直线与圆相切条件及切线方程求法深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：直线与圆(切线) 原理

• 核心概念：想象一个圆是一个人的社交安全距离。一条直线想和这个人（圆）建立联系。
  • 相离：直线离得太远，根本没进入安全范围（\(d > r\)），毫无接触。
  • 相交：直线强势闯入安全区，有两个交点（\(d < r\)），这叫“冒犯”。
  • 相切：直线保持最完美的社交礼仪——唯一接触。阿星：直线和圆只有一个交点，且圆心到直线的距离 \(d\) 刚好等于圆的半径 \(r\)。这条懂分寸、刚刚好的线，就叫切线。
• 计算秘籍：
  1. 判别相切关系：圆心 \(O(x_0, y_0)\) 到直线 \(l: Ax+By+C=0\) 的距离 \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。若 \(d = r\)，则直线与圆相切。
  2. 求切线方程（已知圆上一点 \(P(x_1, y_1)\)）：
     • 圆的方程：\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
     • 切线方程可直接写出：\( (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \)
• 阿星口诀：
  距离 d， 半径 r， 相等就是好关系。
  唯一交点不拥挤， 这条切线记心里。

📐 图形解析

三种位置关系一目了然：

核心关系：相切 ⇔ \(d = r\)。

切线的另一个重要性质：切线与过切点的半径垂直。

几何关系：在切点 \(P\) 处，半径 \(OP\) 与切线 \(l\) 垂直，即 \(OP \perp l\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到直线和圆有一个交点就断定是切线。
  ✅ 正解：必须同时满足“几何上只有一个交点”和“代数上 \(d = r\)”。有些题目中图形可能只画出一部分，看似一个交点，实际可能是相交（另一个交点未画出），务必用 \(d = r\) 严格判断。
• ❌ 错误2：求过圆外一点的切线时，设点斜式方程 \(y - y_0 = k(x - x_0)\)，忘记讨论斜率 \(k\) 不存在的情况。
  ✅ 正解：圆外一点通常可作两条切线。解题时必须先验证斜率不存在（即直线 \(x = x_0\)）是否满足 \(d = r\)。如果满足，它就是一条切线。然后再设点斜式，用 \(d = r\) 解出另一条切线的斜率。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断直线 \(y = 2x + 3\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 3\) 的位置关系。
2. 已知圆 \(C: x^2 + y^2 = 9\)，求过圆上一点 \(P(3, 0)\) 的切线方程。
3. 圆心为 \(O(1, -2)\)，半径为 \(3\)，求圆心到直线 \(x - y + 5 = 0\) 的距离 \(d\)，并判断位置关系。
4. 若直线 \(l\) 与圆 \(O\) 相切，切点为 \(T\)，那么半径 \(OT\) 与直线 \(l\) 是什么位置关系？
5. 看图填空：当 \(d\) ____ \(r\) 时，直线与圆相切。（填 >, <, =）
6. 已知直线 \(3x + 4y - 25 = 0\) 是圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 的切线，求切点坐标。
7. 圆 \((x-1)^2 + (y+1)^2 = 4\) 的切线斜率是 \(0\)，求这条切线的方程。
8. 点 \(P(5, 5)\) 在圆 \((x-2)^2 + (y-2)^2 = 18\) 的____（内/上/外）。
9. 一个圆的半径是 \(5\)，一条直线到圆心的距离是 \(5\)，这条直线和圆有____个交点。
10. 简单应用：一个半径为 \(10cm\) 的圆盘，一把直尺的边缘刚好碰到圆盘边缘（相切），直尺边缘到圆盘中心的距离是____ \(cm\)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）已知圆 \(C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\)，求过点 \(M(5, 0)\) 作圆 \(C\) 的切线方程。
2. （含参问题）若直线 \(y = kx + 1\) 与圆 \(x^2 + y^2 = 4\) 相切，求实数 \(k\) 的值。
3. （最值问题）点 \(P\) 是直线 \(3x + 4y - 8 = 0\) 上的动点，过 \(P\) 作圆 \(O: x^2 + y^2 = 4\) 的切线，切点为 \(A\)，求线段 \(PA\) 的最小值。
4. （几何证明）如图，\(PA, PB\) 是圆 \(O\) 的两条切线，切点为 \(A, B\)。求证：\(PA = PB\)。
5. （探索条件）已知圆 \(C: (x-a)^2 + (y-2)^2 = 4\)，直线 \(l: x - y + 3 = 0\)。若直线 \(l\) 与圆 \(C\) 相切，求 \(a\) 的值。
6. （坐标几何）在平面直角坐标系中，以点 \(O(0,0)\)， \(A(6,8)\) 为直径的圆与 \(x\) 轴的位置关系是____（相离/相切/相交）。
7. （距离公式应用）求平行于直线 \(3x - 4y + 10 = 0\) 且与圆 \(x^2 + y^2 = 9\) 相切的直线方程。
8. （切线长公式）从圆 \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0\) 外一点 \(P(4, 5)\) 向圆引切线，求切线长。
9. （双切线夹角）自点 \(P(3, 4)\) 向圆 \(x^2 + y^2 = 9\) 引两条切线，求这两条切线的夹角。
10. （真题改编）已知圆 \(C\) 的圆心在 \(x\) 轴上，且过点 \(A(1, 1)\) 和 \(B(3, 3)\)，若直线 \(y = x\) 与圆 \(C\) 相切，求圆 \(C\) 的方程。

第三关：生活应用（5道）

1. （光学）汽车前灯的反光镜面是抛物线旋转而成的抛物面，但灯泡置于焦点处发出的光经镜面反射后成为平行光。从某个二维截面看，这类似于“从圆（或曲线）的焦点出发的光线，经反射（遵循入射角等于反射角）后与某直线平行”。请你思考：在圆形镜面中，从圆上一点 \(P\) 的切线性质（与半径垂直），如何解释“光线沿半径方向射向镜面（指向圆心），会沿原路返回”这一现象？（提示：法线即半径）
2. （建筑）一个圆形广场，半径为 \(30\) 米。要在广场外修一条笔直的人行道，要求人行道边缘到广场边缘的最短距离处处等于 \(5\) 米。求这条人行道中心线的方程（假设广场中心为原点）。
3. （测量）为了测量一个圆形工件的半径，工人用两把大型直角三角尺，将直角顶点紧贴工件外缘，两直角边分别与工件相切（如图）。测得两把尺子较长直角边外侧之间的距离为 \(50cm\)，已知三角尺的短直角边长为 \(10cm\)。求圆形工件的半径。
4. （运动轨迹）如图，一根长度为 \(2a\) 的杆子 \(AB\) 的两端分别在互相垂直的两条直线上滑动。求杆子中点 \(M\) 的运动轨迹方程。思考：杆子所在直线是否始终与某个定圆相切？
5. （安全距离）无人机在平面直角坐标系中飞行，其安全飞行区域是一个圆心在 \((2, 3)\)， 半径为 \(5\) 的圆形区域。它计划沿直线 \(y = 2x + 1\) 飞行。请问无人机能否全程保持在安全区域内？如果不能，它在哪个点会飞出或飞入安全区域？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 【解析】圆心 \(O(0,0)\), \(r=\sqrt{3}\)。\(d = \frac{|0-0+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34\)。\(r \approx 1.73\)。\(d < r\)，故相交。
2. 【解析】切点在圆上，用公式：\(3\cdot x + 0\cdot y = 9\)，即 \(x = 3\)。所以切线为 \(x = 3\)。
3. 【解析】\(d = \frac{|1 - (-2) + 5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|8|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 > 3\)。故相离。
4. 【答】垂直。
5. 【答】=。
6. 【解析】圆心 \(O(0,0)\)。∵ \(l\) 是切线，∴ \(OP \perp l\)。直线 \(l\) 法向量为 \((3,4)\)，故 \(OP\) 方向向量为 \((3,4)\)。直线 \(OP\) 方程为 \(4x - 3y = 0\)。联立 \(4x-3y=0\) 与 \(3x+4y-25=0\)，解得 \(x=3, y=4\)。切点为 \((3,4)\)。
7. 【解析】斜率为 \(0\)，设切线为 \(y = b\)。圆心 \((1, -1)\) 到直线距离 \(d = |b + 1| = r = 2\)。∴ \(b+1 = \pm2\)，得 \(b=1\) 或 \(b=-3\)。切线为 \(y=1\) 和 \(y=-3\)。
8. 【解析】点 \(P\) 到圆心 \((2,2)\) 距离 \(= \sqrt{(5-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)。圆半径 \(r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)。距离等于半径，故点 \(P\) 在圆上。
9. 【答】1。
10. 【答】10。

第二关、第三关答案将单独提供详细解析文档。