一元一次方程去分母陷阱深度解析：隐形括号是关键专项练习题库

💡 阿星精讲：去分母陷阱 原理

• 核心概念：嘿，同学！我是阿星。想象一下，分数线就像一座房子的“房顶”，而分子这一家子人（如果是多项式的话）就安安稳稳地住在下面。这个“房顶”有个超能力——隐形括号！它把整个分子都保护起来了。当我们“去分母”（也就是拆掉房顶）时，如果不赶紧给这一家子人加上一个“看得见的括号”作为新家，他们就会被风吹雨打，尤其是“减号”这位小可怜，很容易就走丢！记住：去分母后，分子是多项式，必须立刻、马上、原地加上括号！
• 计算秘籍：
  1. 找公分母：确定方程两边所有分母的最小公倍数。
  2. 乘各项：方程两边每一项都乘以这个公倍数。
  3. 关键一步（隐形括号现身）：当乘到像 \( \frac{x+2}{3} \) 这样的项时，运算实质是 \( (x+2) \times \frac{公倍数}{3} \)。所以，必须写成 \( (x+2) \times \text{(某个数)} \)，即给 \( x+2 \) 加上括号，再进行乘法分配律计算。
• 阿星口诀：分数线，像房顶，一家老小住里头。去分母，房顶拆，赶紧加上括号当新家！

📐 图形解析

我们可以用一个“面积模型”来可视化等式平衡与去分母。假设方程 \( \frac{x+2}{3} = 5 \) 代表两个面积相等的矩形。

📐 公式说明：\( \frac{x+2}{3} \)

左边矩形的高被平均分成3份，取其中一份（即 \( \frac{x+2}{3} \) ）与右边面积为5的矩形相等。去分母（两边乘以3）意味着将左边整个绿色的高（\( x+2 \) ）作为一个整体（必须加括号保护这个整体概念）拿来做比较，此时它等于右边的面积 \( 5 \times 3 = 15 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解 \( \frac{x+2}{3} = 5 \)，去分母得 \( x+2 \times 3 = 5 \times 3 \) → ✅ 正解：隐形括号必须显形！正确步骤是 \( (x+2) \times 3 = 5 \times 3 \)，然后解得 \( x = 13 \)。
• ❌ 错误2：解 \( \frac{2x-1}{4} = 3 \)，去分母得 \( 2x-1 \times 4 = 3 \times 4 \) → ✅ 正解：“减号”成员需要保护！正确步骤是 \( (2x-1) \times 4 = 3 \times 4 \)，即 \( 8x - 4 = 12 \)。
• ❌ 错误3：解 \( \frac{x}{2} + \frac{x+1}{3} = 4 \)，去分母得 \( 3x + 2x+1 = 24 \) → ✅ 正解：第二个分子 \( x+1 \) 是多项式！正确步骤是 \( 3x + 2(x+1) = 24 \)，然后分配 \( 3x + 2x + 2 = 24 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程：\( \frac{x}{5} = 3 \)
2. 解方程：\( \frac{2m+1}{3} = 5 \)
3. 解方程：\( \frac{y-4}{2} = 7 \)
4. 解方程：\( \frac{3t}{4} = t - 2 \)
5. 解方程：\( \frac{a+5}{6} = \frac{a}{2} \)
6. 解方程：\( \frac{2}{7}z = \frac{3}{14} \)
7. 解方程：\( \frac{3k-1}{2} = 4k \)
8. 解方程：\( 1 - \frac{n}{3} = \frac{n+2}{6} \)
9. 解方程：\( \frac{2x-1}{5} + x = 0 \)
10. 解方程：\( \frac{p}{2} = \frac{p+8}{4} + 1 \)

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程：\( \frac{x}{2} - \frac{x-1}{4} = 3 \)
2. 解方程：\( \frac{3y-1}{4} - 1 = \frac{5y-7}{6} \)
3. 解方程：\( \frac{0.1x-0.2}{0.02} - \frac{x+1}{0.5} = 3 \) （提示：先化分母为整数）
4. 解方程：\( \frac{4-6x}{0.01} - 6.5 = \frac{0.02-2x}{0.02} - 7.5 \)
5. 已知代数式 \( \frac{1+2x}{3} \) 的值比 \( \frac{x+1}{2} \) 的值大1，求 \( x \)。
6. 当 \( m \) 为何值时，代数式 \( \frac{2m-3}{5} \) 与 \( \frac{2}{3}m - 1 \) 的值相等？
7. 解方程：\( \frac{x-1}{3} - \frac{x+2}{6} = \frac{4-x}{2} \)
8. 解方程：\( \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{3}(x-1) \right] = \frac{2}{3}(x-1) \)
9. 若方程 \( \frac{2x-m}{3} = \frac{x+2}{2} \) 的解是 \( x=4 \)，求 \( m \) 的值。
10. 小刚在解方程 \( \frac{2x-1}{3} = \frac{x+a}{2} - 1 \) 去分母时，方程右边的-1忘记乘以6，结果求得方程解为 \( x=2 \)，试求 \( a \) 的值及原方程的正确解。

第三关：生活应用（5道）

1. 工程问题：一个工程，甲队单独做需要10天，乙队单独做需要15天。现在两队合作若干天后，乙队因故离开，甲队又单独做了2天完成。求乙队工作了几天？
2. 调配问题：一瓶酒精溶液，第一次倒出 \( \frac{2}{3} \) 又20克，第二次倒出余下的 \( \frac{1}{4} \) 又35克，这时瓶内还剩下100克酒精溶液。问原瓶有多少克酒精溶液？
3. 行程问题：小明从家骑自行车到学校，若每小时骑15千米，可比预定时间早到10分钟；若每小时骑12千米，就会迟到5分钟。求小明家到学校的路程。
4. 比例分配：学校将一批练习本奖给优秀学生。如果每人奖5本，还差3本；如果每人奖4本，则剩余1本。问优秀学生有多少人？练习本共有多少本？
5. 几何问题：一个直角三角形，一条直角边的长度比另一条直角边少2厘米，而斜边的长度是较短的直角边的2倍少1厘米。求这个三角形的周长。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x = 15 \)
2. 两边×3：\( (2m+1) = 15 \) → \( 2m=14 \) → \( m=7 \)
3. 两边×2：\( (y-4) = 14 \) → \( y=18 \)
4. 两边×4：\( 3t = 4(t-2) \) → \( 3t=4t-8 \) → \( t=8 \)
5. 两边×6：\( (a+5) = 3a \) → \( 5=2a \) → \( a=2.5 \)
6. 两边×14：\( 4z = 3 \) → \( z=0.75 \)
7. 两边×2：\( (3k-1) = 8k \) → \( -1=5k \) → \( k=-0.2 \)
8. 两边×6：\( 6 - 2n = (n+2) \) → \( 6-2n=n+2 \) → \( 4=3n \) → \( n=\frac{4}{3} \)
9. 两边×5：\( (2x-1) + 5x = 0 \) → \( 7x - 1 = 0 \) → \( x=\frac{1}{7} \)
10. 两边×4：\( 2p = (p+8) + 4 \) → \( 2p = p+12 \) → \( p=12 \)

第二关：中考挑战（精选解析）

2. 解：\( \frac{3y-1}{4} - 1 = \frac{5y-7}{6} \)
两边×12：\( 3(3y-1) - 12 = 2(5y-7) \) （关键步骤：多项式加括号！）
去括号：\( 9y - 3 - 12 = 10y - 14 \)
合并：\( 9y - 15 = 10y - 14 \)
移项：\( -15 + 14 = 10y - 9y \)
得：\( y = -1 \)

5. 解：根据题意 \( \frac{1+2x}{3} - \frac{x+1}{2} = 1 \)
两边×6：\( 2(1+2x) - 3(x+1) = 6 \)
去括号：\( 2+4x - 3x - 3 = 6 \)
合并：\( x - 1 = 6 \)
得：\( x = 7 \)

10. 解：先分析错误解法。小刚错误地去分母：\( 2(2x-1) = 3(x+a) - 1 \)，将 \( x=2 \) 代入错误方程：\( 2(3) = 3(2+a) - 1 \) → \( 6 = 6+3a -1 \) → \( 1=3a \) → \( a=\frac{1}{3} \)。
再将 \( a=\frac{1}{3} \) 代入原方程正确求解：\( \frac{2x-1}{3} = \frac{x+\frac{1}{3}}{2} - 1 \)
两边×6：\( 2(2x-1) = 3(x+\frac{1}{3}) - 6 \)
去括号：\( 4x - 2 = 3x + 1 - 6 \)
移项合并：\( 4x - 3x = 1 - 6 + 2 \)
得正确解：\( x = -3 \)。

第三关：生活应用（精选解析）

1. 工程问题：设乙队工作了 \( x \) 天。总工程量为1。甲队效率 \( \frac{1}{10} \)，乙队效率 \( \frac{1}{15} \)。甲队共做了 \( (x+2) \) 天。方程：\( \frac{x+2}{10} + \frac{x}{15} = 1 \)。去分母（×30）：\( 3(x+2) + 2x = 30 \) → \( 3x+6+2x=30 \) → \( 5x=24 \) → \( x=4.8 \)（天）。

5. 几何问题：设较短的直角边为 \( x \) cm，则较长的直角边为 \( (x+2) \) cm，斜边为 \( (2x-1) \) cm。根据勾股定理：\( x^2 + (x+2)^2 = (2x-1)^2 \)。展开：\( x^2 + x^2+4x+4 = 4x^2 -4x +1 \)。整理得：\( 2x^2 - 8x - 3 = 0 \)。解得 \( x = \frac{4 \pm \sqrt{22}}{2} \)，取正数解 \( x = \frac{4 + \sqrt{22}}{2} \approx 4.345 \)。周长 \( L = x + (x+2) + (2x-1) = 4x + 1 \approx 18.38 \) cm。