考前冲刺：九年级数学一元二次方程判别式公式大全及压轴题训练 | 星火网专项练习题库

💡 期末突击：一元二次方程判别式核心考点速记

【开篇语：在九年级上学期期末考试中，判别式是必考点！它单独出现在选择题或填空题中的概率极高，更是解答题中处理含参数方程的关键步骤。掌握好Δ，是方程部分拿高分的基础。】

• 必背概念：判别式Δ就是公式 \(b^2 - 4ac\)，它像方程的“体检报告”，直接决定了根的“命运”：Δ > 0 有两个不相等的实数根；Δ = 0 有两个相等的实数根（一个实根）；Δ < 0 没有实数根。务必记住，题目问“有实数根”，就意味着 Δ ≥ 0。
• 阿星顺口溜：方程命运它裁定，Δ值正零负要判清。大于零时俩实根，等于零时一根生。小于零时根不见，有根切记大于等。
• 万能公式： 对于一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) (a ≠ 0)：
  • 判别式：$$\Delta = b^2 - 4ac$$
  • 根的情况：
    • $$\Delta > 0 \quad \Rightarrow \quad$$ 两个不相等实根
    • $$\Delta = 0 \quad \Rightarrow \quad$$ 两个相等实根
    • $$\Delta < 0 \quad \Rightarrow \quad$$ 无实根
  • 有实根的条件：$$\Delta \geq 0$$

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第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）

1. 方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的判别式Δ的值是______，根的情况是____________。
2. 若一元二次方程 \(x^2 - 4x + m = 0\) 有两个相等的实数根，则m=______。
3. 关于x的方程 \(x^2 + 2x - k = 0\) 有实数根，则k的取值范围是______。
4. 下列方程中，没有实数根的是（ ）。A. \(x^2 - 2x - 1 = 0\) B. \(x^2 - 2x + 1 = 0\) C. \(x^2 - 2x + 2 = 0\) D. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)
5. 写出一个根的情况为“有两个不相等的实数根”的一元二次方程：____________。

第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）

1. 若关于x的一元二次方程 \(kx^2 - 2x - 1 = 0\) 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______。
2. 关于x的一元二次方程 \((m-1)x^2 + 2x - 1 = 0\) 有实数根，则m的取值范围是______。
3. 若关于x的方程 \(x^2 + 2x - m + 1 = 0\) 没有实数根，请判断关于x的方程 \(x^2 + mx + 2m - 1 = 0\) 的根的情况。
4. 已知方程 \(x^2 - 4x + n = 0\) 的一个根是 \(2+\sqrt{3}\)，利用判别式判断方程根的情况，并求出另一个根。
5. 证明：无论实数p取何值，方程 \(x^2 + px + p - 2 = 0\) 总有两个不相等的实数根。

第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）

1. 已知关于x的方程 \(x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 = 0\)。
   1. 当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
   2. 设方程的两实根分别为 \(x_1, x_2\)，且 \((x_1+x_2)^2 - (x_1+x_2) = 12\)，求m的值。
2. 已知 \(a, b, c\) 是 \(\triangle ABC\) 的三边长，且关于x的方程 \(a(x^2-1) - 2bx + c(x^2+1) = 0\) 有两个相等的实数根。试判断 \(\triangle ABC\) 的形状，并说明理由。
3. 若关于x的一元二次方程 \(x^2 + (2k-1)x + k^2 - \frac{11}{4} = 0\) 的两个实数根 \(x_1, x_2\) 满足 \(x_1 x_2 - 2x_1 - 2x_2 = 3\)，求k的值。
4. 对于实数 \(a, b\)，定义一种新运算“⊗”：\(a ⊗ b = a^2 + ab - 2\)。若关于x的方程 \(x ⊗ m = 0\) 有两个相等的实数根，求m的值。
5. （动点问题）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；同时点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒，是否存在t，使 \(\triangle PBQ\) 的面积等于\(8cm^2\)？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。（提示：建立关于t的方程后，用判别式判断）

🤔 考前锦囊 FAQ

参考答案

第一关： 1. 1，有两个不相等的实数根； 2. 4； 3. \(k \geq -1\)； 4. C； 5. 答案不唯一，如 \(x^2-3x+2=0\)。
第二关： 1. \(k > -1\) 且 \(k \neq 0\)； 2. \(m \geq 0\) 且 \(m \neq 1\)； 3. 由第一个方程无实根得 \(m < 0\)，计算第二个方程的 \(\Delta = m^2 - 8m + 4\)，代入 \(m<0\) 可分析其恒大于0，故有两个不等实根； 4. Δ=12-4n，代入已知根可求得n=1，故Δ=8>0，有两个不等实根，另一根为 \(2-\sqrt{3}\)； 5. 证明：计算 \(\Delta = p^2 - 4(p-2) = p^2 -4p +8 = (p-2)^2+4 > 0\) 恒成立。
第三关： 1.a. \(m > -2\)； 1.b. 利用韦达定理，\((x_1+x_2)^2 = [2(m+1)]^2\)，代入等式解得 \(m_1=1, m_2=-\frac{5}{2}\)，检验Δ后均符合； 2. 化简方程为 \((a+c)x^2 -2bx + (c-a)=0\)，由Δ=0得 \(b^2+c^2=a^2\)，故为直角三角形； 3. 利用韦达定理，将已知等式转化为关于k的方程，解得k后务必代入验证原方程Δ≥0； 4. 由新运算得方程 \(x^2 + mx - 2 = 0\)，由Δ=0得 \(m^2+8=0\)，无实数解，故不存在这样的m； 5. 建立方程 \(\frac{1}{2}(6-t)\cdot 2t = 8\)，化为 \(t^2-6t+8=0\)，Δ=4>0，存在，解得 \(t_1=2, t_2=4\)，需检查t是否在运动时间范围内（0