))，\(\triangle PBQ\) 的面积为 \(S \text{ cm}^2\)，求 \(S\) 的最大值。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 已知二次函数 \(y=ax^2-2ax+2\) (\(a>0\)) 在 \(0 \leq x \leq 3\) 上有最小值 \(1\)，求 \(a\) 的值。
- 已知抛物线 \(y=x^2+bx+c\) 过点 \(A(0， 2)\)，其顶点在直线 \(y=-x\) 上。设 \(h(k)\) 是抛物线在 \(k \leq x \leq k+1\) 上的最小值，求 \(h(k)\) 的表达式。
- 如图，抛物线 \(y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+2\) 与x轴交于A、B，与y轴交于C。点P是直线BC上方抛物线上的动点，求\(\triangle PBC\)面积的最大值。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 已知实数 \(a， b\) 满足 \(a^2+ab+b^2=1\)，求 \(t = a^2 - ab + b^2\) 的取值范围。
- 在平面直角坐标系中，对于点 \(P(x， y)\) 和图形 \(M\)，给出如下定义：若图形 \(M\) 上存在一点 \(Q\)，使得 \(P， Q\) 两点间的距离小于或等于 \(1\)，则称 \(P\) 为图形 \(M\) 的“近距点”。已知抛物线 \(y=-\frac{1}{4}x^2+1\)，其上三点 \(D(0，1)\)， \(E(1， \frac{3}{4})\)， \(F(-2， 0)\)。设线段 \(DE\) 上所有点都是抛物线的“近距点”，求线段 \(DF\) 上“近距点”所构成线段的最大长度。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 代回验证：求出最值点和最值后，将自变量的取值范围端点值代回函数，快速心算比较，看是否符合“顶点在内取顶点，顶点在外取端点”的规律。2. 看开口方向：检查开口向上时，最小值是否在对称轴或左端点取得；开口向下时，最大值是否在对称轴或右端点取得。逻辑反了肯定是错的。
Q：如果考试时想不起来顶点公式怎么办？
A：别慌！可以用配方法临时推导。对于 \(y=ax^2+bx+c\)，提取 \(a\)：\(y=a[x^2+\frac{b}{a}x]+c = a[(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c\)，化简就能得到顶点式。平时多练几遍，考时就成肌肉记忆了。
Q：遇到“动区间”或“动对称轴”的讨论题，总是漏情况怎么办？
A：记住阿星的“数轴标根讨论法”：①画数轴标出固定轴（或固定区间端点）；②让动区间（或动轴）在数轴上从左到右“移动”；③找到让对称轴与区间位置关系发生质变的关键点（如区间端点碰到对称轴）；④以这些关键点为界，分类讨论。 平时按此流程画图练习，考试时就能思路清晰。
参考答案
第一关： 1. \((3, -5)\)， \(3\)， 小， \(-5\)
2. 最大值是 \(4\) (当 \(x=2\))，最小值是 \(0\) (当 \(x=0\))
3. \(x \geq 1\)
4. \(y_1 > y_2\)
5. \(y = -x^2+10x\)， \(25\)
第二关： 1. \(2 \leq a \leq 4\) (注意最小值-1在x=2时取得，a必须≥2；同时当a>4时，x=4处函数值大于-1，最小值不再为-1)
2. \(m = -1\) 或 \(m=2\) (对称轴x=m，分m<-2， -2≤m≤1， m>1三种情况讨论)
3. \(1 \leq a \leq 1+\sqrt{2}\) 或 \(a=3\) (核心是画出 \(y=x^2-2x-3\) 的图象，再翻折，观察y=4的线)
4. \(y = (20-x)(300+20x) = -20x^2+100x+6000\)， \(0 \leq x \leq 20\)且为整数。对称轴 \(x=2.5\)，故当 \(x=2\) 或 \(3\) 时，\(y_{max}=6120\)元。
5. \(S = \frac{1}{2} \cdot (6-t) \cdot 2t = -t^2+6t\)， \(0 < t < 4\)。对称轴 \(t=3\) 在范围内，故当 \(t=3\) 时，\(S_{max}=9 \text{ cm}^2\)。
第三关： 1. \(a=1\) (对称轴x=1在[0,3]内，最小值在顶点取得，令f(1)=1，得a=1)
2. 由条件得 \(y=x^2-2x+2\)，顶点(1,1)，对称轴x=1。分k>1， k≤1≤k+1， k+1<1三种情况讨论，得：
$$h(k) =
\begin{cases}
k^2-2k+2, & k > 1 \\
1, & 0 \leq k \leq 1 \\
(k+1)^2-2(k+1)+2, & k < 0
\end{cases}$$
3. 先求B(4，0)， C(0，2)， 直线BC: \(y=-\frac{1}{2}x+2\)。过P作x轴垂线交BC于Q，设P(m, ...)，则Q(m, ...)，\(\triangle PBC\)面积 = \(\frac{1}{2} \cdot PQ \cdot |x_B - x_C|\)。面积表达式为 \(S = -m^2+4m\)， \(0 < m < 4\)。当 \(m=2\) 时，\(S_{max}=4\)。
4. 将 \(a^2+b^2=1-ab\) 和 \(a^2+b^2=t+ab\) 联立，消去 \(a^2+b^2\)，得 \(t=1-2ab\)。再由 \((a+b)^2 = 1+ab \geq 0\) 和 \((a-b)^2 = 1-3ab \geq 0\) 得 \(-\frac{1}{3} \leq ab \leq 1\)，代入得 \(-\frac{1}{3} \leq t \leq 3\)。
5. （本题为概念理解与最值综合题，解析略）核心是理解“近距点”定义，将问题转化为求抛物线到线段DF距离≤1的点的集合的长度最大值。需结合图象分析，关键点是找到何时“近距”线段最长。
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