切线的判定怎么证明？连半径证垂直口诀与中考真题深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：切线的判定 原理

• 核心概念：阿星把判定切线比作“开门”。圆就像一扇上了锁的门，半径 \( OA \) 就是那根固定的门轴。要想打开这扇门（让直线变成切线），需要两个动作：第一，钥匙必须插在锁孔里，即直线必须经过半径的末端点 \( A \)（点在圆上）；第二，必须用正确的力道和方向旋转钥匙，即直线必须垂直于门轴 \( OA \)。所以，判定切线的核心口诀就是：“连半径，证垂直。” 只要你能通过计算或推理，证明连接圆心与交点的半径与这条直线垂直，那么这条直线就一定是圆的切线。
• 计算秘籍：
  1. 定点：明确直线与圆的公共点（记为点 \( A \)）。
  2. 连半径：连接圆心 \( O \) 和点 \( A \)，得到半径 \( OA \)。
  3. 证垂直：证明半径 \( OA \) 与直线 \( l \) 垂直。
     • 方法1（勾股逆定理）：若已知三边长，证明 \( OA^2 + AB^2 = OB^2 \)，其中 \( B \) 是直线 \( l \) 上异于 \( A \) 的任意一点。
     • 方法2（角度法）：证明 \( \angle OAB = 90^\circ \) 或相关角度为 \( 90^\circ \)。
     • 方法3（斜率法）：在坐标系中，若 \( k_{OA} \times k_l = -1 \)，则垂直。
• 阿星口诀：“切线判定不用慌，先连半径再张望。垂直关系一确认，稳稳切线没跑趟！”

📐 图形解析

切线的判定定理图示：直线 \( l \) 经过 \( \odot O \) 上的点 \( A \)，且 \( OA \perp l \)，则 \( l \) 是 \( \odot O \) 的切线。

如图所示，要证明直线 \( l \) 是切线，核心就是证明 \( OA \perp l \)，即 \( \angle OAl = 90^\circ \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只证明了垂直，却没有说明或验证点A在圆上（即OA是半径）。 → ✅ 正解：“连半径证垂直”是一个完整的动作。必须先“连半径”，确保点A在圆上，这是前提。垂直是在这个前提下的结论。两步缺一不可。
• ❌ 错误2：在运用勾股定理逆定理时，误将 \( OB \) 当作半径。 → ✅ 正解：在证明 \( OA^2 + AB^2 = OB^2 \) 时，\( OA \) 是连接圆心和公共点的线段（半径），\( OB \) 是圆心到直线上另一点 \( B \) 的线段，它不是半径，其长度需要计算或表示。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，\( \angle ABC = 45^\circ \)，\( AB = AC \)。求证：\( AC \) 是 \( \odot O \) 的切线。（提示：连哪条半径？）
2. 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 3 \, \text{cm} \)，点 \( P \) 在 \( \odot O \) 外，\( OP = 5 \, \text{cm} \)。过点 \( P \) 作直线 \( l \) 与 \( \odot O \) 相切，求切线的长度。（提示：先画图，切线长定理）
3. 填空：经过半径的______并且______于这条半径的直线是圆的切线。
4. 判断：垂直于半径的直线是圆的切线。（ ）
5. 如图，\( PA \) 切 \( \odot O \) 于点 \( A \)，\( OP \) 与 \( \odot O \) 交于点 \( B \)。若 \( PA=6 \, \text{cm} \)，\( PB=3 \, \text{cm} \)，求 \( \odot O \) 的半径。
6. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=3 \)，\( BC=4 \)。以点 \( C \) 为圆心，\( 2.4 \) 为半径的圆与 \( AB \) 有何种位置关系？为什么？
7. 简述“连半径，证垂直”的具体步骤。
8. 已知 \( \odot O \) 和直线 \( l \)，请你用尺规作图的方法过圆上一点 \( A \) 作 \( \odot O \) 的切线。（不写作法，保留作图痕迹）
9. 如图，\( AB=AC \)，\( \odot O \) 与 \( BC \) 相切于点 \( B \)，与 \( AC \) 相交于点 \( D \)。求证：\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径。（提示：连接 \( OB \)，如何证 \( AB \perp OB \)？）
10. 直线 \( l \) 上有一点 \( P \)，\( \odot O \) 的半径为 \( 5 \, \text{cm} \)，若 \( OP=5 \, \text{cm} \)，则直线 \( l \) 与 \( \odot O \) 的位置关系是______。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）如图，\( \triangle ABC \) 内接于 \( \odot O \)，\( AB \) 是直径，\( \angle C \) 的平分线交 \( \odot O \) 于点 \( D \)，过点 \( D \) 作 \( \odot O \) 的切线交 \( CA \) 的延长线于点 \( E \)。求证：\( DE \parallel AB \)。
2. （计算题）如图，\( PA \)、\( PB \) 是 \( \odot O \) 的切线，\( A \)、\( B \) 为切点，\( \angle P=60^\circ \)，\( \odot O \) 的半径为 \( 2 \)，求阴影部分（弓形）的面积。
3. （坐标系题）在平面直角坐标系中，\( \odot M \) 的圆心为 \( M(1, -2) \)，半径为 \( \sqrt{5} \)。判断直线 \( y = x-1 \) 与 \( \odot M \) 的位置关系。
4. （动点问题）如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=4 \)，\( BC=3 \)，动点 \( P \) 从点 \( A \) 出发，沿边 \( AD \) 向点 \( D \) 运动。以 \( BP \) 为直径作 \( \odot O \)，当 \( \odot O \) 与直线 \( CD \) 相切时，求 \( AP \) 的长。
5. （证明题）如图，\( \odot O \) 是 \( \triangle ABC \) 的外接圆，\( AE \) 平分 \( \angle BAC \) 交 \( \odot O \) 于点 \( E \)，交 \( BC \) 于点 \( D \)，过点 \( E \) 作直线 \( l \parallel BC \)。求证：\( l \) 是 \( \odot O \) 的切线。
6. （探究题）已知 \( \odot O \) 和直线 \( l \)，在 \( l \) 上任取一点 \( P \)，连接 \( OP \)，以 \( OP \) 为直径作 \( \odot C \)。探究 \( \odot C \) 与 \( \odot O \) 的位置关系，并证明你的结论。
7. （翻折题）如图，将矩形 \( ABCD \) 沿对角线 \( BD \) 翻折，点 \( C \) 落在点 \( C' \) 处，\( BC' \) 交 \( AD \) 于点 \( E \)。以 \( A \) 为圆心，\( AB \) 长为半径作圆。求证：\( BC' \) 是 \( \odot A \) 的切线。
8. （阅读理解）阅读“切线长定理”材料，并完成相关问题：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。请利用该定理解答：若 \( PA \)、\( PB \) 切 \( \odot O \) 于 \( A \)、\( B \)，\( OP \) 交 \( AB \) 于点 \( C \)，求证：\( OP \perp AB \) 且 \( AC=BC \)。
9. （存在性问题）在平面直角坐标系中，\( \odot O \) 半径为 \( 1 \)，直线 \( y = -\frac{3}{4}x + b \) 与坐标轴交于 \( A \)、\( B \) 两点。问：是否存在实数 \( b \)，使得直线 \( AB \) 与 \( \odot O \) 相切？若存在，求出 \( b \) 的值；若不存在，说明理由。
10. （最值问题）如图，在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=6 \)，\( BC=8 \)，点 \( O \) 在斜边 \( AB \) 上，\( \odot O \) 与 \( AC \)、\( BC \) 都相切。求 \( \odot O \) 半径的最大值和最小值。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量问题）考古学家发现一个疑似古代圆形祭坛的基座（近似为圆 \( O \)），但只有残缺的一段弧。他们想确定这个圆的中心。你能利用“切线的性质”（垂直于切线的半径过圆心）设计一个方案，只用尺规在残弧上找到圆心 \( O \) 吗？
2. （工程问题）如图，一个半径为 \( 1.5 \, \text{m} \) 的圆形管道横截面，需要在管道外壁上焊接一个支撑架 \( AB \)，要求支撑架的一端 \( A \) 紧贴管道外壁，且 \( AB \) 与管道相切于点 \( A \)。已知支撑架另一端 \( B \) 到管道圆心 \( O \) 的水平距离为 \( 2.5 \, \text{m} \)，求支撑架 \( AB \) 的长度。
3. （光学问题）根据光的反射定律，入射角等于反射角。现有一束光线从点 \( P \) 射出，照射到一块圆形镜面 \( \odot O \) 的边缘点 \( A \) 后，反射光线恰好经过圆心 \( O \)。请用几何知识证明：入射光线 \( PA \) 与镜面在点 \( A \) 处的切线所成的角（入射角）等于反射光线 \( AO \) 与该切线所成的角（反射角）。
4. （体育问题）在田径场的弯道（可视为一段圆弧）上，一名运动员沿着弯道内侧（半径较小的弧）奔跑。请问，在他不断调整方向以保持在跑道上的过程中，他每一瞬间的奔跑方向与弯道半径是什么关系？这可以用哪个几何概念来解释？
5. （设计问题）一位设计师想在一个圆形桌面的正中央上方安装一盏吊灯。他希望灯光的光束边缘（可视为直线）恰好与圆形桌面的边缘相切，形成一个完美的锥形光晕。如果桌面半径为 \( R \)，吊灯距离桌面的高度为 \( h \)，请问光束与垂直方向所成的角度 \( \theta \) 是多少？（用 \( R \) 和 \( h \) 表示）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关部分答案提示：

1. 连接 \( OB \)，证 \( \angle OBA = \angle C = 45^\circ \)，则 \( \angle OAC = 90^\circ \)。
2. 连接 \( OA \)（切点），则 \( \triangle OAP \) 为直角三角形，切线长 \( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4 \, \text{cm} \)。
3. 外端，垂直。
4. ❌。必须强调“经过半径外端”。
5. 设半径 \( OA = r \)，则 \( OP = r+3 \)。在 \( Rt\triangle OAP \) 中，\( r^2 + 6^2 = (r+3)^2 \)，解得 \( r = 4.5 \, \text{cm} \)。
6. 相切。因为 \( AB=5 \)，点 \( C \) 到 \( AB \) 的距离 \( d = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4 = r \)。
7. ①找公共点；②连半径；③证垂直。
8. 连接 \( OA \)，过点 \( A \) 作 \( OA \) 的垂线即为所求。
9. 连接 \( OB \)，由切线性质 \( OB \perp BC \)，由 \( AB=AC \) 得 \( \angle ABC = \angle C \)，结合 \( \angle OBC=90^\circ \) 可证 \( \angle OBA = 90^\circ \)。
10. 相交或相切。因为点 \( P \) 在 \( \odot O \) 上，过该点的直线如果不垂直 \( OP \) 就是割线，如果垂直 \( OP \) 才是切线。关系不确定。

（第二关、第三关答案因篇幅所限，可从标准教辅或联系老师获取详细解析。核心思路均已在本资料中涵盖。）