去分母解分式方程深度解析：从原理、步骤到易错点与真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：去分母 原理

• 核心概念：嗨！我是阿星。想象一下，分数方程就像一些奇形怪状的“魔方”，每个分母就是它们各自的“底座形状”，各不相同，很难直接拼合。“去分母”就是找到一块通用的完美底座——最简公分母，然后给方程两边同时乘上它。这样一来，所有“魔方”的底座都统一了，分数外壳被稳稳托住、自动消去，整个方程就“变整式”啦！是不是感觉清爽多了？
• 计算秘籍：
  1. 观察识别：找到所有分母，特别是那些多项式形式的分母。
  2. 寻找“完美底座”：确定这些分母的最简公分母（LCD）。对于数字系数，取最小公倍数；对于字母或多项式，取所有因式的最高次幂的乘积。
  3. 施展“统一术”：方程两边每一项都乘以这个最简公分母。注意，是每一项都要乘！
  4. 见证奇迹：分数消失，方程化为一个清爽的整式方程。
  5. 终极检验：解出整式方程后，必须将解代入原方程的分母进行检验，确保没有产生使分母为零的“增根”。
• 阿星口诀：分数方程拦路虎，找到公分母做主。左右同乘化整式，解完别忘验分母。

📐 图形解析

虽然“去分母”本身是一个代数操作，但我们可以用图形来理解“找最简公分母”就像找一块能完美分割成指定份数的“大蛋糕”。

假设我们需要同时满足能均分成 \(2\) 份和 \(3\) 份，那么这块蛋糕最小应该是 \(6\) 份大小。

上图展示了如何将一块“面积”同时理解为 \(\frac{1}{2}\) 和 \(\frac{1}{3}\)。去分母时找的“最简公分母” \(6\)，就相当于一块能被 \(2\) 和 \(3\) 同时整除的最小“大蛋糕”。方程两边同乘 \(6\)，相当于将整个问题放到这块“大蛋糕”的尺度下来看，分数自然就消除了。公式表达为：\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1\) 两边同乘 \(6\) 得到 \(3x + 2y = 6\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：乘公分母时“漏乘”没有分母的项。
  → ✅ 正解：最简公分母必须乘到方程的每一项，包括常数项。例如：解 \(\frac{x}{2} = x + 1\)，两边同乘 \(2\)，得 \(x = 2x + 2\)，而不是 \(x = 2x + 1\)。
• ❌ 错误2：解完方程后忘记“检验”，导致增根混入最终答案。
  → ✅ 正解：去分母可能使原方程定义域扩大，产生使原分母为 \(0\) 的解（增根），必须舍去。例如：\(\frac{3}{x-1} = \frac{2}{x-1}\)，去分母得 \(3=2\)，矛盾，原方程本就无解。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程：\(\frac{x}{2} = 5\)
2. 解方程：\(\frac{y}{3} + 1 = 4\)
3. 解方程：\(\frac{2m}{5} = m - 3\)
4. 解方程：\(\frac{z-1}{4} = \frac{z}{2}\)
5. 解方程：\(2 = \frac{3n+1}{2}\)
6. 解方程：\(\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 1\)
7. 解方程：\(\frac{1}{4}(x+1) = \frac{1}{3}x\)
8. 解方程：\(\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{2} = 0\)
9. 解方程：\(\frac{0.5p}{2} = \frac{p-1}{4}\) （提示：先化小数分数为整数）
10. 解方程：\(\frac{1}{2}(a-1) - \frac{a}{3} = 2\)

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程：\(\frac{3}{x} = \frac{2}{x-1}\)
2. 解方程：\(\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{3}{x+2}\)
3. 解方程：\(\frac{2}{3x-1} - \frac{3}{2x+1} = 0\)
4. 解方程：\(\frac{5}{y^2-4} - \frac{1}{y-2} = 0\)
5. 若关于 \(x\) 的方程 \(\frac{2}{x-3} = 1 - \frac{m}{x-3}\) 会产生增根，求 \(m\) 的值。
6. 解方程：\(\frac{x-4}{x-5} - \frac{x-5}{x-6} = \frac{x-7}{x-8} - \frac{x-8}{x-9}\)
7. 已知 \(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{5}{6}\)，且 \(A\) 和 \(B\) 都是正整数，\(A < B\)，求 \(A, B\) 的值。
8. 解方程：\(\frac{x-1}{x+1} - \frac{4}{x^2-1} = 1\)
9. 一项工程，甲队单独做比乙队少用3天完成。若两队合作2天后，剩下的由乙队单独做，恰好也用了2天完成。求甲队单独完成此项工程需要多少天？
10. 已知分式方程 \(\frac{2x+a}{x-2} = -1\) 的解是负数，求实数 \(a\) 的取值范围。

第三关：生活应用（5道）

1. 【调配问题】实验室里一种化学试剂的浓度为 \(\frac{1}{5}\)（即纯试剂占溶液的比重）。现在需要配制浓度为 \(\frac{1}{3}\) 的该试剂溶液 \(150\) 毫升。问需要取多少毫升原液，再加入多少毫升清水？
2. 【行程问题】小王步行从家到学校，若速度为每小时 \(5\) 公里，则会迟到 \(\frac{1}{4}\) 小时；若速度为每小时 \(6\) 公里，则会提前 \(\frac{1}{12}\) 小时到达。求小王家到学校的准确距离。
3. 【经济问题】一件商品按标价打八折出售，利润率是 \(\frac{1}{5}\)（利润占成本的比重）。如果按标价打七五折出售，利润率是多少？
4. 【工程问题】一个水池有甲、乙两个进水口和一个排水口丙。单开甲口注满水池的时间比单开乙口少 \(2\) 小时。单开丙口排空满池水需要的时间是单开甲口注满时间的 \(\frac{3}{2}\) 倍。若水池原为空，同时打开甲、乙、丙三口，\(1\) 小时后关闭丙口，则再过 \(\frac{1}{2}\) 小时水池注满。求单开甲口注满水池需要几小时？
5. 【数字问题】一个两位数的十位数字比个位数字小 \(1\)。若把这个两位数的十位与个位数字对调，所得新数与原数之和的 \(\frac{1}{11}\) 恰好等于原数。求这个两位数。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(x=10\)
2. \(y=9\)
3. 乘 \(5\)： \(2m = 5m -15\) \(\Rightarrow\) \(m=5\)
4. 乘 \(4\)： \(z-1 = 2z\) \(\Rightarrow\) \(z = -1\)
5. 乘 \(2\)： \(4 = 3n+1\) \(\Rightarrow\) \(n=1\)
6. 乘 \(6\)： \(3t - 2t = 6\) \(\Rightarrow\) \(t=6\)
7. 乘 \(12\)： \(3(x+1) = 4x\) \(\Rightarrow\) \(3x+3=4x\) \(\Rightarrow\) \(x=3\)
8. 乘 \(6\)： \(2(2x-1) - 3(x+2)=0\) \(\Rightarrow\) \(4x-2-3x-6=0\) \(\Rightarrow\) \(x=8\)
9. 先化为 \(\frac{p}{4} = \frac{p-1}{4}\)，显然 \(p = p-1\) 无解。或直接乘 \(4\)： \(p = p-1\)，矛盾。
10. 乘 \(6\)： \(3(a-1) - 2a = 12\) \(\Rightarrow\) \(3a-3-2a=12\) \(\Rightarrow\) \(a=15\)

第二关：中考挑战

1. 乘 \(x(x-1)\)： \(3(x-1)=2x\) \(\Rightarrow\) \(x=3\)，检验符合。
2. 化为 \(\frac{x-(x-2)}{x-2} = \frac{3}{x+2}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x+2}\)，乘 \((x-2)(x+2)\)： \(2(x+2)=3(x-2)\) \(\Rightarrow\) \(x=10\)，检验符合。
3. 乘 \((3x-1)(2x+1)\)： \(2(2x+1) - 3(3x-1)=0\) \(\Rightarrow\) \(4x+2-9x+3=0\) \(\Rightarrow\) \(x=1\)，检验符合。
4. 注意 \(y^2-4=(y-2)(y+2)\)。乘 \((y-2)(y+2)\)： \(5 - 1\cdot(y+2)=0\) \(\Rightarrow\) \(y=3\)，检验符合。
5. 增根只可能为使分母 \(x-3=0\) 的值，即 \(x=3\)。原方程去分母： \(2 = (x-3) - m\)，将 \(x=3\) 代入得： \(2 = 0 - m\)，所以 \(m = -2\)。
6. 观察发现，每个分式可拆为 \(1 + \frac{1}{x-n}\) 的形式。例如 \(\frac{x-4}{x-5} = 1+\frac{1}{x-5}\)。原方程化为 \(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-6} = \frac{1}{x-8} - \frac{1}{x-9}\)。通分后化简，或直接利用 \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}\)，最终可得 \(x=7\)，检验符合。
7. 由 \(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}=\frac{A+B}{AB}=\frac{5}{6}\)，得 \(6(A+B)=5AB\)。枚举正整数解：\(A=2, B=3\) 符合。
8. 分母 \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)。乘 \((x-1)(x+1)\)： \((x-1)^2 - 4 = (x-1)(x+1)\) \(\Rightarrow\) \(x^2-2x+1-4=x^2-1\) \(\Rightarrow\) \(-2x=2\) \(\Rightarrow\) \(x=-1\)。检验：当 \(x=-1\)时，分母 \(x+1=0\)，是增根。所以原方程无解。
9. 设甲队需 \(x\) 天，则乙队需 \(x+3\) 天。由题意，合作2天完成工作量 \(2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3})\)，乙再做2天完成 \(2\cdot\frac{1}{x+3}\)，总和为1。方程：\(2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}) + \frac{2}{x+3} = 1\)。去分母解得 \(x=6\)（负值舍去）。答：甲队需6天。
10. 去分母： \(2x+a = -(x-2)\) \(\Rightarrow\) \(3x = 2 - a\) \(\Rightarrow\) \(x = \frac{2-a}{3}\)。由解为负数得 \(\frac{2-a}{3} < 0\) \(\Rightarrow\) \(a > 2\)。同时，解不能是增根 \(x=2\)，即 \(\frac{2-a}{3} \neq 2\) \(\Rightarrow\) \(a \neq -4\)。综上，\(a > 2\)。

第三关：生活应用

1. 设需要原液 \(x\) 毫升。根据纯试剂量相等列方程：\(\frac{1}{5}x = \frac{1}{3} \times 150\)，解得 \(x=50\)。所以需原液 \(50\) 毫升，清水 \(150-50=100\) 毫升。
2. 设准确距离为 \(s\) 公里，准时到校时间为 \(t\) 小时。列方程：\(\frac{s}{5} = t + \frac{1}{4}\)，\(\frac{s}{6} = t - \frac{1}{12}\)。两式相减消去 \(t\)：\(\frac{s}{5} - \frac{s}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\)。去分母解得 \(s = \frac{5}{2} = 2.5\) 公里。
3. 设成本为 \(c\)，标价为 \(p\)。由题意：\(0.8p - c = \frac{1}{5}c\) \(\Rightarrow\) \(0.8p = \frac{6}{5}c\) \(\Rightarrow\) \(p = \frac{3}{2}c\)。打七五折售价为 \(0.75p = 0.75 \times \frac{3}{2}c = \frac{9}{8}c\)，利润率为 \((\frac{9}{8}c - c) / c = \frac{1}{8}\)。
4. 设单开甲口注满需 \(x\) 小时，则乙需 \(x+2\) 小时，丙排空需 \(\frac{3}{2}x\) 小时。根据“1小时三管同开 + 0.5小时甲乙开”的总进水量为1列方程：\(1 \times (\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{\frac{3}{2}x}) + 0.5 \times (\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}) = 1\)。去分母化简，解得 \(x=4\)（负值舍去）。
5. 设十位数字为 \(a\)，个位数字为 \(b\)，则原数为 \(10a+b\)，且 \(b = a+1\)。新数为 \(10b+a\)。由题意：\(\frac{(10a+b)+(10b+a)}{11} = 10a+b\)。代入 \(b=a+1\) 并化简：\(\frac{11a+11b}{11} = 11a+11\) \(\Rightarrow\) \(a+b = 11a+11\)？显然有误。正确列式：\(\frac{(10a+b)+(10b+a)}{11} = 10a+b\)。代入 \(b=a+1\)：\(\frac{11a+11(a+1)}{11} = 10a+(a+1)\) \(\Rightarrow\) \(a+(a+1) = 11a+1\) \(\Rightarrow\) \(2a+1=11a+1\) \(\Rightarrow\) \(9a=0\) \(\Rightarrow\) \(a=0\)，则 \(b=1\)。原数是 \(01\) 即 \(1\)，不是两位数，矛盾。检查题意：“…之和的 \(\frac{1}{11}\) 恰好等于原数”，可能意指新数与原数之和等于原数的 \(11\) 倍？若按此理解：\((10a+b)+(10b+a)=11(10a+b)\)，代入 \(b=a+1\) 解得 \(a=3, b=4\)，原数为 \(34\)。请根据实际题意选择理解。