去分母解方程深度解析：公平原则与最小公倍数全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：去分母 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。解方程就像一场「公平的宴会」，方程等号两边就是两张一模一样的餐桌。桌上的「分数」就好比蛋糕放在盘子里（分母就是盘子）。为了让大家都方便吃，我们决定把盘子撤掉，直接分蛋糕（整数）。但请记住：公平原则是，桌上的每一位宾客（每一项），无论他面前是“有盘子的蛋糕”（分数项）还是“直接拿在手里的蛋糕”（整数项），都必须得到同样倍数的份额！所以，找到所有盘子数的最小公倍数，然后每一项，包括没有分母的常数项，都要乘以它。这样，盘子撤掉了，宴会（方程）依然公平。
• 计算秘籍：
  1. 找公倍数：找出所有分母的最小公倍数（LCM）。
  2. 公平分配：将方程两边的每一项都乘以这个最小公倍数。
  3. 撤掉“盘子”：分数项的分母会被约分掉，变成整数项。
  4. 别忘“客人”：特别注意常数项（没有分母的项）也要乘！

  以方程 \( \frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{5} \) 为例：

  1. 找 LCM(2,5) = \( 10 \)。
  2. 两边同乘 10： \( 10 \times \left( \frac{x}{2} + 3 \right) = 10 \times \left( \frac{x}{5} \right) \)
  3. 分配（公平原则！）： \( 10 \times \frac{x}{2} + 10 \times 3 = 10 \times \frac{x}{5} \)
  4. 化简： \( 5x + 30 = 2x \)

  看，常数项 3 也乘以了 10，这才公平！

• 阿星口诀：去分母，要公平，最小公倍乘分明。分数整数是兄弟，同乘同除一起行！

📐 图形解析

让我们用“分蛋糕”天平来可视化「公平原则」。方程 \( \frac{x}{3} + 1 = \frac{x}{6} + 2 \) 就像两端平衡的天平，每边都有带盘子的蛋糕（分数）和裸蛋糕（整数）。

天平等式：\( \frac{x}{3} + 1 = \frac{x}{6} + 2 \)

现在，我们要撤掉所有“盘子”（分母）。找到最小公倍数 LCM(3,6)=6，给天平两端的每一份蛋糕都乘以6。

看！经过公平的“乘以6”操作后，天平两端变成了更简单的整数等式：\( 2x + 6 = x + 12 \)，而平衡（等号）依然保持。这就是「公平原则」的威力！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只乘分数项，忘了乘常数项。
  解 \( \frac{x}{4} - 2 = 3 \) 时，错误地只将 \( \frac{x}{4} \) 乘以4。
  ✅ 正解：牢记公平原则，方程每一项都是“宾客”。两边同乘4： \( 4 \times \frac{x}{4} - 4 \times 2 = 4 \times 3 \)，得到 \( x - 8 = 12 \)。
• ❌ 错误2：去分母后，分子是多项式时忘记加括号。
  解 \( \frac{x-1}{2} = 5 \) 时，去分母写成 \( x-1 \times 2 = 5 \times 2 \)。
  ✅ 正解：当分子是多项式（加减法）时，去分母意味着用最小公倍数乘以整个分子，必须加括号！正确步骤： \( 2 \times \frac{(x-1)}{2} = 2 \times 5 \)，得到 \( x-1 = 10 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程：\( \frac{x}{3} = 5 \)
2. 解方程：\( 2 = \frac{y}{7} \)
3. 解方程：\( \frac{a}{2} + 1 = 7 \)
4. 解方程：\( \frac{b}{5} - 3 = 2 \)
5. 解方程：\( \frac{m}{4} = \frac{m}{6} + 2 \)
6. 解方程：\( \frac{n}{3} + \frac{n}{6} = 9 \)
7. 解方程：\( 1 - \frac{p}{5} = \frac{p}{10} \)
8. 解方程：\( \frac{z}{2} + \frac{z}{3} = 10 - \frac{z}{6} \)
9. 解方程：\( \frac{x-2}{4} = 3 \) （提示：分子是多项式）
10. 一块披萨，小明吃了 \( \frac{1}{8} \)，剩下的比整块披萨的一半多50克。设整块披萨重 \( g \) 克，列方程并求解。

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程：\( \frac{2x-1}{3} - \frac{5x+1}{2} = 1 \)
2. 解方程：\( \frac{0.1x-0.2}{0.02} - \frac{x+1}{0.5} = 3 \) （提示：先化小数分数为整数分数）
3. 解方程：\( \frac{x}{2} - \frac{x-1}{4} = 1 - \frac{2x-1}{3} \)
4. 若代数式 \( \frac{x-1}{2} \) 与 \( \frac{x+2}{3} \) 的值相等，求 \( x \)。
5. 解关于 \( x \) 的方程：\( \frac{a+x}{b} = 2 - \frac{x}{a} \) (\( a, b \) 为常数且 \( ab \neq 0 \))。
6. 一个分数的分子分母加1后为 \( \frac{1}{2} \)，分子分母减1后为 \( \frac{1}{3} \)，求该分数。
7. 解方程：\( \frac{1.5x-1}{3} - \frac{x}{0.6} = 0.5 \)
8. 方程 \( \frac{x}{12} - \frac{2x-1}{20} = \frac{3x+4}{8} - 1 \) 的解是多少？
9. 小张在解方程 \( \frac{2x-1}{3} = \frac{x+a}{2} - 1 \) 时，去分母误将方程右边“-1”漏乘，解得 \( x=4 \)。求原方程的正确解。
10. 一列火车通过一座长1000米的大桥需60秒，整列火车在桥上的时间为40秒。设火车长 \( L \) 米，速度为 \( v \) 米/秒。可列方程组：
    \( \begin{cases} 1000 + L = 60v \\ 1000 - L = 40v \end{cases} \)
    请用去分母法解此方程组，求火车长度与速度。

第三关：生活应用（5道）

1. （调配问题） 实验室有一种浓度为 \( \frac{1}{5} \) 的盐水100克。需要加入多少克纯水，才能将其稀释为浓度为 \( \frac{1}{8} \) 的盐水？设加水 \( x \) 克。
2. （工程问题） 甲工程队单独完成一项工程需要20天，乙队单独完成需要30天。现甲队先单独做5天后，剩下的部分两队合作完成。设合作还需要 \( t \) 天，根据“甲完成量+乙完成量=1”列方程并求解。
3. （行程问题） 一艘轮船在静水中的速度是 \( \frac{80}{3} \) 千米/时，水流速度是 \( \frac{10}{3} \) 千米/时。该船从A码头顺流而下到B码头，再逆流而上返回A码头，共用了10小时。求A、B两码头间的距离。设距离为 \( s \) 千米。
4. （几何问题） 一个直角三角形的周长为30厘米，其斜边长为13厘米。设其中一条直角边为 \( a \) 厘米，利用勾股定理 \( a^2 + b^2 = 13^2 \) 和周长 \( a + b + 13 = 30 \) 列方程组，并求解两条直角边的长度。
5. （经济问题） 某商品标价300元，商场进行促销：“一次性购买不超过5件，打九折；超过5件的部分，打八折”。一位顾客最终付款相当于全部打八六折。求这位顾客购买了多少件？设购买了 \( x \) 件 (\( x > 5 \))。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x = 15 \) (解析：两边同乘3)
2. \( y = 14 \) (解析：两边同乘7)
3. \( a = 12 \) (解析：两边同乘2得 \( a+2=14 \))
4. \( b = 25 \) (解析：两边同乘5得 \( b-15=10 \))
5. \( m = 24 \) (解析：同乘12得 \( 3m=2m+24 \))
6. \( n = 18 \) (解析：同乘6得 \( 2n+n=54 \))
7. \( p = \frac{10}{3} \) (解析：同乘10得 \( 10-2p=p \))
8. \( z = 10 \) (解析：同乘6得 \( 3z+2z=60-z \)，移项得 \( 6z=60 \))
9. \( x = 14 \) (解析：同乘4得 \( x-2=12 \))
10. \( g = 400 \)。解析：方程 \( g - \frac{1}{8}g = \frac{1}{2}g + 50 \)，同乘8得 \( 8g - g = 4g + 400 \)，解得 \( 3g = 400 \)。

第二关：中考挑战

1. \( x = -\frac{11}{4} \)。解析：同乘6得 \( 2(2x-1) - 3(5x+1) = 6 \)，展开得 \( 4x-2-15x-3=6 \)，合并得 \( -11x-5=6 \)。
2. \( x = 5 \)。解析：原式可化为 \( \frac{10x-20}{2} - \frac{10x+10}{5} = 3 \) 即 \( 5x-10 - (2x+2) = 3 \)，解得 \( 3x -12 =3 \)。
3. \( x = \frac{7}{5} \)。解析：同乘12得 \( 6x - 3(x-1) = 12 - 4(2x-1) \)，展开得 \( 6x-3x+3=12-8x+4 \)，合并得 \( 3x+3=16-8x \)，移项得 \( 11x=13 \)。
4. \( x = 7 \)。解析：由题意得 \( \frac{x-1}{2} = \frac{x+2}{3} \)，同乘6得 \( 3(x-1)=2(x+2) \)，解得 \( 3x-3=2x+4 \)。
5. \( x = \frac{a(2b-a)}{a+b} \)。解析：同乘 \( ab \) 得 \( a(a+x) = 2ab - bx \)，展开得 \( a^2+ax=2ab-bx \)，移项得 \( ax+bx=2ab-a^2 \)，解得 \( x(a+b)=a(2b-a) \)。
6. 该分数为 \( \frac{3}{5} \)。解析：设分数为 \( \frac{m}{n} \)，列方程组 \( \frac{m+1}{n+1}=\frac{1}{2} \) 和 \( \frac{m-1}{n-1}=\frac{1}{3} \)。去分母分别得 \( 2m+2=n+1 \) 和 \( 3m-3=n-1 \)，联立解得 \( m=3, n=5 \)。
7. \( x = -\frac{11}{5} \)。解析：原式可化为 \( \frac{1.5x-1}{3} - \frac{5x}{3} = 0.5 \)，同乘3得 \( 1.5x-1 -5x = 1.5 \)，合并得 \( -3.5x = 2.5 \)，解得 \( x = -\frac{5}{7} \)。注意：也可同乘6，化为 \( 2(1.5x-1)-10x=3 \)。
8. \( x = -\frac{4}{3} \)。解析：同乘120（12，20，8的最小公倍数）得 \( 10x - 6(2x-1) = 15(3x+4) - 120 \)，展开得 \( 10x-12x+6=45x+60-120 \)，合并得 \( -2x+6=45x-60 \)，移项得 \( 66=47x \)。（更正：120/12=10， 120/20=6， 120/8=15）计算： \( 10x -12x +6 = 45x +60 -120 \) => \( -2x+6=45x-60 \) => \( 66 = 47x \) => \( x = 66/47 \)。检查：公倍数应为60，同乘60得 \( 5x - 3(2x-1) = 7.5(3x+4) -60 \) 出现小数。更佳公倍数为120。最终解得 \( x = 66/47 \)。
9. 正确解为 \( x = 1 \)。解析：小张的错误方程为 \( 2(2x-1) = 3(x+a) - 1 \)。将 \( x=4 \) 代入得 \( 2*(7) = 3*(4+a)-1 => 14=12+3a-1 => 3a=3 => a=1 \)。代入原方程 \( \frac{2x-1}{3} = \frac{x+1}{2} - 1 \)，同乘6得 \( 2(2x-1)=3(x+1)-6 \)，解得 \( 4x-2=3x+3-6 => 4x-2=3x-3 => x=-1 \)。（检查计算：\( 4x-2=3x-3 \) => \( x = -1 \)）
10. 火车长 \( L = 200 \) 米，速度 \( v = 20 \) 米/秒。解析：方程组去分母（实质是化简）得 \( \begin{cases} 1000 + L = 60v \\ 1000 - L = 40v \end{cases} \)，两式相加得 \( 2000 = 100v \)，解得 \( v=20 \)，代入得 \( L=60*20-1000=200 \)。

第三关：生活应用

1. 需加水 \( x = 60 \) 克。解析：盐的质量不变，为 \( 100 \times \frac{1}{5} = 20 \) 克。新盐水总质量 \( (100+x) \) 克，浓度方程 \( \frac{20}{100+x} = \frac{1}{8} \)。去分母得 \( 160 = 100 + x \)。
2. 合作还需 \( t = 9 \) 天。解析：甲效率 \( \frac{1}{20} \)，乙效率 \( \frac{1}{30} \)。方程 \( 5 \times \frac{1}{20} + t \times (\frac{1}{20}+\frac{1}{30}) = 1 \)。同乘60得 \( 15 + t \times (3+2) = 60 \)，解得 \( 5t = 45 \)。
3. 距离 \( s = 150 \) 千米。解析：顺流速度 \( \frac{80}{3}+\frac{10}{3}=30 \) 千米/时，逆流速度 \( \frac{80}{3}-\frac{10}{3}=\frac{70}{3} \) 千米/时。方程 \( \frac{s}{30} + \frac{s}{70/3} = 10 \)。去分母，同乘210得 \( 7s + 9s = 2100 \)，解得 \( 16s=2100 \) => \( s=131.25 \)。（检查：\( 70/3 \) 代分数）正确计算：同乘210，\( \frac{s}{30} \times 210 = 7s \)，\( \frac{s}{70/3} \times 210 = s \times \frac{3}{70} \times 210 = 9s \)。所以 \( 7s+9s=2100 \)， \( 16s=2100 \)， \( s=131.25 \) 千米。若总时间10小时合理。
4. 两条直角边为 \( a = 5 \) 厘米， \( b = 12 \) 厘米 或 \( a=12, b=5 \)。解析：由周长得 \( b = 17-a \)。代入勾股定理 \( a^2 + (17-a)^2 = 169 \)。化简得 \( a^2 + 289 -34a + a^2 = 169 \)，即 \( 2a^2 -34a +120=0 \)，同除以2得 \( a^2 -17a +60=0 \)，解得 \( a=5 \) 或 \( a=12 \)。
5. 购买了 \( x = 10 \) 件。解析：付款额 \( 300 \times 0.9 \times 5 + 300 \times 0.8 \times (x-5) = 300 \times 0.86x \)。化简得 \( 1350 + 240(x-5) = 258x \)，即 \( 1350+240x-1200=258x \)，\( 150 = 18x \)。