圆的切线判定定理怎么证明？连半径证垂直深度解析与例题专项练习题库

💡 阿星精讲：判定 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊怎么“判定”一条线是圆的“御前侍卫”——切线。想象一下，你（一个点）站在圆形操场（圆O）的边缘（圆上），你想站得笔直，和连接你与操场的绳子（半径OA）保持90度。只要你站得“垂直”，那么你向外伸出的脚（直线）就是严格沿着操场边走的，绝不会再踩进操场里！这个“垂直”就是关键身份卡。所以我们的秘籍是：“连半径，证垂直”。先连接圆心和那个可疑的“外端点”，再想办法证明这条半径和那条直线互相垂直。只要垂直关系坐实，那它就是切线无疑！
• 计算秘籍：
  1. 定位：找到直线与圆的公共点（设为点 \( A \)），并确认该点在圆上。
  2. 连接：连接圆心 \( O \) 与点 \( A \)，得到半径 \( OA \)。
  3. 验证：通过几何关系（如角度计算、全等三角形、勾股定理逆定理等），证明 \( OA \perp \) 直线 \( l \)。
  4. 判定：得出结论：∵ \( OA \) 是半径，且 \( OA \perp l \) 于点 \( A \)，∴ 直线 \( l \) 是 \( \odot O \) 的切线。
• 阿星口诀：点在圆上连半径，证明垂直是密钥。垂直关系一成立，切线身份就坐实！

📐 图形解析

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

如上图所示，关键逻辑链：点 \( A \) 在 \( \odot O \) 上 → 连接 \( OA \)（半径）→ 证明 \( l \perp OA \) → 得到 \( l \) 是切线。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：连接了圆心和直线上的任意点，就企图证明垂直。
  ✅ 正解：必须连接圆心与唯一的那个公共点（切点）。这个点必须在圆上，是连接和证明的“锚点”。
• ❌ 错误2：证明了直线与过圆心的某条弦垂直，就认为是切线。
  ✅ 正解：垂直的对象必须是半径，并且是连接切点的那条半径。直线垂直于弦不一定过圆心，更不一定是切线。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\( \odot O \) 的半径为 \( 3 \)，点 \( P \) 在 \( \odot O \) 外，\( OP=5 \)。以 \( P \) 为圆心作 \( \odot P \) 与 \( \odot O \) 相切。求 \( \odot P \) 的半径。
2. 直接写出切线的判定定理。
3. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( AC=3 \)，\( BC=4 \)。以点 \( C \) 为圆心，\( 2.4 \) 为半径画圆。判断斜边 \( AB \) 与 \( \odot C \) 的位置关系，并说明理由。
4. 填空题：要证明一条直线是圆的切线，通常需要：① 连接 ______；② 证明 ______。
5. 如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 直径，\( \angle ABT=45^{\circ} \)，\( AT=AB \)。求证：\( AT \) 是 \( \odot O \) 的切线。
6. 已知直线 \( l \) 上一点 \( P \) 到圆心 \( O \) 的距离为 \( 5 \)，\( \odot O \) 的半径为 \( 3 \)，则直线 \( l \) 与 \( \odot O \) 的位置关系是______。
7. 判断题：垂直于圆的半径的直线是圆的切线。（ ）
8. 如图，\( \triangle ABC \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle B=60^{\circ} \)，\( CD \) 是 \( \odot O \) 的直径，点 \( P \) 是 \( CD \) 延长线上一点，且 \( AP=AC \)。求证：\( PA \) 是 \( \odot O \) 的切线。
9. 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( r \)，圆心 \( O \) 到直线 \( l \) 的距离为 \( d \)。若 \( d=3 \)，\( r=4 \)，则直线 \( l \) 与 \( \odot O \) 有____个公共点。
10. 请默写阿星口诀。

第二关：中考挑战（10道）

1. （真题改编）如图，四边形 \( ABCD \) 内接于 \( \odot O \)，\( AB \) 是直径，\( \angle BAC=2\angle CAD \)，过点 \( C \) 作 \( CE \perp AD \) 交 \( AD \) 延长线于点 \( E \)。求证：\( CE \) 是 \( \odot O \) 的切线。
2. （真题改编）如图，\( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，以 \( AC \) 为直径的 \( \odot O \) 交 \( BC \) 于点 \( D \)，交 \( AB \) 于点 \( E \)，过点 \( D \) 作 \( DF \perp AB \) 于点 \( F \)。求证：\( DF \) 是 \( \odot O \) 的切线。
3. （计算综合）如图，\( PA \)、\( PB \) 分别切 \( \odot O \) 于 \( A \)、\( B \)，\( \angle APB=60^{\circ} \)，\( \odot O \) 半径为 \( 3 \)。求劣弧 \( AB \) 的长及 \( \triangle PAB \) 的面积。
4. （动点问题）如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=4 \)，\( BC=3 \)，点 \( P \) 从点 \( A \) 出发沿 \( AB \) 向点 \( B \) 运动，速度为 \( 1 \) 单位/秒，同时点 \( Q \) 从点 \( B \) 出发沿 \( BC \) 向点 \( C \) 运动，速度为 \( 2 \) 单位/秒。以 \( BP \)、\( BQ \) 为边作 \( \odot M \)。当 \( t \) 为何值时，\( CD \) 与 \( \odot M \) 相切？
5. （证明综合）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB=90^{\circ} \)，点 \( D \) 是边 \( AB \) 上一点，以 \( CD \) 为直径作 \( \odot O \) 分别交 \( AC \)、\( BC \) 于点 \( E \)、\( F \)，连接 \( EF \)。求证：\( AB \) 是 \( \odot O \) 的切线。
6. （坐标几何）在平面直角坐标系中，点 \( A(0, 3) \)，点 \( B(4, 0) \)。以原点 \( O \) 为圆心，\( 2 \) 为半径画圆。判断直线 \( AB \) 与 \( \odot O \) 的位置关系，并证明。
7. （新定义）定义：若一条直线与一个圆有且仅有一个公共点，则称该直线为这个圆的“专属线”。已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 5 \)，平面内有一点 \( P \)，\( OP=13 \)。过点 \( P \) 可以作多少条 \( \odot O \) 的“专属线”？
8. （翻折问题）如图，将矩形 \( ABCD \) 沿 \( BD \) 翻折，点 \( C \) 落在点 \( C‘ \) 处，\( BC' \) 交 \( AD \) 于点 \( E \)。以 \( A \) 为圆心，\( AB \) 长为半径画圆。求证：\( BC' \) 是 \( \odot A \) 的切线。
9. （探索规律）如图，\( \odot O \) 是 \( \triangle ABC \) 的外接圆，\( I \) 是内心。求证：\( AI \) 的延长线经过 \( \triangle BIC \) 外接圆的圆心，且 \( AI \) 是 \( \triangle BIC \) 外接圆的切线。
10. （阅读理解）阅读材料并完成证明：切线的判定定理可以用反证法证明。已知：直线 \( l \) 过 \( \odot O \) 上一点 \( A \)，且 \( OA \perp l \)。求证：直线 \( l \) 是 \( \odot O \) 的切线。证明：假设直线 \( l \) 不是切线，则它与 \( \odot O \) 还有另一个公共点 \( B \) …（请补充完整证明过程）。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）为了测量一个圆形工件的半径，工人师傅将两个同样大小的直角三角板像下图那样放置（一条直角边紧贴工件，顶点在工件上）。测得两个三角板顶点间的距离为 \( 20 \) cm，三角板的短直角边长为 \( 6 \) cm。你能算出这个工件的半径吗？
2. （工程）如图，一段笔直的河道 \( l \) 同侧有甲、乙两个村庄。现要在河边修建一个抽水站 \( P \)，并分别向两村铺设输水管道。为了节省成本，需要使管道总长度 \( PA+PB \) 最短。工程师发现，如果以某个点为圆心画一个圆，使甲村和乙村都在圆外，且该圆与河道相切，那么切点就是最佳的抽水站位置 \( P \)。你能解释其中的数学原理吗？（提示：利用轴对称和“直线外一点到直线上各点连线中，垂线段最短”）
3. （设计）一个圆形餐桌的中央放着一个可旋转的圆形转盘。转盘的边缘与餐桌边缘的最短距离是 \( 30 \) cm。为了让转盘旋转时不碰到餐桌，连接转盘中心与餐桌中心的线段必须与它们的公切线垂直。如果餐桌直径为 \( 1.6 \) 米，求转盘的最大可能直径。
4. （航海）一艘船在海上匀速直线航行，其航线恰好与一个半径为 \( 10 \) 海里的暗礁区域相切。船上的雷达显示，在某一时刻，船到暗礁区域中心 \( O \) 的距离是 \( 26 \) 海里，航行方向与 \( O \) 到船的连线夹角为 \( 30^\circ \)。请判断，若不改变航向，船是否会触礁？最近距离是多少？
5. （体育）在标准田径场的弯道处，跑道线是同心圆弧。假设第 \( 1 \) 跑道（最内侧）的半径为 \( R \) 米，每条跑道宽 \( 1.2 \) 米。一名运动员在第 \( 4 \) 跑道跑步，为了抢道，他想从第 \( 4 \) 跑道沿直线最短距离切到第 \( 1 \) 跑道。请你帮他计算这条“切线”的长度（用 \( R \) 表示），并说明在哪个位置切入角度最佳。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. \( 2 \) 或 \( 8 \)。解析：分外切和内切两种情况。外切：\( R_P = OP - R_O = 5-3=2 \)；内切：\( R_P = OP + R_O = 5+3=8 \)。
2. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3. 相切。解析：计算圆心 \( C \) 到直线 \( AB \) 的距离 \( d \)。利用面积法，\( AB=5 \)，\( d = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4 \)。∵ \( d = r = 2.4 \)，∴ 相切。
4. ① 圆心与公共点的线段（半径）；② 这条线段与直线垂直。
5. 证明：连接 \( OT \)。∵ \( AT=AB \)，∴ \( \angle T = \angle B \)。∵ \( \angle ABT=45^{\circ} \)，∴ \( \angle T = 45^{\circ} \)。在 \( \triangle ABT \) 中，\( \angle BAT = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \)。∴ \( BA \perp AT \)。又 ∵ \( AB \) 是直径，\( A \) 在圆上，∴ \( AT \) 是 \( \odot O \) 的切线。
6. 相交或相切。解析：点 \( P \) 可能在圆外也可能在圆上，需分类讨论。若 \( P \) 是垂足，则 \( d=3<5 \)，直线 \( l \) 与圆相交；若 \( P \) 不是垂足，则圆心到直线距离 \( d < 5 \)，也可能相交或相切。但题目说“直线 \( l \) 上一点 \( P \)”，未指明 \( P \) 是垂足，所以直线可能与圆相交（此时 \( P \) 在圆外），也可能相切（此时 \( P \) 为切点，且 \( OP \) 垂直于 \( l \)，则 \( d=3 \)，\( P \) 到圆心距离为 \( 5 \) 是斜边）。严谨答案是：位置关系不确定，可能相交也可能相切。
7. 错误。必须强调“经过半径的外端”。
8. 证明：连接 \( OA \)。∵ \( \angle B=60^{\circ} \)，∴ \( \angle AOC=2\angle B=120^{\circ} \)。∵ \( OA=OC \)，∴ \( \angle OAC=\angle OCA=30^{\circ} \)。∵ \( AP=AC \)，∴ \( \angle P=\angle ACP=30^{\circ} \)。∴ \( \angle OAP=\angle OAC+\angle PAC=30^{\circ}+(180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ})? \) 更佳证法：∵ \( CD \) 是直径，∴ \( \angle CAD=90^{\circ} \)。∵ \( AP=AC \)，∴ \( \angle P=\angle ACP \)。又 ∵ \( \angle ACP=\angle B=60^{\circ} \)，∴ \( \angle P=60^{\circ} \)。在 \( \triangle OAP \) 中，\( \angle OAP=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ} \)? 此路稍繁。标准简洁证法：连接 \( AD \)。∵ \( CD \) 是直径，∴ \( \angle CAD=90^{\circ} \)。∵ \( \angle B=60^{\circ} \)，∴ \( \angle ADC=60^{\circ} \)。∴ \( \angle ACD=30^{\circ} \)。∵ \( AP=AC \)，∴ \( \angle P=\angle ACP=30^{\circ} \)。∴ \( \angle OAP=\angle OAC+\angle CAP \)。∵ \( OA=OC \)，∴ \( \angle OAC=\angle OCA=30^{\circ} \)。又 \( \angle CAP=\angle P=30^{\circ} \) (等边对等角，由 \( AP=AC \) 得 \( \angle ACP=\angle P=30^{\circ} \)，而 \( \angle CAP=180^{\circ}-2\times30^{\circ}=120^{\circ} \)，这里计算有误。调整：\( \angle ACP = \angle P = x \)，则 \( \angle CAP = 180^{\circ} - 2x \)。已知 \( \angle ACD=30^{\circ} \)，即 \( x=30^{\circ} \)。∴ \( \angle CAP = 120^{\circ} \)。∴ \( \angle OAP = \angle OAC + \angle CAP = 30^{\circ} + 120^{\circ} = 150^{\circ} \)。在 \( \triangle OAP \) 中，\( \angle O=2\angle B=120^{\circ} \)，\( \angle P=30^{\circ} \)，∴ \( \angle OAP=30^{\circ} \)? 和前面矛盾。可见本题图形特殊，更直接：连接 \( OA \)。∵ \( \angle B=60^{\circ} \)，∴ \( \angle AOC=120^{\circ} \)。∵ \( OA=OC \)，∴ \( \angle OAC=30^{\circ} \)。∵ \( AP=AC \)，∴ \( \angle APC=\angle ACP \)。又 ∵ \( \angle ACP \) 是圆内接四边形 \( ABDC \) 中 \( \angle B \) 的外角？或利用弦 \( AC \) 所对圆周角。简洁思路：由 \( AP=AC \)，\( OA=OC \)，\( OP=OP \) 无法直接全等。改用“连半径，证垂直”：连接 \( OA \)，则 \( \angle OAC=\angle OCA \)。∵ \( CD \) 是直径，∴ \( \angle CAD=90^{\circ} \)。∴ \( \angle OAP=\angle OAC+\angle CAP \)。关键是求 \( \angle CAP \)。∵ \( AP=AC \)，∴ \( \angle APC=\angle ACP \)。而 \( \angle ACP=\angle B=60^{\circ} \)（同弧 \( AD \) 所对圆周角相等），∴ \( \angle APC=60^{\circ} \)，∴ \( \angle CAP=60^{\circ} \)。∴ \( \angle OAP=\angle OAC+60^{\circ} \)。又 \( \angle OAC=\angle OCA \)，在 \( Rt\triangle CAD \) 中，\( \angle OCA=90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ} \)。∴ \( \angle OAP=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ} \)，即 \( OA \perp AP \)。证毕。
9. 2个。解析：∵ \( d=3 < r=4 \)，∴ 相交，有两个公共点。
10. 点在圆上连半径，证明垂直是密钥。垂直关系一成立，切线身份就坐实！

（第二关、第三关答案及详细解析因篇幅所限，在此省略。教学时可分步给出。）